浙江省杭州四季青中学2016届九年级上学期期中考试数学试卷

2015学年第一学期九年级数学学科期中考试卷
出卷人：陈莉莉校对：毛红英考试时间95分钟。

一. 选择题(本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)
1．若，则=（）
A．B．C．D．
2．二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位后函数解析式为（）
A．y=3x2+1 B．y=3x2﹣1 C．y=3（x﹣1）2D．y=3（x+1）2
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
4.如图所示，图中共有相似三角形（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P
（3，0），则a﹣b+c的值为（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交
于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下
列结论中正确的是（）
A．m=5 B．m=4C．m=3D．m=10
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一
步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两
侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半
径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）
A．B．C．D．
9.如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的
任意一点，则∠APB等于（）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的
图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC
相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之
和等于（）
A．B． C．3 D．4
二. 填空题(本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11. 已知抛物线y=-2x2+bx+c的顶点坐标为（1,2），则b=,c=
12. 已知下列函数①y=x2;②y=-x2;③y=2x2;④y=(x-1)2+2.其中通过平移、旋
转、轴对称变换得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写
所有正确选项的序号）
13. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，动点M在弦AB上运动（可运动
至A和B），设OM=x，则x的取值范围是．
14.如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A，B
重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得
到点A，O的对称点A′，O′．设∠ABP=α．当点O′
落在上时，α的度数为
15．已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2
﹣4n的最小值为
16.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所
示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是m．（结果用含π的式子表示）
三、解答题：（共7小题，66分）
17作图题：（本题满分6分）
（1）用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形ABCDEF
O
（2）在所作图中，联结AE，求∠AED
18. （本题满分8分）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交
x轴于A（﹣1,0）,B（2,0）,交y轴于C（0,﹣2）,过
A,C画直线．（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长
19. （本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，
，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
20. （本题满分10分）已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF
（1）求证：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．
21. （本题满分10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
22．（本题满分12分）已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．
（1）请写出b、c的关系式；
（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；
（3）若P（a，﹣a）不在抛物线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．
23．（本题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．
2015学年第一学期九年级数学学科期中考试卷答案
一. 选择题 (每小题3分, 共30分)
1. A
2. D
3. A
4. B
5. A
6. B
7. D
8. C
9.C 10.A
二. 填空题 (每小题4分, 共24分
11.4, 0 12①②④; 13.3≤x≤5 14. 30° 15. -8 16. 6∏
三. 解答题(7个小题, 共66分)
17. (本小题满分6分) （略）
18. (本小题满分8分) 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=
19. (本小题满分8分)
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
20.(本小题满分10分)
（1）证明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3
∴∠ABC=∠4
∴AB=AC ；
（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC ，∠DAB=∠BAE
∴△ABD ∽△AEB
∴
∵AB=AC=3，AD=2
∴AE= ∴DE=（cm ）．
21. (本小题满分10分)
（1）∵四边形EGFH 为矩形，
∴BC ∥EF ，
∴△AEF ∽△ABC ；
（2）设正方形零件的边长为x
在正方形EFGH 中，EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC ∴
AD AK BC EF =即8080120x x -= 解得：x=48
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x ，宽为y ，
当长方形的长在BC 时，8080120y x -=，x y 3
280-= x x x x xy s 803
2)3280(2+-=-== 当x=60时
长方形的面积最大为2400．
22．（本题12分）解：（1）∵二次函数y=x 2﹣2bx+c 的图象与x 轴只有一个交点， 令y=0得：x 2﹣2bx+c=0，
∵△=（﹣2b ）2﹣4c=0，
∴b 2=c ．
（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），
∵直线y=7与抛物线的交点A 、B 的横坐标就是方程x 2﹣2bx+c ﹣7=0的两个根x 1、x 2． ∴AB=|x 1﹣x 2|，
∵x 1+x 2=2b ，x 1x 2=c ﹣7，b 2=c ．
∴AB=|x1﹣
x2|=====2．
（3）P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，
∴直线y=﹣x与曲线y=x2﹣2bx+c没有交点，
即方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，
∴x2+（1﹣2b）x+c=0的△＜0，
即（1﹣2b）2﹣4c＜0，
整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，
∵b2=c．
∴1﹣4b＜0，
∴b．
23．（本题12分）
解：（1）∵y=ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），
∴抛物线的对称轴是y轴，
∴b=0，故可设抛物线的解析式是：y=ax2﹣，
又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO=
∴AO=1，∴A（﹣1，0）
把点A代入y=ax2﹣，得a=
∴抛物线的解析式是y=x2﹣．
（2）当0＜t＜1时，OT=1﹣t，CS=t；
∴S=OT•CS=（1﹣t）t=﹣t2+t；
当1＜t＜2时，OT=t﹣1，CS=t；
∴S=OT•CS=（t﹣1）t=t2﹣t；
综上，S与t的函数关系式为：S=．
（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB=TE，又∠B=60度，
∴三角形TBE为等边三角形，
∴BE=TB=t，
∵△SDH∽△STO，设DH=a，
则有，即，
∴a=，∴DC=1﹣t，
∴DE=CB﹣EB﹣DC=2﹣t﹣（1﹣t）=1．
当1＜t＜2，（如图2）
同理，△SDH∽△STO，即有，a=，DC=t﹣1，∴DE=DC+CE=t﹣1+（2﹣t）=1．。