高考专题高三理模拟卷答案.docx

201405舟山市高三三模
高三数学卷参考答案及评分标准（理）
一、 选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
D
A
B
D
B
C
C
B
A
二、填空题（本大题共有7小题，每小题4分，共28分）
11、
2
π
12、2 13 、80 14、925
15、3a < 16、26+ 17、169
720
三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．解：（1）在锐角△ABC 中，A B C π++=．
所以cos
cos 22A C B π+-=1
sin 22
B ==． 26B π=，所以3
B π
=． ------------------3分 由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得37sin sin 3
A π=．
解得321
sin 14
A =
． ------------------7分 （2）()sin (3cos sin )f A A A A =-
31cos 2sin 222
A A -=
- 1sin 262A π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭. ------------------9分
由（1）得3
B π
=
，所以23
A C π
+=
， 因为锐角△ABC ，所以,62A ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，------------------------------11分 则72,626
A π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
. ------------------12分 所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫
+
∈- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 所以()11,
2f A ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
. 所以()f A 的取值范围是11,2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
. ------------------14分
19．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，
则由332211a b a b +=+=可得211211,
1111.d q d q ⎧++=⎨++=⎩
-----------------------3分
可求得：2d =-，2q =. ------------------------------------------------5分
从而213n a n =-+，12n n b -=()n N *
∈. ------------------------------6分
（Ⅱ）1
1
1
1322(3),
1322
2213(4).
n n n n n n n a b n n n ---⎧--≤⎪-=--=⎨+-≥⎪⎩ -----------------8分 所以当3n ≤时，()()111322112212
21
n n n
n n S n n +-∙-=-=
--+-， ---------9分
当4n ≥时，()()()()338123521312332112
2
n n n n S ----+-=-⨯-++
+
- ------12分 =2
23912n
n n ++-.---------------------------------------13分
所以()()1221(3),
12239(4).
n
n n
n n n S n n n ⎧--+≤⎪=⎨--++≥⎪⎩ --------------------------14分
20.解：（Ⅰ）连接1A C ，因四边形11A ACC 是菱形， 所以11AC A C ⊥,--------------------4分
由已知BC AC ⊥1且1
BC
AC C =， 所以11AC A BC ⊥面,-----------------6分
所以11AC A B ⊥.----------------------7分
（Ⅱ）取BC 的中点O ，连接1,AO C O , 因为ABC ∆是正三角形，所以BC AO ⊥
又因为BC AC ⊥1 ，所以BC ⊥面1AOC ，---------------8分 所以1BC C O ⊥，
又因为侧面⊥CB C B 11底面ABC ，侧面11B C CB 底面ABC BC =，
所以1C O ⊥面ABC .---------------9分
H
G
O
C
B
A
1C 1B
1A
过点1B 作1C O 的平行线1B G 交CB 的延长线于G ,
过点G 作GH AB ⊥,交AB 的延长线于H ,连1B H ,则1B HG ∠是所求二面角的平
面角的补角. --------------------------------11分 在1RT C OC ∆中，132C O a =
,所以132
B G a =, 在RT GBH ∆中，可求得3
4
GH a =
, -----------------------12分 在1RT GB H ∆中115
4
B H a =
，-----------------------13分 所以15cos 5B HG ∠=，二面角1B AB C --的余弦值是55
-.-------14分
解法二：取BC 的中点O ，连接1,AO C O , 因为ABC ∆是正三角形，所以BC AO ⊥.
