5系统的时域分析_第三节连续系统的冲击响应、第四节卷积积分及其性质

线性时不变系统的描述及特点
线性时不变系统的描述
连续时间系统用N阶常系数微分方程描述
y
(n)
( t ) + a n 1 y
(m )
( n 1)
(t ) + + a 1 y ' (t ) + a 0 y (t ) ( t ) + + b1 f ' ( t ) + b 0 f ( t )
若 T{ f(t)}=y(t) 若 T{f[k]}= y[k] 则 则
T{
d f (t ) dt
}
d y (t ) dt
T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1]
2）积分特性与求和特性：
若 T{ f(t)}=y(t) 若 T{f[k]}= y[k] 则 则
T {
t
k
f ( ) d }
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
1
卷积积分的计算和性质
卷积积分的计算 卷积积分的性质 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性 微分积分特性 等效特性 奇异信号的卷积积分 延迟特性 微分特性 积分特性 等效特性
t -0.5 0.5


c) 0 < t £ 1
y (t )
0.5 + t
0.5 + t
t 1 p1 ( ) p1 (t ) 1

0 .5
0 .5 + t
d 1 t
d) t >1

0.5 + t 0.5 + t
14
y (t) = 0
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。 a) t £ 1 b) 1 < t £ 0



f 1 ( x ) f 2 ( at x ) d x
1 a
y ( at )
20
[例] 利用平移特性及u(t) u(t)= r(t) ，计 算y(t) = f(t) h(t)。
解:
f (t )
1
h(t )
y (t )
1
1
t
3t
0
1
t
0
2
t
0
1
2
3
t
y(t) = f(t) h(t) = [ u(t) u(t1) ] [ u(t) u(t2) ] =u(t)u(t) u(t1)u(t) u(t)u(t2) + u(t1)u(t2)
利用卷积 的结合律
= f1(1)(t) f2(t) = f1(t) f2(1)(t)
23
[例] 利用等效特性，计算y(t) = f (t) h(t)。
解:
f (t )
1
h(t )
h(t ) h(t 1)
1
1
2
0
3
1
t
0
2
t
0
1
t
1
f '(t) = (t) (t1) f '(t) h(t)= h(t) h(t1)
y ( t ) 0 . 5
0 .5 + t
p1 (t ) 1
p 1 ( )
y (t) = 0
-0.5 0.5
t

dt 1 + t
p1 (t ) p1 (t ) 1
c) 0 < t £ 1
y ( t ) 0 . 5 + t d t 1 t
0 .5
t -1 1
15
d) t >1
y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) y' (t) = f '(t) * h(t) = h'(t) * f(t) y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) y (-1) (t) = f (-1) (t) * h(t) = h (-1) (t) * f(t)

12
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
t 1 p1 ( ) p1 (t ) 1 0.5 + t 0.5 + t
p1 (t ) 1
p 1 ( )
t -0.5 0.5


a) t £ 1 y (t) = 0 b) 1 < t £ 0

证明：
f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 )


f 1 ( t1 ) f 2 ( t t 2 ) d
t1 x




f 1 ( x ) f 2 ( t t1 t 2 x ) d x
y ( t t1 t 2 )
翻转 平移 t
3. 将f() 与h( t)相乘；对乘积后信号的积分。
4. 不断改变平移量t，计算f() h( t)的积分。
11
一、卷积积分的计算
卷积方法的原理
就是将信号分解为冲击信号之和，借助系 统的冲激响应h(t)，求解系统对任意信号的零状 态响应。
[例] 解：
计算 f ( t ) * h ( t ), f ( t ) u ( t ), h ( t ) e
解: (2) 利用卷积的平移性质和题(1)的结论
2e
2 ( t 1 )
u ( t 1) 3 e
(t 2)
u (t 2 )
6(e
( t 3)
e
2( t 3)
)u (t 3)
u (t 2 )
2
(3)
2e
2 t
u ( t 1) 3 e
t
2e
19
二、卷积的性质
展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f (at ) f (at ) 1
1` 2
y (at )
a
证明：
f 1 ( at ) f 2 ( at )



f 1 ( a ) f 2 ( a ( t )) d
a x

1 a
i0

m
b j f [k j]
y (t) = 0
练习1：u(t) u(t) = r(t) 练习2：计算 y (t) = f (t) h(t)。 f (t ) h(t )
1
1
0
1
t
0
2
t
y (t )
1
0
t
3t
1
2
3
t
16
二、卷积的性质
1) 2) 3) 4) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t)
0.5 1 £ t 0 p1 ( ) p1 (t )
1

