第5、6章 v个
《电路分析基础》第2版-习题参考答案
《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) 50W；(2) 300 V、25V，200V、75 V；(3) R2=12.5Ω，R3=100Ω，R4=37.5Ω1-2 V A=8.5V，V m=6.5V，V B=0.5V，V C=−12V，V D=−19V，V p=−21.5V，U AB=8V，U BC=12.5，U DA=−27.5V1-3 电源（产生功率）：A、B元件；负载（吸收功率）：C、D元件；电路满足功率平衡条件。
1-4 (1) V A=100V，V B=99V，V C=97V，V D=7V，V E=5V，V F=1V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V；(2) V C=90V，V B=92V，V A=93V，V E=−2V，V F=−6V，V G=−7V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V1-5 I≈0.18A ，6度，2.7元1-6 I=4A，I1=11A，I2=19A1-7 (a) U=6V，(b) U=24 V，(c) R=5Ω，(d) I=23.5A1-8 (1) i6=−1A；(2) u4=10V，u6=3 V；(3) P1=−2W发出，P2 =6W吸收，P3 =16W吸收，P4=−10W发出，P5=−7W发出，P6=−3W发出1-9 I=1A，U S=134V，R≈7.8Ω1-10 S断开：U AB=−4.8V，U AO=−12V，U BO=−7.2V；S闭合：U AB=−12V，U AO=−12V，U BO=0V 1-11 支路3，节点2，网孔2，回路31-12 节点电流方程：(A) I1 +I3−I6=0，(B)I6−I5−I7=0，(C)I5 +I4−I3=0回路电压方程：①I6 R6+ U S5 +I5 R5−U S3 +I3 R3=0，②−I5 R5−U S5+ I7R7−U S4=0，③−I3 R3+ U S3 + U S4 + I1 R2+ I1 R1=01-13 U AB=11V，I2=0.5A，I3=4.5A，R3≈2.4Ω1-14 V A=60V，V C=140V，V D=90V，U AC=−80V，U AD=−30V，U CD=50V1-15I1=−2A，I2=3A，I3=−5A，I4=7A，I5=2A第2章习题参考答案2-1 2.4 Ω，5 A2-2 (1) 4 V，2 V，1 V；(2) 40 mA，20 mA，10 mA2-3 1.5 Ω，2 A，1/3 A2-4 6 Ω，36 Ω2-5 2 A，1 A2-6 1 A2-7 2 A2-8 1 A2-9 I1 = −1.4 A，I2 = 1.6 A，I3 = 0.2 A2-10 I1 = 0 A，I2 = −3 A，P1 = 0 W，P2 = −18 W2-11 I1 = −1 mA，I2 = −2 mA，E3 = 10 V2-12 I1 = 6 A，I2 = −3 A，I3 = 3 A2-13 I1 =2 A，I2 = 1A，I3 = 1 A，I4 =2 A，I5 = 1 A2-14 V a = 12 V ，I1 = −1 A，I2 = 2 A2-15 V a = 6 V，I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-16 V a = 15 V，I1 = −1 A，I2 = 2 A，I3 = 3 A2-17 I1 = −1 A，I2 = 2 A2-18 I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-19 I1 = 0.8 A，I2 = −0.75 A，I3 = 2 A，I4 = −2.75 A，I5 = 1.55 A2-20 I3 = 0.5 A2-21 U0 = 2 V，R0 = 4 Ω，I0 = 0.1 A2-22 I5 = −1 A2-23 (1) I5 = 0 A，U ab = 0 V；(2) I5 = 1 A，U ab = 11 V2-24 I L = 2 A2-25 I S =11 A，R0 = 2 Ω2-26 18 Ω，−2 Ω，12 Ω2-27 U＝5 V2-28 I =1 A2-29 U＝5 V2-30 I =1 A2-31 10 V，180 Ω2-32 U0 = 9 V，R0 = 6 Ω，U=15 V第3章习题参考答案3-1 50Hz，314rad/s，0.02s，141V，100V，120°3-2 200V，141.4V3-3 u=14.1sin (314t−60°) V3-4 (1) ψu1−ψu2＝120°；(2) ψ1＝−90°，ψ2＝−210°，ψu1−ψu2＝120°（不变）3-5 (1)150290VU=∠︒，25020VU=︒；(2) u3=1002ωt＋45°)V，u4=100ωt＋135°)V3-6 (1) i1=14.1 sin (ωt＋72°)A；(2) u2=300 sin (ωt－60°)V3-7 错误：(1) ，(3)，(4)，(5)3-8 (1) R；(2) L；(3) C；(4) R3-9 i=2.82 sin (10t−30°) A，Q≈40 var3-10 u=44.9sin (314t−135°) V，Q=3.18 var3-11 (1) I=20A；(2) P=4.4kW3-12 (1)I≈1.4A， 1.430AI≈∠-︒；(3)Q≈308 var，P=0W；(4) i≈0.98 sin (628t−30°) A3-13 (1)I=9.67A，9.67150AI=∠︒，i=13.7 sin (314t+150°) A；(3)Q=2127.4 var，P=0W；(4)I C=0A3-14 (1)C =20.3μF ；(2) I L ＝0.25A ，I C ＝16A第4章 习题参考答案4-1 (a) 536.87Z =∠︒Ω，0.236.87S Y =∠-︒；(b) 45Z =-︒Ω，45S Y =︒ 4-2 Y =(0.06-j0.08) S ，R ≈16.67 Ω，X L =12.5 Ω，L ≈0.04 H 4-3 R 600V U =∠︒，L 8090V U =∠︒，S 10053.13V U =∠︒ 4-4 2036.87A I =∠-︒4-5 100245Z =︒Ω，10A I =∠︒，R 1000V U =∠︒，L 12590V U =∠︒，C 2590V U =∠-︒ 4-645S Y =︒，420V U =∠︒，R 20A I =∠︒，L 0.2290A I =∠-︒，C 1.2290A I =∠︒ 4-7 10245A I =∠︒，S 10090V U =∠︒ 4-8 (a) 30 V ；(b) 2.24 A 4-9 (a) 10 V ；(b) 10 A 4-10 (a) 10 V ；(b) 10 V 4-11 U =14.1 V4-12 U L1 =15 V ，U C2 =8 V ，U S =15.65 V4-13 U X1 =100 V ，U 2 =600 V ，X 1=10 Ω，X 2=20 Ω，X 3=30 Ω4-14 45Z =︒Ω，245A I =∠-︒，120A I =∠︒，2290A I =∠-︒，ab 0V U =4-15 (1)A I =，RC 52Z =Ω，510Z =Ω；(2)10R =Ω，C 10X =Ω 4-16 P = 774.4 W ，Q = 580.8 var ，S = 968 V·A 4-17 I 1 = 5 A ，I 2 = 4 A4-18 I 1 = 1 A ，I 2 = 2 A ，526.565A I =∠︒，26.565V A 44.72S =∠-︒⋅4-19 10Z =Ω，190A I =∠︒，R252135V U =∠︒，10W P = 4-20 ω0 =5×106 rad/s ，ρ = 1000 Ω，Q = 100，I = 2 mA ，U R =20 mV ，U L = U C = 2 V 4-21 ω0 =104 rad/s ，ρ = 100 Ω，Q = 100，U = 10 V ，I R = 1 mA ，I L = I C = 100 mA 4-22 L 1 = 1 H ，L 2 ≈ 0.33 H第5章 习题参考答案5-3 M = 35.5 mH5-4 ω01 =1000 rad/s ，ω02 =2236 rad/s 5-5 Z 1 = j31.4 Ω，Z 2 = j6.28 Ω 5-6 Z r = 3+7.5 Ω 5-7 M = 130 mH 5-8 2245A I =∠︒ 5-9 U 1 = 44.8 V5-10 M 12 = 20 mH ，I 1 = 4 A 5-11 U 2 = 220 V ，I 1 = 4 A 5-12 n = 1.95-13 N 2 = 254匝，N 3 = 72匝 5-14 n = 