清华水力 第五章讲义

第五章 有旋流动和有势流动
本章首先从运动学的角度对有旋流动的流场特性作进一步的讨论和分析，然后从动力学的角度介绍在质量力有势，流体为理想正压流体的条件下，有关涡通量的保持性定理。

论述势流理论的基本内容，引出不可压流体平面流动的流函数概念，重点讨论不可压流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的奇点叠加方法。

§5—1 有旋流动
● 有旋流动与有势流动的判别就在于流速场的旋度是否为零。

对于有旋流动，将流速场
的旋度称为涡量，它是流体微团旋转角速度矢量的两倍，ω
2=⨯∇=Ωu . ● 正象流线是流速场的矢量线一样，定义涡线是涡量场的矢量线。

涡线的微分方程为： 0d =⨯Ωl ， 即 )
,,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x z t z y x y t z y x x z y x Ω=Ω=Ω. ● 对应于流速场中流管、流量的概念可以建立涡量场中的涡管、涡通量概念。

涡管的涡通量又称为涡管强度I . ● 斯托克斯公式 ⎰⎰⎰⋅=⋅⨯∇A L
l u A n u d d )( 表明了速度环量与涡通量之间的关系。

其中n 为曲
面A 的法向，A 周界L 的正向与n 成右手系。

● 由于 0)(≡⨯∇⋅∇=Ω⋅∇u ，所以涡量场是无源（管形）场。

这表明在同一时刻，穿过同一涡管的各断面的涡通量都是相同的。

换句话说，同一时刻，一根涡管对应一个涡管强度。

这是个纯运动学范畴的定理。

表明涡管不能在流体中产生与消失，要么成环形，要么两端位于流场的自由面或固体边界。

● 封闭流体线上的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线上的加速度环量。

记 ⎰⋅=L l u Γ d ，则 ⎰⋅=L l t u t Γ d d d d d . 注意这里的L 是由确定的流体质点组成的一条封闭线，
是一个系统，在流动中会改变位置和形状。

相应的速度环量对时间的变化率指的是全导数。

● 现简要地证明上面的结论，为使符号意义更明确，把对空间微分符号记为δ，符号d 专门用于对时间的微分。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=L L L L L L L L L l u u l u u u l u t l u l t u l u t l u t t Γ δδδδδδδδδdt
d 2dt d dt d d d d d )(d d d d d d 2 最后一个等号是因为速度为单值函数。

● 上述运动学规律若加上下面的动力学条件，即质量力有势，流体为理想不可压缩流体，那么根据欧拉方程易知加速度是有势的，封闭流体线上的加速度环量必为零，速度环量将不随时间变化，const =Γ. 称为开尔文定理。

● 由开尔文定理推知：某时刻组成涡管的流体质点将永远组成涡管，且其涡管强度在流动中保持不变。

称为亥姆霍兹定理，其成立的条件应为开尔文定理成立所需的条件。

● 开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可压缩流体，那么涡通量不会产生，
初始时刻为无旋的流动将永远保持为无旋而有旋流动的涡通量则有保持性，既不会消失，也不会扩散。

开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素。

§5—2 有势流动
由开尔文定理可知，理想正压流体从静止或无旋状态开始的流动将保持为有势流动。

所以有势流动往往是以理想流体为前提条件的。

一. 无旋流动的速度势函数
● 无旋流动 0=⨯∇u ,根据斯托克斯公式，沿流场中任意一条封闭曲线L 的速度环量为
零，即 0d =⋅⎰L l u . 自起点
M 0至终点M 的速度环量⎰⋅M M l u 0d 与路径无关，在起点固定的
条件下，是终点位置的函数，所以可定义 ⎰++=)
,,(),,(0000d d d ),,(z y x M z y x M z y x z u y u x u z y x ϕ为速度势函数.
不难证明：x z y x x z y x x x u x u x x =∆=⎰∆+→∆),,(),,(0d 1lim ∂∂ϕ，y u y
=∂∂ϕ，z u z =∂∂ϕ. 这表明 ϕ∇=u ，z u y u x u z y x d d d d ++=ϕ 是全微分。