0.5 + t 0.5 + t
y (t )

0 .5 + t
0 .5
d 1 + t
13
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
0 t £1
p1 (t ) 1
p 1 ( )
p 1 ( ) p 1 ( t ) 1
bm f
( t ) + b m 1 f
( m 1)
ai 、 bj为常数。
离散时间系统用N阶常系数差分方程描述

n
a i y[ k i ]
i0

m
b j f [k j]
j0
ai 、 bj为常数。
线性时不变系统的描述及特点
线性时不变系统的特点
LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有: 1）微分特性与差分特性：
2e
2
e
2 ( t 1 )
u ( t 1) 3 e
e
(t 2 )
u (t 2 )
4
2 ( t 1 )
u ( t 1) 3 e
(t 2 )
u (t 2 ) e
6e
4
(e
( t 3)
e
2 ( t 3)
)u (t 3)
26
解:
(1)
2e
+
2 t
u (t ) 3e
2
t
u (t )
( t )
2 e
u ( ) 3 e
u (t )d
6 t e 2 e ( t ) d 0 0
t 0 t 0
6(e
t
e
2 t
)u (t )
f ( )
t
u (t )
f (t )
h(t )
h ( )
t

h (t )
t

t0
t0
f ( )h(t )

t
t

t 1 e ( t ) d , t 0 t f (t ) * h (t ) 0 (1 e ) u ( t ) 0, t 0
10
一、卷积积分的计算
卷积的定义：
y ( t ) f ( t ) h ( t )

f ( ) h ( t ) d
卷积的计算步骤： 1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为； 2. 把其中一个信号h()翻转得h(-)，再平移t；
h ( ) h ( ) h ( ( t )) h ( t )

t

k
y ( ) d
y[ n ]
T{
n

f [ n ]}
n

离散时间LTI系统的响应
迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应
零输入响应求解 零状态响应求解
离散时间LTI系统的响应
离散时间LTI系统 的数学模型为

n
a i y[ k i ]
则 f1(t t1) * f2(t t2) = y(t t1 t2)
5) 展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t)
则
f1` (at ) f 2 (at )
1 a
y (at )
17
二、卷积的性质
6) 微分特性 已知 则 7) 积分特性 已知 则 8) 等效特性 已知 则
t
f ( t ) u ( t )
f ( ) d f
( 1)
(t )
(t ) f 2 ' (t ) f1 ' (t ) f 2
( 1)
(t )
( 1)
[ f 1 ' ( t ) f 2 ( t )]
22
[例] 已知 y(t) = f1(t) f2(t) ，求y'(t)和 y(1)(t)
解：利用卷积的微分特性
y'(t) = y(t) '(t) = [ f1(t) f2(t) ] '(t)
利用卷积 的结合律
= f1'(t) f2(t) = f1(t) f2'(t)
利用卷积的积分特性 y(1)(t) = y(t) u(t) = [f1(t) f2(t) ] u(t)
1
y ( t ) 0 [ h ( t ) h ( t 1)] d t
0Байду номын сангаас
t
y (t )
t
3t
1
2
3
t
24
[例] 计算下列卷积积分。
(1) 2 e 2 t u ( t ) 3 e t u ( t ) (2) 2 e 2 ( t 1 ) u ( t 1) 3 e ( t 2 ) u ( t 2 ) (3) 2 e 2 t u ( t 1) 3 e t u ( t 2 )
e u (t ) e
t
t
u (t )
1 t t (e e )u (t ) t e at u ( t )

25
[例] 计算下列卷积积分。
(1) 2 e 2 t u ( t ) 3 e t u ( t ) (2) 2 e 2 ( t 1 ) u ( t 1) 3 e ( t 2 ) u ( t 2 ) (3) 2 e 2 t u ( t 1) 3 e t u ( t 2 )
= r(t) – r(t 1) r(t2) + r(t3)
21
三、奇异信号的卷积
1) 延时特性 2) 微分特性 3) 积分特性 4) 等效特性
f1 (t ) f 2 (t ) f1
( 1)
f (t) * (t T) = f (t T) f (t) * '(t) = f '(t)
y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) y(t) = f (-1) (t) * h'(t) = h (-1) (t) * f '(t)
18
二、卷积的性质
平移特性 已知 则 f1(t) * f2(t) = y(t) f1(t t1) * f2(t t2) = y(t t1 t2)