10，P 2 = 31.25 mW第6章 习题参考答案6-1 (1) A 相灯泡电压为零，B 、C 相各位为220V6-3 I L = I p = 4.4 A ，U p = 220 V ，U L = 380 V ，P = 2.3 kW 6-4 (2) I p = 7.62 A ，I L = 13.2 A6-5 A 、C 相各为2.2A ，B 相为3.8A 6-6 U L = 404 V6-7 A N 20247U ''=∠-︒V6-8 cos φ = 0.961，Q = 5.75 kvar 6-9 33.428.4Z =∠︒Ω6-10 (1) I p = 11.26 A ，Z = 19.53∠42.3° Ω； (2) I p = I l = 11.26 A ，P = 5.5 kW 6-11 U l = 391 V6-12 A t 53.13)A i ω=-︒B t 173.13)A i ω=-︒C t 66.87)A i ω=+︒6-13 U V = 160 V6-14 (1) 负载以三角形方式接入三相电源(2) AB 3.8215A I =∠-︒，BC 3.82135A I =-︒，CA 3.82105A I =︒A 3.8645A I =∠-︒，B 3.86165A I =∠-︒，C 3.8675A I =∠︒6-15 L = 110 mH ，C = 91.9 mF第7章 习题参考答案7-1 P = 240 W ，Q = 360 var 7-2 P = 10.84 W7-3 (1)() 4.7sin(100)3sin3A i t t t ωω=+︒+ (2) I ≈3.94 A ，U ≈58.84 V ，P ≈93.02 W7-4 m12π()sin(arctan )V 2MU L u t t zRωωω=+-，z =7-5 直流电源中有交流，交流电源中无直流7-6 U 1=54.3 V ，R = 1 Ω，L = 11.4 mH ；约为8%，（L ’ = 12.33 mH ）7-7 使总阻抗或总导纳为实数（虚部为0）的条件为12X R R R ==7-8 19.39μF C =，275.13μF C = 7-9 L 1 = 1 H ，L 2 = 66.7 mH 7-10 C 1 = 10 μF ，C 2 = 1.25 μF第8章 习题参考答案8-6 i L (0+)＝1.5mA ，u L (0+)＝−15V8-7 i 1(0+)＝4A ，i 2(0+)＝1A ，u L (0+)＝2V ，i 1(∞)＝3A ，i 2(∞)＝0，u L (∞)＝0 8-8 i 1(0+)＝75mA ，i 2(0+)＝75mA ，i 3(0+)＝0，u L1(0+)＝0，u L2(0+)＝2.25V8-9 6110C ()2e A t i t -⨯= 8-10 4L ()6e V t u t -=8-11 6110C ()10(1e )V t u t -⨯=-，6110C ()5e A t i t -⨯= *8-12 500C ()115e sin(86660)V t u t -=+︒ 8-13 10L ()12e V t u t -=，10L ()2(1e )A t i t -=- 8-14 21R S ()eV t R Cu t U -=-，3R S (3)e V u U τ-=-8-15 (1) τ＝0.1s ，(2) 10C ()10e V t u t -=，(3) t ＝0.1s 8-16 510C ()109e V t u t -=-8-17 10L ()5e A t i t -=8-18 (a)00()1()1(2)f t t t t t =---；(b)00000()1()1()[1()1(2)]1()21()1(2)f t t t t t t t t t t t t t =------=-⨯-+- 8-19 0.50.5(1)C ()[5(1e )1()5(1e )1(-1)]V t t u t t t ---=--- 8-20 u o 为三角波，峰值为±0.05V*8-21 临界阻尼R ，欠阻尼R ，过阻尼R *8-22 12666L ()[(1e )1()(1e)1(1)2(1e)1(2)]t t ti t t t t -----=-+-----。
图论第5、6章
第5章 对集
算法用生长“以u为根的M交错树”的 方法 ，来系统地搜索M可扩路. 树中除 u外都是M饱和的，直到碰到第一个 M 不饱和的顶点时，即得一M可扩路.当树 不能再生长下去时，即有N(S)=T.
