贵州省凯里市第一中学高二数学下学期入学考试试题 文

是
输入x 否
x≤2？开始凯里一中2015—2016学年度第二学期入学考试
高二文科数学试卷
注意事项：
1. 本试卷共150分，考试时间120分钟。

2. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。

3．选择题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）
1． 已知集合}4,3,2{=A ，}5,4,3{=B ,则B A ⋂= ( ) A. }3{ B. }4,3{ C. }4,3,2{ D. }5,4,3,2{
2. 18
cos
22
-π
=（ ）
A.
21 B. 21- C. 2
2
- D.
2
2 3. 函数()2x
f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）
A ．(1,2)
B ．(0,1)
C ．(1,0)-
D ．(2,1)--
4. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3
D. 43
5. 曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为( ) A. 12-=x y B. 1y x =-+ C. 1y x =- D. 22y x =-+
6． 双曲线
22
1916x y -=的渐近线方程为 ( ) A. 169y x =± B. 916y x =± C. 3
4
y x =±
D. 43
y x =±
7. 设a R ∈,则1a >是1
1a
<的 （ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8． 将函数)4
2sin()(π
-
=x x f 图象上的所有点向左平移
4
π
个单位长度，则所得图象的函数解析式 是（ ） A. )4
sin(π
-
=x y B. )4
cos(π
+
=x y C. )4
2sin(π
+
=x y
D. )4
2cos(π
-
=x y
9．如图（1）一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方
形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ）
图（1）
A.
8π B. 2π C. 4
π
D. π 10．执行图（2）所示的程序框图，若输入的x 值为1
4
，则输出
的y 的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．1
2
D ．42 11．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）则
该几何体的表面积和体积分别为 ( ) A ．224cm π ，312cm π
B ．215cm π，312cm π
C ．224cm π，3
36cm π
D ． (24+9π)cm 2，36πcm 2
12. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ,过其右焦点且垂直于
实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 若ON OM ⊥,则双曲线的离心率为 ( ) A.
132-+ 错误!未找到引用源。

