2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学(理)试题(含答案解析)

2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学（理）试题
一、单选题
1．设集合{
}
|51x
A y y ==+，21x
B x y x ⎧-⎪
==
⎨+⎪⎩
，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．()1,-+∞ C ．(]
1,2
D ．[]1,2
【答案】C
【解析】分别求出两个函数的值域和定义域即可得解. 【详解】
因为()1,A =+∞， 解
201
x
x -≥+得(]1,2x ∈- (]1,2B =-，所以(]1,2A B =I .
故选：C 【点睛】
此题考查求集合的交集运算，关键在于准确求出已知函数的值域和定义域.
2．复数()()23z a i a R =+-∈在复平面内对应的点位于第四象限，且20z z ⋅=，则
z =( )
A ．23i -
B ．23i +
C ．24i -
D ．24i +
【答案】D
【解析】根据复数在复平面内对应点所在位置求出a 的范围，根据20z z ⋅=列方程即可得解. 【详解】
因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以30a -<， 由20z z ⋅=，可得()2
4320a +-=，解得7a =， 所以24z i =-，24z i =+. 故选：D 【点睛】
此题考查复数的几何意义与共轭复数的辨析，关键在于熟练掌握复数的相关计算.
3．已知2log 3a =， 1.30.2b =，2log 0.3c =，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a <<
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间值1,0，进行比较. 【详解】
因为2log 31a =>，()1.3
0.20,1b =∈，2log 0.30c =<，
所以c b a <<. 故选：A 【点睛】
此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数对数函数的单调性，结合中间值进行比较.
4．函数()2cos x x
x x
f x e e
--=+的大致图象为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性，特殊值及取值范围进行辨析，排除可得. 【详解】
因为()()2cos x x
x x
f x f x e e
--==+-，所以()f x 为偶函数，排除A ； 因为()102f =-，所以排除B ；因为()()21
0,1f e
e ππ
ππ-+=∈+，所以排除D. 故选：C 【点睛】
此题考查函数图象的辨析，利用函数性质和特殊值辨析，常用排除法解题.
5．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”.在割圆术求π的方
法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为( ) (附:sin cos
0.097532
32
π
π
≈)
A ．3.13
B ．3.12
C ．3.064
D ．3.182
【答案】B
【解析】根据圆的内接正三十二边形，每个顶点连接圆心，形成三十二个小等腰三角形，顶角为
16
π
，根据面积公式求解即可. 【详解】
设正三十二边形的外接圆半径为r ，三十二个小等腰三角形顶角为
16
π， sin
2sin
cos
0.19516
32
32
π
π
π
=≈，
圆的内接正多边形的面来逼近圆面积 由2
221232sin 16sin 23216r r r ππ
π≈⨯=，得16sin 3.1216
ππ=≈. 故选：B 【点睛】
此题以中国传统文化为背景，涉及有限与无限的思想，其本质是考查求三角形的面积，根据面积公式，结合题目给定数据求解即可.
6．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2
214
x y -=的渐近线相同，则双曲
线C 的标准方程为( )
A ．2
214
y x -=
B ．22
1520y x -=
C ．22
1205x y -=
D ．2
2
14
x y -=
【答案】B
【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】
∵双曲线C 与2214
x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，
∴可设双曲线C 的方程为22
14y x k k
-=，一个焦点为()0,5，
∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为22
1520
y x -=.
故选：B 【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.
7．已知抛物线C :()2
20x py p =>上一点(),3P m 到焦点F 的距离为4，直线l 过
()0,3M 且与C 交于A ，B 两点，5BF =，若AM BM λ=，则λ=( )
A ．
2
3
B ．
35
C ．
25
D ．
34
【答案】D
【解析】根据点(),3P m 到焦点F 的距离为4，求出抛物线方程，结合5BF =求出B 点坐标，联立方程求解,AM BM 线段的比例关系. 【详解】 由题可知342
p +
=，得12p
=，故抛物线C 的方程为24x y =.
∵5BF =，∴B 点的坐标为()4,4±， 当B 点的坐标为()4,4时，直线l 的方程为1
34
y x =
+，与24x y =联立可得2120x x --=，解得4x =或3x =-，
∴A 点的坐标为93,4⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，∴34A B AM x BM x ==，∴34λ=. 同理，当B 点的坐标为()4,4-时，3
4
λ=. 故选：D 【点睛】
此题考查根据几何关系求解抛物线的方程，根据直线与抛物线的交点坐标处理线段长度关系，将线段长度的比例关系转化为坐标的比例求解. 8．执行如图所示的程序框图，若输出的4
9
S =
，则输入的P 的取值范围是( )
A ．(]15,16
B ．(]16,17
C ．(]17,18
D ．(]18,19
【答案】B
【解析】根据程序框图关系得出框图的作用，根据输出的值，求输入值的取值范围. 【详解】 由图知()()111233412n S n n =
++⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯+1122n =-+，当16n =时，49
S =.故(]16,17P ∈.