本算法是个‘好’算法： 从一个M到 下一个，至多进行X次搜索运算；M 至多扩大X次.
例：
5.5 最优分派问题
第5章 对集
构作一个具有二分类(X, Y)的偶图G，其中 X＝{X1, X2, …, Xn}，Y＝{Y1, Y2, …, Yn}， 并且Xi与Yj相连当且仅当工人Xi胜任工作Yj. 于是问题转化为确定G是否有完美对集的问 题.
下面给出的算法称为匈牙利算法，对任意 一个具有二分类(X, Y)的偶图G，它寻找G 的一个饱和X中所有顶点对集，或找到X的 一个子集S，使|N(S)| ＜ |S| .
第5章 对集
若G有正常的k边着色，则称G是k边可着色的. 每个无环图都是ε边可着色的； 若G是k边可着色的，则一定是k＋1边可着色的. 使G为k边可着色的最小整数k称为G的边色数， 记为χ’(G) . 若G的边色数为k，也称G是k边色的. 下图的边色数是多少？
第5章 对集
显然，在任何正常边着色中，和任一顶 点关联的边必须分配以不同的颜色，因 此
第5章 对集
定理5.2(Hall 1935) 设G是具有二分类(X,Y) 的偶图，则G包含饱和X的每个顶点的对集当 且仅当
|NG(S)|≥|S| 对所有S ⊆ X成立.
❖Hall定理是图论中最有用的定理之一，它 在数学及其他许多学科中都有应用.
Hall定理的证明
第5章 对集
必要性 假设G包含对集M，它饱和X的每个顶 点，并设S是X的子集. 由于S的顶点在M下和 N(S)中相异顶点配对，显然有|N(S)| ≥ |S| .
第5章 异步电动机电压-频率协调控制
u an = 2U d 1 1 1 1 sin ω1t + sin 5ω1t + sin 7ω1t + sin 11ω1t + sin 13ω1t + ... π 5 7 11 13
它的相电压有效值Ua=0.471Ud， U 相电压基波有效值Ua1=0.45Ud（√2Ud /π ）。 对图5-2所示逆变器线电压uab进行傅立叶分析，得
图5-6 给定积分器原理电路
2.函数发生器（GF）
函数发生器的功能是实现调速时V/f协调所需要的函 数关系，它的工作原理示于图5-7 中。 对运算放大器A的虚地点列电流平衡方程式，可推导 出函数发生器输出Uo和输入Ui之间的关系式为
R2 + R p 2 R2 + R p 2 U o = −U i +Uk R1 R5
5.4 谐波的影响 电动机期望有正弦电压和正弦电流，但是 前述方波或者准方波逆变器所产生的却不是正 弦波，这对电动机的运行有什么影响呢？应用 傅立叶分析的方法对方波或准方波进行分解， 可以得到有用的基波和不期望的谐波。一般说 来，谐波有四个有害的影响，它们是： 转矩脉动 谐波发热 参数变化 噪音
1.转矩脉动(torque pulsation)
图5-7 函数发生器原理电路
3.电压频率转换器（GVF）
电压频率转换器的功能是将与速度给定对应的电压 Ui输入信号转换成相应频率f0的输出脉冲信号。对它的基 本要求是：有比较好的稳定性；有满足要求的线性控制 范围。
图5-8 电压频率转换器原理电路
4.环形分配器（DRC）
图5-9 环形分配器原理电路
D端输入状态 Qn Qn+1 ----------------------------------------1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ------------------------------------------
武汉大学《离散数学》课件-第5章
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
2021创新设计《高考物理总复习》第5 6章
2021创新设计《高考物理总复习》第5 6章2021创新设计《高考物理总复习》第5-6章【高考导航】考场内容功与功动能与动能定理引力功与引力势能的函数关系，机械能守恒定律及其应用实验5：探索动能定理实验6：验证机械能守恒定律的要求IIII. 2022高考命题活20222022卷I：T16，卷I：T17，卷I：T22，T25选择题① 平抛动作T21、t25t21第二卷：T16、T19计算题② 圆周运动常见测试类型相关测试点II第二卷：T15第二卷：T17、T21、T22、T25实验题③ 电场和磁场t16t21第三卷：T20、T24④ 电磁感应基础课程1工作与功率知识点一、功1.定义：物体受力。
如果在力的方向上有位移，就说力对物体做了功。
2.做功的两个要素（1）作用在物体上的力；(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：w＝flcos__α（1）α是力和位移方向之间的角度，l是物体对地面的位移。
（2）这个公式只适用于恒力做功。
