2007年海、陆、空军考真题

2007年海陆空数学真题
一、（28分）本题共有7个小题，每个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的。

把正确的结论代号写在题后的括号内，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一律得0分。

1. 若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有 （ ）
A. C A ⊆
B. A C ⊆
C. C A ≠
D. ∅=A
2. 设a ，b R ∈，已知命题b a p =:；命题22:222
b a b a q +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则p 是q 成立的 （ ）
A. 必要而不充分条件
B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 复数3
)1(i -的虚部为 （ ）
A. 3
B. 3-
C. 2
D. 2- 4. 函数)13lg(13)(2
++-=x x
x x f 的定义域是 （ ） A. ),3
1
(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 5. 某市有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 13
6. 设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=)1(11)11(22)1(1)(2x x
x x x x x f ，若1)(>a f ，则a 的取值范围为 （ ） A. ),2
1()2,(+∞-
--∞ B. )21,21(- C. )1,21()2,(---∞ D. ),1()21,2(+∞-- 7. 下列不等式中一定成立的是 （ ）
A. a a 34>
B. a a -<-43
C. a a 2->-
D. a
a 23> 二、（40分）本题共有10个小题，每个小题4分。

只要求写出结果。

1. 不等式02
1>-+x x 的解集是___________。

2. 方程x x 323log 1)10(log +=-的解是=x ___________。

3. 在数列}{n a 中，若11=a ，）（1321≥+=+n a a n n ，则该数列的通项=n a ___________。

4. 。

40cos 270tan 10sin 310cos 20cot -+=___________。

5. 设常数0>a ，421⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x ax 展开式中3x 的系数为23，则=a ___________。

6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为)0,3(，且焦距与虚轴长之比为4:5，则双曲线的标准方程是___________。

7. 已知向量)2,1(),,2(==b t a ，若1t t =时，b a //；2t t =时，b a ⊥，则1t =___________，2t =___________。

8. 已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧-≥≤|
1|1x y y ，则y x 2+的最大值是___________。

9. =-++-→1
23lim 221x x x x ___________。

10. 安排5名战士的射击顺序时，要求战士甲不第一个出场、战士乙不最后一个出场，不同安排的总数___________。

（用数字作答）
三、（18分）本题共有2个小题，每个小题9分。

1.已知函数x
x x f cos 2sin 1)(-=。

（1）求)(x f 的定义域；
（2）设α施第四象限的角，且3
4tan -=α，求)(αf 的值。

2.已知A 、B 、C 三点在球心为O 、半径为R 的球面上，且BC AC ⊥，且R AB =。

（1）求A 、B 两点的球面距离；
（2）求球心到平面ABC 的距离。

四、（12分）设函数bx ax x x f 33)(2
3+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点)11,1(-。

（1）求a ，b 的值；
（2）讨论函数)(x f 的单调性。

五、（12分）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为5
81。

（1）求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；
（2）对给定的),...,3,2,1(n k k =，设)(k T
是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列，求)2(T 的前10项之和；
（3）设i b 为数列)(k T 的第i 项，n n b b b S +++=...21，求n S 。

六、（12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）。

若安检不合格，则必须进行整改，若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。

设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.1）：
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）平均有多少家煤矿必须整改；
（3）至少关闭一家煤矿的概率。

七、（14分）正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在棱AD 上，且1:2:=FD AF ，求异面直线AE 和CF 所成角的余弦值。

八、（14分）设椭圆中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2
3 e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程。