故选：B 【点睛】
此题考查程序框图，关键在于根据框图准确辨析其作用.
9．在Rt ABC ∆中，6AC =，斜边10AB =，点M ，N 在其内切圆上运动，且MN 是一条直径，点P 在ABC ∆的三条边上运动，则PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最大值是( ) A ．36 B ．24
C ．16
D ．12
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，运算得出：2
4PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r ，即可求得最大值. 【详解】
由题可知ABC ∆的内切圆的半径4
222
BC AC AB r +-=
==.
设ABC ∆内切圆的圆心为O ，由2PM PN PO +=u u u u r u u u r u u u r
，得()
2
2
4PM PN
PO +=u u u u r u u u r u u u r ，
即222
24PM PN PM PN PO ++⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r .①
由PM PN NM -=u u u u r u u u r u u u u r
，得()
2
2
PM PN
MN -=u u u u r u u u r u u u u r ，
即22216PM PN PM PN +-⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，②
①-②得2
4416PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r ，即2
4PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r
u u u r . 当P 在点B 时，()
2
2822210PO BO =
-+==，
所以PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2
440436PO -=-=.
【点睛】
此题考查平面向量的基本运算，根据向量关系求数量积的最值，此题若能记住极化恒等式，可以大大减少计算量.
10．在古装电视剧《知否》中，甲､乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投
中“有初”的概率为1
3
，投中“贯耳”的概率为
1
6
，投中“散射”的概率为
1
9
，投中“双耳”
的概率为
1
12
，投中“依竿”的概率为
1
36
，乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独
立.比赛第一场，两人平局;第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
A．85
432
B．
5
27
C．
1
9
D．
83
432
【答案】D
【解析】由题意列出分布列，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得. 【详解】
解：由题可知
筹数 2 4 5 6 10 0
P 1
3
1
6
1
9
1
12
1
36
5
18
甲要想贏得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹.
甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，此种情况发生的概率
1155 618108
P=⨯=; 甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率
211511 9318162
P
⎛⎫
=⨯+=
⎪
⎝⎭
;
甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率
31151112318216
P ⎛⎫=
⨯+= ⎪⎝⎭; 甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”､“四筹”､“五筹”､“六筹”，甲都可蠃，此种情况发生的概率41135136361296P ⎛⎫=
⨯-= ⎪⎝⎭.故甲获胜的概率1234249831296432
P P P P P =+++==. 故选：D 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率公式，属于中档题. 11．函数()()
2
3x
f x x e =-，关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同实数
根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞
C ．3360,6e e
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
D ．336,6e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】
()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，
当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()36
3f e
-=
，极小值()12f e =-，作出大致图象：
令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内，
或者两个根都在()2,0e -内.
因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()2
1g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，即6336610m e e -+<，得3
366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
.
故选：D 【点睛】
此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数
()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.
12．已知四边形ABCD 为等腰梯形，4AB =，2AD DC CB ===，将ADC ∆沿AC 折起，使D 到'D 的位置，当'10D B =时，异面直线AB 与直线'CD 所成角的正切值为( ) A ．
7
8
B 15
C ．
157
D ．
87
【答案】C
【解析】首先在平面图形中，求出线段的长度，再利用向量的数量积求出二面角
'D AC B --的大小，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线的夹角的余弦
值，最后根据同角三角函的基本关系计算可得. 【详解】
解：因为四边形ABCD 为等腰梯形，4AB =，2AD DC CB ===. 过C 作1CC AB ⊥，11BC ∴=则60CBA ︒∠=，
由余弦定理可得2222cos AC BC AB AB BC ABC =+-⋅⋅⋅∠，解得23AC =则222AB BC AC =+
90ACB ∴∠=︒，记AC 的中点为E ，则DE AC ⊥，3EC =，1DE =.
翻折后，'D E AC ⊥，3EC =
，'1D E
=.
设二面角'D AC B --的大小为θ，因为'10D B =， 由''D B D E EC CB =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r
，两边平方得(
)
()
2
2
22
13210
2c 12os θ+
+-⨯⨯=，
得1
cos 2
θ=-
，则二面角'D AC B --的大小为120︒. 从点'D 向平面ABC 作垂线，垂足为O ，
以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
则13,,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，13,,02C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，3'0,0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则()
23,2,0AB =-u u u r ，133,,22CD ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎭
u u u r ， 设直线AB 与直线'CD 所成角为α
则7cos cos ,8AB CD AB CD AB CD α⋅===u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u
r u u u r ， 2
2
715sin 1cos 18αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
sin 15
tan cos ααα∴=
=
.
