高二年级上学期寒假作业(卷五)

高二年级上学期寒假作业（卷五)
-----数列
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，
且，
，则使得S n 取最小值时的n 为( )
A. 1
B. 6
C. 7
D. 6或7
2. 已知数列{a n }满足递推关系：a n+1=a
n
a n +1，a 1=12，则a 2017=( )
A. 1
2016
B. 1
2017
C. 1
2018
D. 1
2019
3. 在等差数列{a n }中，a 1=−2011，其前n 项的和为S n .若S
20102010
−S
2008
2008=2，则S 2011=( ) A. −2010 B. 2010 C. 2011 D. −2011
4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=20，S 20=15，则S 30=( )
A. 10
B. −30
C. −15
D. 25
5. 等比数列{a n }共有2n +1项，其中a 1=1，偶数项和为170，奇数项和为341，则n =( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 9 6. 已知1，a ，b ，c ，5五个数成等比数列，则b 的值为( )
A. 3
B. √5
C. ±√5
D. 5
2
7. 若数列{a n }的通项公式为a n =2n +5，则此数列是( )
A. 公差为2的等差数列
B. 公差为5的等差数列
C. 首项为5的等差数列
D. 公差为n 的等差数列
8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=3，则a 9+a 10+a 11+a 12=( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
9. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n =2a n −3n ，则a 2018=( )
A. 22018−1
B. 32018−6
C. (12)
2018
−7
2
D. (13
)
2018
−
103
10. 数列{a n }前n 项和S n =n 2+2n −2，对数列{a n }的描述正确的是( )
A. 数列{a n }为递增数列
B. 数列{a n }为递减数列 ，
C. 数列{a n }为等差数列
D. 数列{a n }为等比数列
11. 古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”
意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于100尺，该女子所需的天数至少为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 12. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪
裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配(即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列)，问各得多少鹿？”已知上造分得2
3只鹿，则大夫所得鹿数为( ) A. 1只
B. 4
3只
C. 5
3
只
D. 2只
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠
日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚6431
32，______ 天后两只老鼠打穿城墙．
14. 设f(x)=2x +√2，
利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(12019)+f(2
2019)+⋯+f(20172019)+f(2018
2019)=________．
15. 数列{a n }的通项公式a n =√n+1+√n+2，其前n 项和S n =3√2，则n =______．
16. 设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N ∗)，则数列{1
a n
}的前10项的和为______．
选填答题区
13. 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共2小题，共20.0分）
17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N ∗，且S n =32a n −1
2．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =2n
a n+2−a n+1
，设数列{b n }的前n 项和为T n ,n ∈N ∗，证明T n <3
4．
18.（附加题）已知数列{a n}的前n项和S n，点(n,S n)(n∈N∗)在函数y=1
2x2+1
2
x的图象上．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设数列{1
a n a n+2
}的前n项和为T n，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到前n 项和的最小值，属于中档题．
由题意，可根据a1+a5=−14，S9=−27，解出数列的首项和公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负数项的个数，即可得出S n取最小值时n所取的值．
【解答】
解：设等差数列{a n}的公差是d，
∵a1+a5=−14，S9=−27，
∴2a1+4d=−14，即a1+2d=−7，①
S9=9(a1+a9)
2
=9(a1+4d)=−27，即a1+4d=−3，②
联立①②得到：a1=−11，d=2，
故有a n=a1+(n−1)d=2n−13，
令a n≤0，可解得n≤13
2
，
由此知，数列的前6项为负项，第7项为正项，
故S n取最小值时，n等于6．
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了数列递推关系，等差数列的概念和等差数列的通项公式，属于中档题．
利用数列递推关系，结合等差数列的定义得数列{1a
n
}是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可．
【解答】
解：∵a n+1=a n
a n+1
，
∴1
a n+1−1
a n
=1，
又a1=1
2
，
∴数列{1
a n
}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴1
a2017
=2+2016=2018，
即a2017=1
2018
，
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
S n是等差数列{a n}的前n项和，可得数列{S n
n
}是首项为a1，公差为1的等差数列，利用通项公式即可得出．【解答】
解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，S n=na1+n(n−1)
2
d，
∴S n
n =a1+(n−1)
2
d，
又S1
1=a1，S2010
2010
−S2008