B. 132+ C. 152-+ D. 132
+ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数2
1
)(--=
x x x f 的定义域为 . 14. 已知抛物线方程为：2
4
1y x =，其准线方程为 .
15. 长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积 .
16. 在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤≤0121y x y x 下，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ab 的最大
值为 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cosB 2cos b C c a B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若4,13=+=c a b ,求△ABC 的面积．
18. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，11=a ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n
S .
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，1===BC DC PD ，
2=AB
，//AB CD ，090BCD ∠=.
（1）求证：BC ⊥平面PDC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.
20．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽
取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的 学生人数为6.
（1）估计所抽取的数学成绩的众数；
（2）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学
生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率.
21. （本小题满分12分）已知椭圆C:)0(122
22>>=+b a b y a x ,右焦点)0,3(F ,且离心率2
3=e .
（1）求椭圆C 的方程.
（2）过F 且倾斜角为︒
45的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,求OMN ∆(O 为坐标原点)的
面积.
22. 已知函数x x x f ln )(=
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.
高二数学（文）答案
一、选择题：1---5 B D C B A 6-10 DAC CB 11—12 AD 二、填空题：
13.[1,2)(2,)+∞U ； 14.1x =-； 15. 9π ； 16.
1
8
.三、解答题 17.解：（1）sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=………1分
sin 2sin cos A A B =，………2分
sin 0A >，所以1
cos 2
B =，………3分
∵0πB <<，………4分
π
3B =;………5分
（2）222222
2cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-………7分 即13163ac =-，1ac =，………8分
所以13sin 24
S ac B =
=………10分 18.解：（1）由已知有2
215a a a = ………………………………（1分）
而 11a =
∴ 2
(1)1(14)d d +=⨯+ ………………………………（3分） 解得 2d =或0d =（舍去） ………………………………（5分） ∴ 12(1)21n a n n =+-=-. ………………………………（6分） （2）由（1）知，21n a n =-
∴ 111
(21)(21)n n n b a a n n +=
=-+
………………………（7分） =
11122121n n ⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭
………………………………（9分）
∴ 123n n S b b b b =++++L 111111(1)()()23352121n n ⎡⎤=
-+-++-⎢⎥-+⎣⎦L
………（10分） =11(1)221n -+ …………………………（11分） 21
n
n =
+ ……………………………（12分） 19.（1）证明：Q PD ⊥平面ABCD
∴ PD BC ⊥ …………………（2分）
又Q 0
90BCD ∠=
∴ BC CD ⊥…………………（3分） 而 PD DC D =I ，
PD ⊂平面PDC ，
CD ⊂平面PDC …………………………………（4分）
∴ BC ⊥平面PDC . …………………………………（6分） （2）解：连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h .
由（1）有BC ⊥平面PDC
∴ BC ⊥PC …………………………………（7分） 在Rt PDC V 中，有 1PD DC ==
∴ 2PC = …………………………………（8分） 由A PBC P ABC V V --=，有
11
33PBC ABC S h S PD ⨯=
⨯⨯V V g …………………………（9分）
∴ 1111
3232PC BC h AB BC PD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯g
∴ 1111
212113232
h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
∴ 2h =…………………………………（11分）
故所求距离为2. …………………………………（12分）
20.解：（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为75．………4分
（2）由频率分布直方图可得：第三组[50,60)的频率：0.012100.12⨯=， 所以60.1250n =÷=，………5分
∴第四组[80,90)的频数：0.024105012⨯⨯=； 第五组[90,100]的频数：0.01610508⨯⨯=；………6分 用分层抽样的方法抽取5份得：
第四组[80,90]抽取：
125320⨯=；第五组[90,100]抽取：8
5220
⨯=．……7分 记抽到第四组[80,90)的三位同学为123,,A A A ，抽到第五组[90,100]的两位同学为12,B B 则从5个同学中任取2人的基本事件有：1213111223(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A A
2122(,),(,)A B A B ，313212(,),(,),(,)A B A B B B ，共10种．………9分
其中分数在[90,100]恰有1人有：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，共6种． (10)
分
∴ 所求概率：63
105P =
= ……………12分 21.解: (1)由题意可知⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧+====222233c b a a c e c , ………………2分
解得 2,1a b == ………5分
所以椭圆的方程为2
214
x y +=. ………6分 (2)由已知可设直线MN 的方程为：3y x =- ……………7分 联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
2
2
y x m kx y 消去y 得：2
58380x x -+= …………………………8分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则
121283585x x x x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
……………………………9分 ∴ 2121211()4MN x x x x =++-g
212838
2(
)455
x x =
-⨯g =85 ………………………10分
点O 到直线MN 的距离为： 003
6
2
2
d --=
=
………………………………11分 ∴ 11862622525
OMN S MN d =
=⨯⨯=V g 故所求面积为
26
5
. ……………………………………12分 22.解：（1）函数()y f x =的定义域为：(0,)+∞. …………………1分
'()'ln (ln )'f x x x x x =+
=ln 1x + ………………………………3分 令'()0f x >，有
ln 10x +>，即1
ln ln x e ->
∴ 1
x e
>
……………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间为：1(,)e +∞，单调递减区间为：1
(0,)e .
……………………………………………………6分
（2）由（1）可知：ln 1x x ax ≥-在[1,)+∞上恒成立.
即 1
ln a x x
≤+
在[1,)+∞上恒成立. …………………………8分 记函数1
()ln (1)g x x x x
=+≥，则
22111
'()0x g x x x x
-=-=>
∴ 函数()g x 在[1,)+∞上单调递增. …………………10分 ∴ min ()(1)1g x g == ∴ 1a ≤
-∞. ………………………12分∴所求取值范围是：(,1]。