故选：C 【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，异面直线所成的角，属于难题.
二、填空题
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知27a =4b =，120A =︒，则c =______.
【答案】2
【解析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，列方程求解即可. 【详解】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，6c =-(舍). 故答案为：2 【点睛】
此题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，准确求解方程.
14．8
2x x ⎫⎪⎭+的展开式中52x 的系数为______.
【答案】16
【解析】首先求出展开式的通项，令835
22
r -=解得r ，再代入计算可得. 【详解】
解：82x x ⎫⎪⎭+展开式的通项为()
8183122
188
22r
r r
r r
r
r T C x x C x
---+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令
83522
r -=，得1r =，所以52x 的系数为1
8
216C =. 故答案为：16 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，求展开式中某项的系数，属于基础题.
15．在三棱锥P ABC -中，8AB BC ==，120ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，PD ⊥平面ABC ，且8PD =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】260π
【解析】结合立体图形，找出球心的位置建立等量关系求解方程组，即可得解.
【详解】
在ABC ∆中，8AB BC ==，120ABC ∠=︒， 所以ABC ∆的外接圆的半径18382r ⨯==， 结合图形分析：
圆心到D 点的距离为4.另设三棱锥P ABC -的外接球球心到平面ABC 的距离为d ，设外接球的半径为R ， 则1O OB ∆中，2228d R +=，
直角梯形1O ODP 中，()2
22248PD d R =+-=， 解得1d =，265R =，所以24260S R ππ==. 故答案为：260π 【点睛】
此题考查与锥体有关的解决锥体外接球的问题，关键在于熟练掌握球的几何特征，建立等量关系求解半径.
16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14
x x g π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________. 【答案】2 4
【解析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，
()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫
= ⎪⎝⎭的图象的交点的
横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为
6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为
(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程
()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫
= ⎪⎝⎭的图象的交点的
横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =. 因为()2
353sin 1cos 4222x x g x π
π⎛⎫
=+=-+
⎪⎝⎭
，
所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=-
-+⎢⎥⎣⎦35
cos 222
x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.
故答案为：2；8 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足310n n S a +-=. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设16log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)14
n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；(2)
41n n + 【解析】（1）310n n S a +-=，当2n ≥时，11310n n S a --+-=，两式相减得14n n a a -=，即可求得通项公式； （2）求出16log 2n n n
b a ==-，利用裂项求和的方式求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n T .
【详解】
（1）由11310S a +-=，得11
4
a =
. 310n n S a +-=
当2n ≥时，11310n n S a --+-=，两式相减得14n n a a -=， 所以数列{}n a 是以
14为首项，1
4
为公比的等比数列， 则1
111444n n
n a -⎛⎫
⎛⎫=⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
； （2）因为16log 2
n n n b a ==-
， 所以()1141
1411n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭
，
所以1111111141223341n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 144111n n n ⎛
⎫=-= ⎪++⎝⎭
. 【点睛】
此题考查求数列的通项公式和数列求和，涉及裂项相消求和方法，属于基础题目. 18．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:
某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示:
(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关;
(2)请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;
(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X ，求X 的数学期望与方差. 参考公式:
()()
(
)()
1
22
1
1
n
i
i
i n
n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑，()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中
n a b c d =+++.63525≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相交.
【答案】
(1)y 与x 线性相关;(2)有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;(3)20EX =，12DX =
【解析】（1）根据条件计算出相关系数r 即可判断两变量的相关关系； （2）依题意完善列联表，计算出卡方，跟参考数据比较即得；
（3）由样本计算出购置新能源车的车主中女性车主的概率，再根据二项分布求出期望和方差. 【详解】 解：(1)依题意，
2014201520162017201820165x ++++=
=，810132524165
y ++++==，
故
()()5
1
i
i
i x x y y =--∑()()()()2816192847=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=，
()
5
2
1
411410i
i x x =-=+++=∑，()
5
2
1
643698164254i i y y
=-=++++=∑，
则()()
()()
5
5
1
22
1
1
i
i
i n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑0.940.9102542635
=
=≈>⨯，
故y 与x 线性相关. (2)依题意，完善表格如下: 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计 20
10
30
()2
2
301842615 3.75 2.70620102464
K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，
故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. (3)依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42
105
=， 则2~50,
5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以2
50205
EX =⨯
=， 225011255DX ⎛⎫
=⨯⨯-= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查相关关系的判断，独立性检验以及二项分布的期望方差的计算，属于中档题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，
17PA PD ==E 为PA 的中点，点F 在PD 上，EF ⊥平面PCD ，M 在DC 的
延长线上，且2
15
MC CD =
.
