2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原

不变，则不同的加入方法种数为( C )
A．120
B．240
C．360
D．480
解析：第一步，从甲、乙、丙三人中选一个加到前排，有3种方法；第 二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种方法；第三步， 后排4人形成了5个空，任选一个空加一人，有5种方法，此时形成了6个 空，任选一个空加一人，有6种方法；根据分步乘法计数原理可得不同 的加入方法种数为3×4×5×6＝360.
[解析] (1)假设按a→b→c→d→e顺序涂色．对于a有4种涂色的方法，对 于b有3种涂色方法，对于c有2种涂色方法，对于e：若c与d颜色相同， 则有2种涂色方法，若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法．故共有 4×3×2×(2＋1)＝72种不同的涂色方法． (2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)． 第二类，有两条公共边的三角形共有8个． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． [答案] (1)72 (2)40
解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为 120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种 选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4 ＝12(个)……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所 有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)． 答案：240
使用分类加法计数原理时两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一， 不能遗漏. (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不 能重复.
题型二 分步乘法计数原理 自主探究
1．(2021·新余模拟)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、
乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置
比数列，这样的等比数列的个数为( D )
A．3
B．4
C．6
D．8
2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 __________． 答案：36
3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三 位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为__________．
应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到 “不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完 整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．
[题组突破]
1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确
定不同的平面个数为( C )
A．40
B．16
C．13
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
热点命题分析
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节主要考查分类
加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，一 本节主要考查考生的逻
般以小题的形式单独考查或以古典概型为载体 辑推理核心素养.
进行考查，有时也与概率相交汇以解答题的形
式呈现.
知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在
解析：将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C
2 4
＝6种分法，再将3组同学分
到3个小区共有A
3 3
＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法
共有6×6＝36种．
答案：36
利用分步乘法计数原理解题时三个注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完 成这件事． (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
题型三 两个计数原理的综合应用 合作探究 [例] (1)(2021·重庆模拟)某地行政区域如图，请你用4种不同的颜色为 每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有__________种不同的涂色方 法．(用具体数字作答)
(2)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形 有公共边的三角形有__________个．(用数字作答)
解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新 定义信息分步或分类进行推理．
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[对点训练]
定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，
b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中的元素个数为( ) C
A．34
B．43
C．12
D．以上都不对
[解析] 第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式； 第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合 方式； 第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式； 第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式． 根据分 步乘法 计数原 理 ， 值 为 1 942的 “ 简 单的 ” 有序对 的个数为 2×10×5×3＝300. [答案] 300
2．(2021·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层
到五层的走法有( D )
A．10种
B．25种
C．52种
D．24种
解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．
由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．
3．(2020·高考全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每 名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共 有________种．
D．10
2.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如 图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有__________ 种．
答案Байду номын сангаас108
计数原理应用中的核心素养
逻辑推理——两个计数原理的创新应用 [例] 若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如： 134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，则m＋n称为有 序 对 (m ， n) 的 值 ， 那 么 值 为 1 942 的 “ 简 单 的 ” 有 序 对 的 个 数 是 __________．
__________．
答案：504
3．(易错题)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城 到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有 __________条不同的路线．
答案：32
题型一 分类加法计数原理 自主探究
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等
分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的 一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．
1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种
数为( C )
A．16
B．13
C．12
D．10
2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个
新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为
B．20
C．10
D．6
2．(易错题)a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不
能当副组长，不同选法的种数是( B )
A．20
B．16
C．10
D．6
知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种
不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×n 种不同的方法． • 温馨提醒 •
第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n 种不同 的方法． • 温馨提醒 • 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件 事情，类与类之间是独立的．
1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的
不同取法的种数有( D )
A．30