4.工作的积极和消极(1)当0°≤α＜90°时，w＞0，力对物体做正功。
（2）当90°＜α时≤ 180°，w<0，力对物体做负功，或物体对该力做反作用力。
（3）当α＝90°时，w=0，力对物体不起作用。
知识点2：权力1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式W(1)p＝t，p为时间t内的平均功率。
(2)p＝fvcos__α(α为f与v的夹角)①v为平均速度，则p为平均功率。
②v为瞬时速度，则p为瞬时功率。
4.发动机功率：机车发动机的功率P=FV，f是牵引力，而不是机车承受的合力。
[思考和判断](1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。
()(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
()(3)一个力对物体做负功，说明物体克服该力做功(取负功的绝对值)。
电路与电子技术随堂练习第五六章答案
第5章电路的暂态过程分析本次练习有11题，你已做11题，已提交11题，其中答对11题。
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。
1.如图所示电路，开关K断开前，电路已稳态。
t=0时断开开关，则u(0+)为（）A. 0VB. 3VC. 6VD. ？6V答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：2.如图所示电路中，开关S在t=0瞬间闭合，若＝5V，则＝（）。
A.5VB. 0C. 2.5V答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3. R-C串联电路的时间常数与成正比。
A. U0和CB. R和I0C. R和C D. U0和I0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：4. R-C串联电路的零输入响应uc是按逐渐衰减到零。
答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.如图所示的电路中，已知Us=10V，R1=2K，R2=2K，C=10则该电路的时间常数为。
A.10msB.1msC.1sD.5ms答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.如图所示电路的时间常数为。
A. 2 sB. 0.5sC. 50 sD. 10s答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：7. R-L串联电路的时间常数τ=。
A. RLB. R/LC. L/RD. 1/（R×L）答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.实际应用中，电路的过渡过程经时间，可认为过渡过程基本结束。
A.τB. 2τC.∞D. 4τ答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.如图电路在τ=0时合上S，则电路的时间常数为A.0.2sB. 1/3 sC. 5/6sD. 0.5s答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：10. I(t)=(1+e-t/4)A为某电路支路电流的解析式，则电流的初始值为A.1B. 2C. 3D. 4答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：11. I(t)=(1+e-t/4)A为某电路支路电流的解析式，则电流的稳态值为A.1B. 2C. 3D. 4答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：第6章半导体分立器件本次练习有25题，你已做25题，已提交25题，其中答对8题。
《电路分析基础》第2版习题参考答案2014tjh
《电路分析基础》第2版-习题参考答案-2014-tjh《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) 50W；(2) 300 V、25V，200V、75 V；(3) R2=12.5Ω，R3=100Ω，R4=37.5Ω1-2 V A=8.5V，V m=6.5V，V B=0.5V，V C=−12V，V D=−19V，V p=−21.5V，U AB=8V，U BC=12.5，U DA=−27.5V1-3 电源（产生功率）：A、B元件；负载（吸收功率）：C、D元件；电路满足功率平衡条件。