又因为BC AC ⊥1 所以BC ⊥面1AOC ， 所以1BC C O ⊥，
又因为侧面⊥CB C B 11底面ABC ， 侧面11B C CB
底面ABC BC =，
所以1C O ⊥面ABC .---------------3分 以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则311
(0,
,0),(,0,0),(,0,0)222
A a
B a
C a -， 11113333
(,,),(,0,),(0,0,)22222
A a a a
B a a
C a --，-----------5分
z
y
x
O
C
B
A
1C
1B
1A
所以113333(0,,),(0,,)2222
AC a a A B a a =-
=--， 因为110AC A B =，所以
11AC A B ⊥.----------------------7分 1131313
(,,0),(,0,),(,,0)222222
AB a a BB a a AC a a =--=-=-------10分
设面1B AB ,面ABC 的一个法向量分别是,m n ，
易得(3,1,1),(0,0,1)m n =-=.----------------------12分
设所求二面角的平面角为α，则5
cos 5
m n m n
α=-
=-
.-------14分 21．解：(Ⅰ)因为,,O M N 三点共线，||ON a =，||OM 的最小值为1，所以||MN 的最
大值为1a -，又因为||MN 的最大值为1，所以2a =；---------4分
(Ⅱ) 假设存在点00(,)Q x y ，使得过点Q 斜率分别为12,k k 的两直线与椭圆相切，且满足
1220k k +=.现设过点Q 的直线方程为00()y y k x x -=-， --------------5分
把直线方程00()y y k x x -=-代入曲线2
2:14
x C y +=， 得22
004[()]40x k x x y +-+-=， 化简得22(14)k x ++0(8ky 2222
000008)48440k x x k x kx y y -+-+-=------7分
因为直线与曲线相切，故有△=0，即
222222
000000(88)4(14)(4844)0ky k x k k x kx y y --+-+-=， 化简得2222
00002140k x kx y y k -+--=，---------------8 分 整理为关于k 的二次函数得，222
0000(4)210x k x y k y --+-=，
由韦达定理可得00122024x y k k x ⋅+=-，12k k ⋅=2
0201
4
y x --， ---------10分
因为12,k k 是两切线的斜率且满足122k k =-，所以有00220
2
2022024124x y k x y k x ⋅⎧
-=⎪-⎪⎨-⎪-=⎪-⎩
，，
消去参数2k 得2
2000220021
1+=0424
x y y x x ⋅-⋅--（），
化简得22222
000009440(4)x y y x x ⋅--+=≠，------------------------12分
联立方程222220000022
009440(4),
4,
x y y x x x y ⎧⋅--+=≠⎪⎨+=⎪⎩得 2020
1,311,3x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，20204,
0,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(舍去)，--------------------------14分 所以存在满足要求的点Q ，且Q 的坐标为333(
,)33或333
(,-)33
或333(-
,)33或333
(-,-)33
--------------------------------------15分 22．解：（Ⅰ）当0,1a x =>时，()()ln f x x x e =-+，-----------------------1分
1()1f x e x ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
，()1f e e '=- ，()2f e e e =-，----------------------4分
所以切线方程是：()
()()2
1y e e e x e --=--，
所求切线方程即为：()1y e x =-；-----------------------------------5分 （Ⅱ）假设存在a ，使()f x 在区间[],a a -上为减函数， 则当1a x ≤≤时，()f x 单调递减，--------------------- -①
当1x a ≤≤-时，()f x 单调递减，------------------------②
且()
()2(1)432151f a a e a a e =-+-≥++，---------③ -----------------------6分 由①知当1a x ≤≤时，须()()
322()2361240x f x x a x ax a e '=-+-+-≤， ----7分
即()322()2361240g x x a x ax a =-+-+-≤恒成立， 当1a x ≤≤时，
因为()()()2()6621262g x x a x a x x a '=---+=-+-
所以当21a -≤<-时，()0g x '≤恒成立，即()g x 在区间[],1a 上单调递减， 故只需()0g a ≤，即2a ≤-，所以2a =-． -----------------------8分 当2a <-时，()g x 在(),2a -上单调递增，在()2,1-上单调递减，
故只需()20g -≤，即21a a ≤-≥-或，所以2a <-，-----------------------9分 由上可知，2a ≤-； -----------------------10分 由②知当[]1,x a ∈-时，须()261
10a a f x e x
x -⎛⎫'=+-≤
⎪⎝⎭， -------------------11分
即当[]1,x a ∈-时，()()2
610h x x a x a =+--≤恒成立，
所以只需()()
10,
0.h h a ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得0a ≤，即1a <-． --------------------13分
由③知：2
41330a a ++≤，解得：1
34
a -≤≤-
． -----------------------14分 综合①、②、③可得：存在a 符合题意，即a 的范围是32a -≤≤-． -----------15分。