课时作业4：9.1.2 余弦定理

9．1.2 余弦定理
1．在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( )
A ．4 3 B.7 C ．7 D ．5
答案 C
解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7.
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小角为( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
答案 B
解析 ∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，∴c 为最小边，可得C 为最小角，由余弦定
理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32
，∵C 为三角形的内角， ∴可得C ∈(0，π)，∴C ＝π6，即△ABC 的最小角为π6
. 3．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )
A.14
B.34
C.24
D.23
答案 B
解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，
∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a
＝34. 4．在△ABC 中，若满足sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案 D
解析 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
∵sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ，
∴由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2＋3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32
， 又∵0°<A <180°，∴A ＝150°.
5．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．4
答案 C
解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 2
2a
＝a ＝2. 6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则A ＝ ，AC 边上的高为 ．
答案 π3 332
解析 由余弦定理，得
cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝32＋42－132×3×4＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3
， 从而sin A ＝32
， 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×
32＝332. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，且b 2＋c 2＝3＋bc ，则角A 的大小为 ．
答案 60° 解析 ∵a ＝3，且b 2＋c 2＝3＋bc ，
∴b 2＋c 2＝a 2＋bc ，
∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
， ∵0°<A <180°，
∴A ＝60°.
8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 ．
答案 57
解析 设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .
∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .
由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，
∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57， ∴BC ＝57.
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，
求A 和a .
解 因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，
又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，
因此tan A ＝－1，又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭
⎫－22＝29， 所以a ＝29. 10．在△ABC 中，若a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，试判断该三角形的形状．
解 由a cos B ＋a cos C ＝b ＋c 并结合余弦定理，
得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝b ＋c ， 即a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 2
2b
＝b ＋c ， 整理，得(b ＋c )(a 2－b 2－c 2)＝0.
因为b ＋c ≠0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．
11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，cos A ＝
32
，且b <c ，则b 等于( )
A ．3
B ．2 2
C ．2 D. 3
答案 C
解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×
32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c ，所以b ＝2.
12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B
，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4
答案 C
解析 由正弦定理可知对任意三角形有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，代入整理可得c －b c －a ＝a c ＋b
，即c 2－b 2＝ac －a 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理可得cos B ＝12，
所以B ＝π3. 13．(多选)在△ABC 中，下列关系式一定成立的有( )
A ．a sin
B ＝b sin A
B ．a ＝b cos
C ＋c cos B
C ．a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C
D ．b ＝c sin A ＋a sin C
答案 ABC
解析 对于A ，C ，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于B ，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋
C )＝sin B cos C ＋sin C ·cos B ，知显然成立．对于
D ，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以D 不一定成立，故选ABC.
14．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3
，△ABC 的面积S ＝3，则边AC 等于 ． 答案 13
解析 由三角形面积公式得12BC ·AB sin B ＝3⇒12×1×AB ×sin π3
＝3⇒AB ＝4.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝16＋1－2×1×4×12
＝13，故AC ＝13.
15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝ (3a ＋c ，sin B －sin A )．若m ∥n ，则角B 的大小为 ．
答案 5π6
解析 ∵向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理知(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac .由余弦定理知2ac cos B ＝－3ac ，
∴cos B ＝－32.∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6
. 16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．
解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，由正弦定理得，2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
.
∵0°<A<180°，∴A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3，
∴3
2sin B＋
3
2cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°，
∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．。