(1)证明://EF 平面PBM .
(2)过点C 作BD 的平行线，与直线AB 相交于点G ，当点Q 在线段CG 上运动时，二面角E DQ A --能否等于60︒?请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)不能，理由见解析
【解析】（1）通过证明四边形EFKH 是平行四边形，得到//EF HK 即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角. 【详解】
解：(1)证明:记PB 的中点为H ，连接EH ，过F 作//FK DM 交PM 于K ，连接HK ， 则//EH AB ，且1
12
EH AB =
=. 因为EF ⊥平面PCD ，所以EF PD ⊥.
在PAD ∆中，17PA PD ==，2AD =，易求17EF =
，217
PF =
. 又215MC CD =
，则34
15MD =. 因为PF KF
PD MD
=，所以1KF =. 因为EH FK =，且//////AB EH CD FK ，所以四边形EFKH 是平行四边形， 所以//EF HK ，又HK ⊂平面PBM ，EF ⊄平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .
(2)解:因为EF ⊥平面PCD ，所以EF CD ⊥，而ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥. 因为EF 与AD 显然是相交直线，所以CD ⊥平面PAD ，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
记AD的中点为O，则PO⊥平面ABCD，且4
PO=.
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz
-，
则
1
0,,2
2
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，()
0,1,0
D，设()
,3,0
Q a a
-，24
a
≤≤，
所以
3
0,,2
2
ED
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u r
，()
,2,0
DQ a a
=-
u u u r
.
设平面EDQ的一个法向量为()
,,
m x y z
=
u r
，
则
()
3
20
2
20
ED m y z
DQ m ax a y
⎧
⋅=-=
⎪
⎨
⎪⋅=+-=
⎩
u u u v v
u u u v v，
令4
y=，得
()
42
,4,3
a
m
a
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
u r
.
易知平面ABCD的一个法向量为()
0,0,1
n=
r
，
设二面角E DQ A
--的大小是ϕ，则()2
4
cos cos
2
25
a
a
m n
ϕ=
-
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
=⋅
u r r
.
因为24
a
≤≤，所以
()[]
428
40,2
a
a a
-
=-∈，则
()2
42
255,29
a
a
-
⎡⎤
⎡⎤
+∈
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，所以()2
3293
cos,
295
42
25
a
a
ϕ
⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
-
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
，
因为
1
2
29
>，所以60
ϕ<︒，即二面角E DQ A
--不可能为60︒.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.
20．已知椭圆22
22:1x y W a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的
上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u r u u u u r ，且116
7
PF PQ ⋅=-u u u r u u u r . （1）求W 的方程；
（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆
W 交于M ，N 两点，若2
6CD MN =，求2
F CD S △.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（22. 【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
代入椭圆方程，得223
4
c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，
求出,a b 值，即可求得结论；
（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()3
0y k x k =+≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出
||MN ；
再将直线1l 方程1=-
y x k
与椭圆联立，求出2
CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解. 【详解】
（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r
， ∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22
221x y a b
+=，得2234c a =.
又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫
⋅-=- ⎪
⎝⎭
--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，
∴2
4a =，2
1b =，W 的方程为2
214
x y +=.
（2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意. ∴可设直线2l 的方程为(()3
0y k x k =≠,
联立(223,1,4
y k x x
y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222
41831240k x k x k +++-=，
则2
1283k x x -+=，212212441k x x k -=
+. ()
()22
212122
41||1441
k MN k x x x x k +=++-=
+.
由221,1,4y x k
x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩或2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨
⎪=⎪+⎩
∴()222
161||4
k CD k +=
+.
又∵2
6||||MN CD =，∴
()()222224116144
4
k k k k ++=
++，∴22k =，
∴||2CD =∵2F 到直线CD 的距离2
311d k
==+，
∴21
12222
F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题. 21．已知()11x
x f x e x
+=
-，()()1g x a x =+. (1)求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程;
(2)当0a >时，若关于x 的方程()()0f x g x +=存在两个正实数根()1212,x x x x <，证明:2a e >且1212x x x x <+.
【答案】(1)310x y -+=;(2)见解析
【解析】（1）求出函数的导函数，再计算出()0f ，()'0f ，即可求出切线方程； （2）由()()0f x g x +=存在两个正实数根()1212,x x x x <，整理得方程
()()11x e a x x =-≠存在两个正实数根()1212,x x x x <.令()x h x e ax a =-+利用导数
研究其单调性、最值，因为()x
h x e ax a =-+有两个零点，即2ln 0a a a -<，得2a e >.
