2020年广东省珠海市紫荆中学高三数学理模拟试题含解析

2020年广东省珠海市紫荆中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）
A. B. C. D.
A.（-1，1）
B.（-1，-1）
C.（1，1）
D. （1，-1）
参考答案：
A
略
2. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且若直线PA的方程为
，则直线PB的方程是
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. “m≤﹣”是“?x＞0，使得+﹣＞m是真命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】问题转化为m＜（+﹣）min，令f（x）=+﹣，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，求出m的范围，结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若?x＞0，使得+﹣＞m是真命题，则m＜（+﹣）min，
令f（x）=+﹣，则f（x）≥2﹣=1﹣=﹣，
故m＜﹣，
故m≤﹣”是“m＜﹣“的必要不充分条件，
故选：B．
4. 若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－2,2) B．[－2,2]
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
参考答案：
A
5. 以下四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;②若
为假命题,则均为假命题;③命题“”, 则命题的否定为
“”;④在中,是的充分不必要条件;其中真命题为( )
A. ①
B. ①②
C.
①②③ D. ①②③④
参考答案：
C
6. 以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
④若某项测量结果服从正态分布N（1，），且P（≤4）=0．9，则P（≤-2）
=0．1．
其中真命题的个数为
A．1 B．2 C 3 D．4
参考答案：
B
7. 已知双曲线﹣y2=1的左右焦点为F1、F2，点P为左支上一点，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为（）
A．B．C．D．D、2
参考答案：
A
略
8. 已知正数x，y满足，则的最小值为( )
A．1 B．C．D．
参考答案：
C
考点：简单线性规划的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．
解答：解：=2﹣2x?2﹣y=2﹣2x﹣y，
设m=﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m，
平移直线y=﹣2x﹣m，由平移可知当直线y=﹣2x﹣m，经过点B时，
直线y=﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．由，
解得，即B（1，2），
此时m=﹣2﹣2=﹣4，
∴的最小值为，
故选：C
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用指数幂的运算性质，设出参数m=﹣2x﹣y是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
9. 已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣4，0）作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2=2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（）A．y2=4x B．y2=﹣4x C．y2=8x D．y2=﹣8x
参考答案：
D
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故AB=2p，利用△KAB的面积为24，求出p的值，求得直线AB的方程，即可求得以直线AB为准线的抛物线标准方程．
【解答】解：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故丨AB丨=2p，
∴△CAB的面积S=×丨AB丨×d=×2p×（+4）=24，整理得：p2+8p﹣48=0，
解得p=4，或p=﹣12（舍去），
∴p=4，则抛物线方程y2=8x，
∴AB 的方程：x=2，
∴以直线AB 为准线的抛物线标准方程y 2=﹣8x ， 故选D ．
10. 已知f （x ）＝sin （ωx +φ）+cos （ωx +φ），ω＞0，|φ|＜
，f （x ）是奇函数，直线y =
与函数f
（x ）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
，则（ ）
A ．f （x ）在(，)上单调递减
B ．f （x ）在(0，)上单调递减
C ．f （x ）在(0，)上单调递增
D ．f （x ）在(，)上单调递增
参考答案：
A
【解答】解：∵f （x ）＝sin （ωx +φ）+cos （ωx +φ）＝sin （ωx +φ+
），
∵f （x ）是奇函数，，
∴φ+
＝0，得φ＝﹣
，
则f （x ）＝sinωx ， 由
sinωx ＝
得sinωx ＝1，
∵直线与函数f （x ）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
∴T ＝
，0即
＝
，得ω＝4，
即f （x ）＝sin4x ， 由2k π﹣
≤4x ≤2k π+
，k ∈Z 得k π﹣
≤x ≤k π+
，当k ＝0时，函数的 递增区间为[﹣
，
]，k ＝1时，递增区间为[，
]
由2k π+
≤4x ≤2k π+
，k ∈Z 得k π+
≤x ≤k π+，当k ＝0时，函数的递减区间为[
，
]，当k ＝1时，函数的递减区间为[
，
]，
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆C ：
的圆心到直线
的距离是 ．
参考答案：
3
圆
C 化成标准方程为，圆心为，到直线的距离，
故答案为： 3.
12. 已知函数的导函数为，且满足，则在点处
的切线方程为 参考答案：
函数的导数为，令，所以，解得，即，所以
，所以在点
处的切线方程
为，即。

13.
已知实数满足，则的取值范围是______________ 参考答案：
答案：
14. 复数z满足i?z=1+z，则z=．
参考答案：
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数定义是法则即可得出．
解答：解：∵i?z=1+z，
∴z===．
故答案为：．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
15. 已知等差数列为其前n项和.若，，则=_______.参考答案：
1
16. 阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是参考答案：729
17. 二项式
的展开式中常数项为。

参考答案：
14
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通银行”.在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：
（I）作出被调查人员年龄的频率分布直方图；
（II）若从年龄在的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通银行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考答案：
略
19. 已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}满足b n=a n+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6．（1）求a n，b n；
（2）求数列{}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）==，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=a1+（n﹣1）d+n，
∵b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6．
∴，
解得．
于是a n=n+2，b n=2n+2．
（2）==．
∴S n=++…+
=
=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. （本题满分12分）在△ABC中，已知A=，．
(I)求cosC的值；
(Ⅱ)若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．
参考答案：
（Ⅰ）且，∴…2分
……………………………4分
……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得……8分由正弦定理得，即，解得．………10分
在中，，所以…………12分
21. 【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
参考答案：
①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，
∴L￠(x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数．
则当x＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e5．························9￠
②当4＜a≤5时，35＜31＋a≤36，令L￠(x)＝0，得x＝a＋31．
当x∈[35,a＋31)时，L￠(x)＞0，L(x)在[35,a＋31)上是单调递增函数；
当x∈(a＋31,41]时，L￠(x)＜0，L(x)在(a＋31,41]上是单调递减函数．
∴当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为10e9?a．························13￠
综上，当2≤a≤4时，L(x)max＝10(5－a)e5．
当4＜a≤5时，L(x)max＝10e9?a．··················14￠22. 已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．
（1）求φ的取值范围；
（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程（t为参数，0≤φ＜π），带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．（2）利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为
x2+y2=1，
将代入x2+y2=1得t2﹣4tsinφ+3=0（*）
由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，
∴所求φ的取值范围是；
（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，，代入中，
整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（φ为参数，）．
故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（φ为参数，）．
【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．。