● 根据定义，速度势函数可相差一任意常数而不会影响对流场的描述。

极坐标中速度势
函数的微分为 θϕθd d d d r u r u l u r +=⋅= .
● 在确认流动的速度场无旋，即 0=⨯∇u 的前提下，可由速度场根据定义 ⎰++=
),,(),,(0000d d d ),,(z y x M z y x M z y x z u y u x u z y x ϕ求取势函数，选择由几段坐标线组成的路径以使计算简
单，千万不可误认为做三个独立的不定积分。

也可以用寻找全微分 z u y u x u z y x d d d d ++=ϕ 的办法求速度势函数。

● 不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程：
0)(2
222222=++=∆≡∇≡∇⋅∇=⋅∇z y x u ∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂ϕϕϕ . 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。

二. 不可压流体平面流动的流函数
● 不可压流体平面流动的连续方程为
∂∂∂∂u x u y x y +=0，它可改写为 ∂∂∂∂u x u y x y --=()0，这恰好说明矢量场 j u i u x y +- 是无旋场，必有相应的势函数，我们就定义其势函数为原流速
场的流函数： ψ(,)d d (,)(,)x y u x u y y x M x y M x y =
-+⎰000. ● 将平面上一段有向微元弧长 j y i x l d d d += 顺时针转900，方向为l d 之法向n ，大小为d l ，可记为j x i y l n d d d -=. 根
据流函数定义知 l n u x u y u y x d d d d ⋅=-=ψ，这说明流函数的微分为穿过微元弧长的流量，所以把 ψ 称为流函数。

● ψ(,)d d (,)(,)
x y u x u y y x M x y M x y =-+⎰000 表示穿过M 0至M 连线的流量，它与连线路径无关，在起点
M 0确定的情况下是终点M 的坐标的函数。

这对于不可压流体的平面流动是容易理解的，而三维流动就得不到这样的结论。

根据定义确定流函数时选取不同的起点M 0，流函数将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。

● ψ=C （常数）是不可压流体平面流动的流线方
程。

两点流函数的差表示穿过两点间任意连线的
流量，如图中所示，若 0)()(1212>-=-C C M M ψψ，
表示有流量自M 1M 2连线左侧流进右侧，由此可
确定流动方向。

● 画出穿过微元弧长的流量示意图，
可以帮助记忆流函数定义。

如在直
角坐标系中，容易写出
x u y u y x d d d -=ψ，所以
x u y u y x ∂∂-=∂∂=ψ
ψ
,. 而在极坐标
中，则有r u r u r d d d θθψ-=，所以
r u r u r ∂∂-=∂∂=ψθψθ,1.
● 如果不可压流体平面流动是无旋的，那么
022222=-∇=∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂ψψψy x y u x u x y ，说明流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。

● 流函数的概念本与流动是否无旋无关，在这里引出，是为了下面建立不可压流体平面
无旋流动速度势函数与流函数关系的需要。

三. 不可压流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系
● 不可压流体平面无旋流动既有速度势函数又有流函数，它们都满足拉普拉斯方程，都
是调和函数。

根据它们和流速场的关系可知 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=x y u y x u y x ψϕψϕ，称这对调和函数满足柯西 — 黎曼条件，互为共轭调和函数。

它们的等值线必是互相正交的。

因为由柯西 — 黎曼条件，易知 0=+-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇⋅∇y x y x u u u u y
y x x ψϕψϕψϕ. 四. 理想不可压流体恒定有势流动的解法概述
● 理想不可压流体恒定有势流动存在速度势函数 ϕ，它满足拉普拉斯方程 ∇=20ϕ，若
解得 ϕ，则可由 ϕ 得到流速场 ϕ∇=u ，再由欧拉积分 C g u p z =++22
γ 解得压力场p .
可见求解流场（流速场、压力场）的问题转化成了求解一个数量场（速度势）的问题，即拉普拉斯方程的边值问题。