2008
=2，
∴数列{S n
n
}是首项为a1，公差为1的等差数列；
∴S2011
2011
=−2011+(2011−1)=−1，
∴S2011=−2011，
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由等差数列{a n}的前n项和的性质可得：S10，S20−S10，S30−S20也成等差数列，即可得出．【解答】
解：由等差数列{a n}的前n项和的性质可得：S10，S20−S10，S30−S20也成等差数列，
∴2(S20−S10)=S10+(S30−S20)，
∴2×(15−20)=20+S30−15，
解得S30=−15．
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，为基础题．
等比数列的奇数项、偶数项都为等比数列，利用偶数项来表示奇数项，求得q，进而求解n．【解答】
解：由题意可得：a2+a4+⋯+a2n=170，
1+a3+a5+⋯+a2n+1=341，即a3+a5+⋯+a2n+1=340，
∴q(a2+a4+⋯+a2n)=170q=340，
解得q=2，
∴1−4n+1
1−4
=341，解得n=4，
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．
由已知可得b为1，5的等比中项，然后结合等比数列中，奇数项同号求得b的值．
【解答】
解：∵1，a，b，c，5五个数成等比数列，
∴b为1，5的等比中项，
则b 2=1×5=5， b =±√5．
又等比数列中，奇数项同号， ∴b =√5． 故选B ． 7.【答案】A
【解析】解：∵a n =2n +5，∴a n+1=2(n +1)+5=2n +7， 故a n+1−a n =(2n +7)−(2n +5)=2， 故数列{a n }是公差为2的等差数列． 故选A
由题意可得a n+1=2n +7，进而可得a n+1−a n =2，由等差数列的定义可得． 本题考查等差数列的判定，属基础题． 8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质、求和等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由等比数列的性质和前n 项和公式得S 4，S 8−S 4，S 12−S 8成等比数列，由此能求出a 9+a 10+a 11+a 12的值． 【解答】
解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=3， 易知公比q ≠1， S 4=
a 1(1−q 4)1−q
，S 8−S 4=
a 1[(1−q 8)−(1−q 4)]
1−q
=
a 1(1−q 4)1−q
q 4，
S 12−S 8=
a 1[(1−q 12)−(1−q 8)]
1−q
=
a 1(1−q 4)1−q
q 8，
∴S 4，S 8−S 4，S 12−S 8成等比数列， ∴S 12−S 8=
(S 8−S 4)2
S 4
=
221
=4，
∴a 9+a 10+a 11+a 12=S 12−S 8=4． 故选C ．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考察了等比数列的判断，等比数列的通项公式，着重考察数列建模，考察a n 与S n 之间的关系，当n ≥2时，a n =s n −s n−1，从而构造出等比数列，再用相应的公式解题即可．
【解答】由题可知：当n =1时，3S 1=2a 1−3×1，所以a 1=−3， 当n ≥2时，3S n =2a n −3n① 3S n−1=2a n−1−3(n −1)②
由①−②得：3a n =2a n −2a n−1−3n +3(n −1) 整理得：a n =−2a n−1−3
∴a n +1=−2(a n−1+1) 即a n +1
a
n−1+1
=−2
∴{a n +1}是首项为−2，公比为−2的等比数列，
∴a n +1=(−2)∗(−2)n−1 ∴a n =(−2)n −1
当n =1时也成立，
∴数列{a n }的通项公式为a n =(−2)n −1
∴a 2018=(−2)2018−1=22018−1
故选A ．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等比关系与等差关系的确定，考查数列递推关系的应用及数列的单调性，属于中档题．
利用S n =n 2+2n −2⇒a n ={1,n =1
2n +1,n >1，利用函数的单调性及等差数列与等比数列的概念对A 、B 、C 、D 四
个选项逐一分析即可得到答案． 【解答】
解：S n =n 2+2n −2⇒a n ={1,n =1
2n +1,n >1
，
对于A ：a 1<a 2<⋯<a n ，
所以是递增数列，不是递减数列，可排除B ；
对于C ：a 1=1，a 2=5，a 3=7，a 3−a 2≠a 2−a 1，数列{a n }不是等差数列，可排除C ；
对于D ：a 2a 1
≠a
3
a 2
，即数列{a n }也不是等比数列，可排除D ．
故选A ． 11.【答案】C
【解析】【分析】设该女子所需的天数至少为n 天，第一天织布a 1尺，先由等比数列前n 项和公式求出a 1=5
31，再由等比数列前n 项和公式列出不等式，能求出要使织布的总尺数不少于100尺，该女子所需的天数至少为多少天． 本题考查等比数列的项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 【解答】
解：设该女子所需的天数至少为n 天，第一天织布a 1尺， 则由题意知：S 5=a 1(1−25)1−2
=5，解得a 1=5
31，
则S n =
5
31
(1−2n )1−2
≥100，
解得2n ≥621，由29=512，210=1024，
∴要使织布的总尺数不少于100尺，该女子所需的天数至少为10天． 故选：C ． 12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．
设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则a 4=2
3，由前5项和为5求得a 3，进一步求得d ，则答案可求． 【解答】
解：设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则a 4=2
3， 则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5a 3=5， ∴a 3=1，则d =a 4−a 3=−1
3， ∴a 1=a 3−2d =5
3． ∴大夫所得鹿数为53只．
故选C．
13.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和的求法及应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．
由题意，n天后两只老鼠打洞之和：S n=1×(1−2n)
1−2+1×(1−
1
2n
)
1−1
2
=2n−1
2n−1
+1，由墙厚6431
32
，能求出结果．
【解答】
解：由题意，n天后两只老鼠打洞之和：
S n=1×(1−2n)
1−2
+
1×(1−
1
2n)
1−
1
2
=2n−1+2−1
2n−1=2n−1
2n−1
+1，
∵墙厚6431
32
，
∴S n=2n−1
2n−1+1=6431
32
，
解得n=6．
故答案为：6．
14.【答案】1009√2
2
【解析】【分析】
本题考查了倒序相加法.
