高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课后导练新人教A版选修4_5

4.1 数学归纳法
课后导练
基础达标
1设f(n)=(n∈N*），那么f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.
C.+
D.-
解析:f(n+1)-f(n)=
答案:D
2若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为( )
A.↓→
B.→↓
C.↑→
D.→↑
解析:2 002=4×500+2,而a n=4n是每一个下边不封闭的正方形左,上顶点的数.
答案:D
3凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1
B.f(n)+n
C.f(n)+n-1
D.f(n)+n-2
解析:由n边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线.
答案:C
4用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( )
A.2k+1
B.2(2k+1)
C. D.
解析:当n=1时,显然成立.
当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),
当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+1)(k+2)·…·(k+k)·=(k+1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1).
答案:B
5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有__________个点.
解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.
答案:n2-n+1
综合运用
6如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )
A.P(n)对n∈N*成立
B.P(n)对n>4且n∈N*成立
C.P(n)对n<4且n∈N*成立
D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立
解析:由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.
答案:D
7用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推
证n=k+1时,左边应增加的项数是( )
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1,末项为
=,∴应增加的项数为2k.
答案:C
8观察下表:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
设第n行的各数之和为S n,则=__________.
解析:第一行1=12,
第二行2+3+4=9=32,
第三行3+4+5+6+7=25=52,
第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.
归纳:第n项的各数之和S n=(2n-1)2,
=4.
答案:4
9已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lga n-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α,β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.
解析:。