§5—3 平面势流及势流叠加原理
一. 几种基本的不可压流体平面有势流动
● 直线等速流动：考虑流速大小为∞U ，与x 轴夹角为α的等速直线流动。

流速场可以在
直角坐标系中写成分量形式 ⎩⎨⎧==∞∞αα
sin cos U u U u y x . 容易求得速度势函数 )sin cos (ααϕy x U +=∞
和流函数)cos sin (ααψy x U +-=∞.
● 平面点源：位于原点的强度为q 的平面点源所诱导的流速场
在极坐标中的分量形式为： ⎪⎩⎪⎨⎧==02θπu r q u r ，由
r r
q r u r u l u r d 2d d d d πθϕθ=+=⋅= 可推知 22ln 2ln 2y x q r q +==ππϕ. 而由 θπ
θψθd 2d d d q r u r u r =-=又可推知 x y q q 1tan 22-==πθπψ. 穿过流动平面上任意一条包围此点源的封闭曲线的流量为q .
● 平面点涡：位于原点的强度为Γ的平面点涡所诱导的流速场
在极坐标中的分量形式为：⎪⎩
⎪⎨⎧Γ==r u u r πθ20
，由 θπ
θϕθd 2d d d d Γ=+=⋅=r u r u l u r 可推知 x y 1tan 22-Γ=Γ=πθπϕ. 而由 r r
r u r u r d 2d d d πθψθΓ-=-= 又可推知 22ln 2ln 2y x r +Γ-=Γ-=ππψ. 绕流动平面上任意一条包围此点涡的封闭曲线一周的速度环量流量为Γ（逆时针为正）。

● 平面偶极子：现在我们来把一对等强度的源和汇（源强为负
称为汇）的解进行叠加，由于拉普拉斯方程是线性齐次的，
所以解的线性叠加仍为解。

让这对源汇的间距 0→∆h ，同
时让源汇强度 ∞→q ，以使 m h q =∆保持不变，称这对源汇
组成一个平面偶极子，m 称为偶极强度，从汇指向源的方向
称为偶极方向。

强度为m ，方向为 –x 轴的偶极子的速度势
为 222cos 2y x x m r m +==πθπϕ,流函数为 222sin 2y x y m r m +-=-=πθπψ. ● 上面得到的几个简单流动是不可压流体平面有势流动的基本解。

通常我们把平面点源、
点涡和偶极子称为奇点，这是因为点源、点涡或偶极子所在的点本身不能取作场点，解在这些点上有奇异性。

前面的解都是对放置在原点的奇点给出的，若奇点位于(a,b,c )，则应在公式中用 (x-a,y-b,z-c ) 取代 (x,y,z ) .
二. 基本有势流动的叠加
偶极子流动就是势流叠加的一个典型例子，下面再给出两个绕流物体的例子。

● 沿正x
轴方向等速直线流动和位于原点的平
面点源叠加后的流函数 θπ
θψ2sin q r U +=∞. 0=θ时，0=ψ，所以是零流线。

流场中速度为零的点叫驻点，易知它是点)0,2(∞-
U q π. 过驻点流线的流线常数应为 2q
=ψ，所以该流
线方程为 θπ
θ2sin 2
q r U q +=∞. 用 2πθ=代入， 得此流线上C 点位置 ∞=U q r C 4. 0→θ，∞→U q r 2sin θ，可见过驻点流线在下游无穷远处开口宽度为 ∞U q
.
● 设想用一刚性薄片按上述过驻点流线的形状弯成柱面，从垂直于流动平面的方向插入
流场，将不会影响内外两部分流场的流动。

这就是流线与固壁的等价原理。

若按过驻点流线的形状制成半无穷柱体放入流场相应位置，取代点源，此时内部流动将不再存在，但外部流动仍不会改变。

所以点源对等速直线流动的影响与这个半无穷柱体对等速直线流动的影响是等价的。

上面我们得到的流场也就是等速直线流动绕过半无穷柱体的绕流解。

从这个意义上讲，点源这个抽象的流动变成了一个具体、实在的概念。

● 沿正x 轴方向等速直线流动和位于原点、偶极方向为负x 轴方向的平面偶极子叠加后
的流函数 θπθψsin 2sin r m r U -=∞. 容易看出，当0=θ，πθ= 或 a U m r ≡=∞
π2 时，0=ψ， 所以 a r = 是零流线，表明所讨论的流动代
表圆柱绕流。

圆柱面上的速度分布为0=r u ，
u r U m a U r a θ∂ψ
∂θπθθ=-=--
=-=∞∞sin sin sin 222.
压强分布为 )sin 41(222θρ-+
=∞∞U p p . 也可用
量纲为一的压力系数 θ22sin 4121-=-=∞∞pU p p C p 表示。

由于圆柱上的
压强分布上下、左右都对称，说明圆柱在绕
流中不受力，缘由是理想流体假设。