利用倒序相加法计算得结论.【解答】
解：因为f(x)=
2x+√2
，
所以f(1−x)=
21−x+√2=x
2+√2×2x
=
√2
x
2x+√2
，
因此f(x)+f(1−x)=
2x+√2√2×x
2x+√2
=
1
√2
√2
2x+√2
1
√2
2x
2x+√2
=
2
，
所以f(1
2019)+f(2
2019
)+⋯+f(2017
2019
)+f(2018
2019
)=1009√2
2
．
故答案为1009√2
2
．
15.【答案】30
【解析】【分析】
本题主要考查数列的求和及其递推关系，考查裂项相消法的运用，属于基础题．将通项化简，再利用裂项相消法，即可求得结论．
【解答】
解：∵a n=
n+1+√n+2
，
∴a n=√n+2−√n+1，
∴S n=a1+a2+⋯+a n
=√3−√2+√4−√3+⋯+√n+2−√n+1
=√n+2−√2，
∵S n=3√2，
∴√n+2−√2=3√2，
∴n=30．
故答案为30．
16.【答案】20
11
【解析】【分析】
本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
数列{a n}满足a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N∗)，利用“累加求和”可得a n=n(n+1)
2
.再利用“裂项求和”即可得出．
【解答】
解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N∗)，
∴当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)+a1
=n+⋯+2+1=n(n+1)
2
．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=n(n+1)
2
．
∴1
a n =2
n(n+1)
=2(1
n
−1
n+1
)．
∴数列{1
a n }的前n项的和S n=2[(1−1
2
)+(1
2
−1
3
)+⋯+(1
n
−1
n+1
)]
=2(1−
1
n+1
)
=2n
n+1
．
∴数列{1
a n }的前10项的和为20
11
．
故答案为：20
11
．
17.【答案】.解：(1)当n=1时，a1=3
2a1−1
2
，得a1=1，
当n≥2时，S n−1=3
2a n−1−1
2
，
则S n−S n−1=a n=3
2
(a n−a n−1)，即a n=3a n−1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1；
(2)由(1)得b n=2n
a n+2−a n+1=n
3n
，
所以T n=1
3+2
32
+⋯+n
3n
，①
所以1
3T n=1
32
+2
33
+⋯+n
3n+1
，②
两式相减得2
3T n=1
3
+1
32
+⋯+1
3n
−n
3n+1
，
即2
3T n=
1
3
(1−1
3n
)
1−1
3
−n
3n+1
，
所以T n=3
4−3+2n
4×3n
，
因为n∈N∗，所以3+2n
4×3n
>0，
即T n<3
4
．
【解析】本题主要考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用递推关系即可得出；
(2)利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
18.【答案】解：(1)∵点(n,S n)在函数y=1
2x2+1
2
x的图象上，
∴S n=1
2n2+1
2
n，①
当n≥2时，S n−1=1
2(n−1)2+1
2
(n−1)，②
①−②，得a n=n(n≥2)，
当n=1时，a1=S1=1
2+1
2
=1，符合上式，
∴a n=n；
(2)由(1)知a n=n，则1
a n a n+2=1
2
(1
n
−1
n+2
)，
∴T n=
1
2
[(1−
1
3
)+(
1
2
−
1
4
)+(
1
3
−
1
5
)+⋯+(
1
n
−
1
n+2
)]
=
1
2
(1+
1
2
−
1
n+1
−
1
n+2
)
=3
4−1
2
(1
n+1
+1
n+2
)，
∵T n+1−T n=1
(n+1)(n+3)
>0，
∴数列{T n}单调递增，
∴(T n)min=T1=1
3
，
要使不等式T n>1
3
log a(1−a)对任意正整数n恒成立，
只要1
3>1
3
log a(1−a)，即log a(1−a)<1，
∵1−a>0，∴0<a<1，
∴1−a>a，即0<a<1
2
．
∴a的取值范围为(0,1
2
)．
【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列{T n}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于较难题．
(1)根据题意可得S n=1
2n2+1
2
n，可得S n−1=1
2
(n−1)2+1
2
(n−1)，从而即可求{a n}的通项公式；
(2)由(1)知a n=n，利用裂项法可求1
a n a n+2=1
2
(1
n
−1
n+2
)，从而可求得T n，再判断数列{T n}单调递增，从而可求得a
的取值范围．
第11页，共11页。