最新初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编附解析(3)

最新初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编附解析(3)
一、选择题
1．已知关于x 的分式方程13222mx x x
-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠
【答案】A 【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】
13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2
∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，
∴2
2
x m -=
- ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，
∴
2
22
m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.
2．若数a 使关于x 的分式方程
2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组211
42
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】
解方程
2311a x x x --=--，得： 12
a x +=，
∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠， ∴1
2
a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，
∵关于y 的不等式组21142
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，
∴a-1<y ≤8-2a ， 即a-1<8-2a ， 解得：a<3，
综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1， 则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
1
3
，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（ ）
A ．3015
5113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．3015
5113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．15305
113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D ．15305
113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】
利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3得出方程即可． 【详解】
解：设去年居民用水价格为x 元/3m ，
根据题意得：3015
5113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．
4．已知关于x 的分式方程12
111m x x
--=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4且m ≠3 B ．m ＜4
C ．m ≤4且m ≠3
D ．m ＞5且m ≠6
【答案】A 【解析】 【详解】
方程两边同时乘以x -1得， 1-m -（x -1）+2=0， 解得x =4-m ． ∵x 为正数，
∴4-m ＞0，解得m ＜4． ∵x ≠1，
∴4-m ≠1，即m ≠3．
∴m 的取值范围是m ＜4且m ≠3． 故选A ．
5．若关于x 的分式方程
2x
x -﹣
12m x
--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52
212
6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨
+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．
【详解】
解：化简不等式组为
25
632
y m
y y
-≤
⎧
⎨
+>+
⎩
，
解得：﹣2＜y≤
5
2
m+
，
∵不等式组至多有六个整数解，
∴
5
2
m+
≤4，
∴m≤3，
将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），
解得：x=
5
2
m+
，
∵分式方程的解为正整数，
∴m+5是2的倍数，
∵m≤3，
∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，
∴
5
2
m+
≠2，
∴m≠﹣1，
∴m=﹣3或m=1或m=3，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
6．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（）
A．400400
(130%)
x x
-
+
＝4 B．
400400
(130%)x x
-
+
＝4
C．400400
(130%)
x x
-
-
＝4 D．
400400
4
(130%)x x
-=
-
【答案】A 【解析】
【分析】
根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】
设每月原计划生产的医疗器械有x 件，
根据题意，得：()400400
4130%x x
-=+ 故选A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫
⎪-+⎝⎭
，则a 的值为( )
A ．1a =-
B ．7a =-
C ．1a =
D ．13
a =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得
11
=423
a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，
进而得到a 的数量关系． 【详解】
根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故
11
+
423
a a -+=0， 解得：a=
13
.
故答案选：D. 【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.
8．若关于x 的方程244
x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4．
关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116
x x x +=+- B ．
416x x x =-+ C ．
4116x x x +=-- D ．
4116
x x x +=-+ 【答案】D 【解析】
首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的1
1
x -，而乙每天完成总工程的
1
6x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】
∵工程期限为x 天，
∴甲每天完成总工程的
11x -，乙每天完成总工程的16
x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116
x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.
10．已知关于x 的分式方程22124
x mx
x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4
【答案】D 【解析】 【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：2
3
a b a ab
⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
【解析】 【分析】
利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】
根据题中的新定义化简得：
33
9342x x
=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，
经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】
本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．12001200
2(120%)x x -=+ B ．
12001200
2(120%)x x
-=-
C ．
12001200
2(120%)x x
-=+
D ．1200
1200
2(120%)x x -=-
【答案】A 【解析】
设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ， 由题意得,()12001200
2120%x x
-=+. 故选A.
13．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ） A ．3个 B ．4个
C ．5个
D ．6个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】
解：根据题意，得：
1212
1(150%)
x x -=+， 解得：4x =；
经检验，4x =是原分式方程的解.
∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．
14．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
15．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )
A．30
x
＝
45
6
x+
B．
30
x
＝
45
6
x-
C．
30
6
x-
＝
45
x
D．
30
6
x+
＝
45
x
【答案】A 【解析】【分析】
设甲每小时做x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程. 【详解】
设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个， 根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得30x =456
x +. 故选A ． 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
16．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．600480
40x x
=- B ．600480
40x x =+ C ．
600480
40x x =+ D ．
600480
40
x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
480600
40x x =+. 故选B ． 【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480
x
天和现在生产600台机器所需时间为
600
40
x +天是解答本题的关键．
17．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．
16501610
840x x
-=+
B ．
16501610
840
x x -=+
C ．
16101650840
x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】 设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多
8个”即可得到方程．
【详解】 解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，
16101650840
x x -=+． 故选：C
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．
18．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．
25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060
(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010180%60
x x -=+ 故选A ．
19．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A ．300300201.2x x -=
B ．300300201.260
x x =-
C．30030020
1.260
x x x
-=
+
D．
30020300
60 1.2
x x
-=
【答案】D
【解析】
【分析】
原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计
划植300棵树可用时300
x
小时，实际用了
300
1.2x
小时，根据关键语句“结果提前20分钟完
成任务”可得方程．
【详解】
设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由
题意得：30020300
60 1.2
x x
-=，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
20．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()
A．1010
15
2
x x
-=B．
1010
15
2x x
-=C．
10101
24
x x
-=D．
10101
24
x x
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15
=分钟”列出方程即可得．
【详解】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，
∴所列方程正确的是：10101
24
x x
-=，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．。