因为实数1x ，2x 是()1x
e a x =-的两个根，所以()()1
21211x x e a x e a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
，从而
12
121211x x x x x e x e e --==-.令11x α=-，2
1x β=-，则e αβαβ-=，变形整理得ln ln 1αβ
αβ
-=-.要证1212x x x x <+，则只需证1αβ<，即只要证
()1
01βαβα
<
<<<，
再构造函数即可证明. 【详解】 (1)解:∵()()
2
2
'31x f x e x x -=
-，
∴()01f =，()'03f =，
∴曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为310x y -+=. (2)证明:由()()0f x g x +=存在两个正实数根()1212,x x x x <， 整理得方程()()11x
e a x x =-≠存在两个正实数根()1212,x x x x <.
由0a >，知211x x >>，
令()x
h x e ax a =-+，则()'x
h x e a =-，
当ln x a >时，()'0h x >，()h x 在()ln ,a +∞上单调递增; 当ln x a <时，()'0h x <，()h x 在()0,ln a 上单调递减. 所以()()min ln 2ln h x h a a a a ==-.
因为()x
h x e ax a =-+有两个零点，即2ln 0a a a -<，得2a e >.
因为实数1x ，2x 是()1x
e a x =-的两个根， 所以()()121211x x e a x e a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而12121211x x x x x e x e e --==-. 令11x α=-，21x β=-，则e αβαβ-=，变形整理得ln ln 1αβαβ
-=-. 要证1212x x x x <+，则只需证1αβ<，即只要证()101βαβα<<<<，
结合对数函数ln y x =的图象可知，只需要证(),ln αα，11,ln αα⎛⎫
⎪⎝⎭两点连线的斜率要比(),ln αα，(),ln ββ两点连线的斜率小即可. 因为ln ln 1αβαβ-=-，所以只要证1ln ln 11αααα
-<-，整理得
()1
2ln 001αααα-+><<.
令()()12ln 01g x x x x x =-+<<，则()()22211210'x x g x x
x -=--+=-<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，即()()10g x g >=， 所以()1
2ln 001αααα-+><<成立，故1212x x x x <+成立.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明不等式恒成立，属于难题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos 3sin x y ββ
=⎧⎨=⎩(β为参数)，将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标缩短为原来的33
后得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为32
sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭. （1）求2C 的极坐标方程和l 的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线4π
θ=与l ，2C 分别交于A ，B 两点(异于极点)，定点
()14,0M ，求MAB ∆的面积.
【答案】（1）22123sin ρθ
=+，60x y +-=；（2）21221-【解析】（1）根据极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的转化关系即可求解； （2）求出M 到射线4π
θ=的距离，结合极坐标方程求出
24232A B AB ρρ=-=. 【详解】 （1）将曲线1C :3cos 3sin x y ββ
=⎧⎨=⎩(β为参数)，消去β得229x y +=， 经过伸缩变换233x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
后得曲线2C :22
143x y +=， 化为极坐标方程为22123sin ρθ
=+. 直线l 的极坐标方程为32
sin 4ρθ=+ ⎪⎝
⎭，即cos sin 60ρθρθ+-=， 所以l 的直角坐标方程为60x y +-=.
（2）M 到射线4π
θ=的距离14sin 724d π
==因为32A ρ=，2427
B ρ=， 所以42327A B AB ρρ=-=， 1124232722122122MAB S AB d ∆⎛=⋅=⨯⨯=- ⎝⎭
【点睛】
此题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，利用极坐标方程求距离再求三角形面积公式，考查通式通法.
23．已知函数()212f x x x =-++.
（1）解不等式()6f x <；
（2）若()f x 的最小值为m ，2223522a b c m ++=，求64ab bc +的最大值.
【答案】（1）7533x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
；（2）5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，求解不等式；
（2）结合（1）所得分段函数求出最小值，利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩
， 当2x -≤时，由316x --<，得73x >-，所以723
x -<≤-; 当122x -<<时，由36x -<，得3x >-，所以122
x -<<; 当12x ≥时，由316x +<，得53x <，所以1523x ≤<. 综上，不等式()6f x <的解集为7533x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
. （2）由（1）知()f x 的最小值52
m =， 所以22252352m a b c ==++()()22223264a b c b ab bc =+++≥+，
所以64ab bc +的最大值为5，当且仅当a b c ==时取等号.
【点睛】
此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论，绝对值函数最值问题，利用基本不等式进行证明.。