1-4 (1) V A=100V，V B=99V，V C=97V，V D=7V，V E=5V，V F=1V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V；(2)V C=90V，V B=92V，V A=93V，V E=−2V，V F=−6V，V G=−7V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V1-5 I≈0.18A ，6度，2.7元1-6 I=4A，I1=11A，I2=19A1-7 (a) U=6V，(b) U=24 V，(c) R=5Ω，(d) I=23.5A1-8 (1) i6=−1A；(2) u4=10V，u6=3 V；(3) P1 =−2W发出，P2 =6W吸收，P3 =16W吸收，P4 =−10W发出，P5 =−7W发出，P6 =−3W发出1-9 I=1A，U S=134V，R≈7.8Ω1-10 S断开：U AB=−4.8V，U AO=−12V，U BO=−7.2V；S闭合：U AB=−12V，U AO=−12V，U BO=0V1-11 支路3，节点2，网孔2，回路31-12 节点电流方程：(A)I1+I3−I6=0，(B)I6−I5−I7=0，(C)I5 +I4−I3=0回路电压方程：①I6 R6+ U S5 +I5 R5−U S3+I3 R3=0，②−I5 R5−U S5+ I7R7−U S4=0，③−I3 R3+ U S3 + U S4 + I1 R2+ I1 R1=01-13 U AB=11V，I2=0.5A，I3=4.5A，R3≈2.4Ω1-14 V A=60V，V C=140V，V D=90V，U AC=−80V，U AD=−30V，U CD=50V1-15I1=−2A，I2=3A，I3=−5A，I4=7A，I5=2A第2章习题参考答案2-1 2.4 Ω，5 A2-2 (1) 4 V，2 V，1 V；(2) 40 mA，20 mA，10 mA2-3 1.5 Ω，2 A，1/3 A2-4 6 Ω，36 Ω2-5 2 A，1 A2-6 1 A2-7 2 A2-8 1 A2-9 I1 = −1.4 A，I2 = 1.6 A，I3 = 0.2 A2-10 I1 = 0 A，I2 = −3 A，P1 = 0 W，P2 = −18 W 2-11 I1 = −1 mA，I2 = −2 mA，E3 = 10 V2-12 I1 = 6 A，I2 = −3 A，I3 = 3 A2-13 I1 =2 A，I2 = 1A，I3 = 1 A，I4 =2 A，I5 = 1 A2-14 V a = 12 V ，I1 = −1 A，I2 = 2 A2-15 V a = 6 V，I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A 2-16 V a = 15 V，I1 = −1 A，I2 = 2 A，I3 = 3 A 2-17 I1 = −1 A，I2 = 2 A2-18 I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-19 I1 = 0.8 A，I2 = −0.75 A，I3 = 2 A，I4 = −2.75 A，I5 = 1.55 A2-20 I3 = 0.5 A2-21 U0 = 2 V，R0 = 4 Ω，I0 = 0.1 A2-22 I5 = −1 A2-23 (1) I5 = 0 A，U ab = 0 V；(2) I5 = 1 A，U ab = 11 V2-24 I L = 2 A2-25 I S =11 A，R0 = 2 Ω2-26 18 Ω，−2 Ω，12 Ω2-27 U＝5 V2-28 I =1 A2-29 U＝5 V2-30 I =1 A2-31 10 V，180 Ω2-32 U0 = 9 V，R0 = 6 Ω，U=15 V第3章习题参考答案3-1 50Hz，314rad/s，0.02s，141V，100V，120°3-2 200V，141.4V3-3 u=14.1sin (314t−60°) V3-4 (1) ψu1−ψu2＝120°；(2) ψ1＝−90°，ψ2＝−210°，ψu1−ψu2＝120°（不变）3-5 (1) 150290VU=︒；U=∠︒，25020V(2) u3=1002sin (ωt＋45°)V，u42 (ωt＋135°)V3-6 (1) i1=14.1 sin (ωt＋72°)A；(2) u2=300 sin (ωt－60°)V3-7 错误：(1) ，(3)，(4)，(5)3-8 (1) R；(2) L；(3) C；(4) R3-9 i=2.82 sin (10t−30°) A，Q≈40 var3-10 u=44.9sin (314t−135°) V，Q=3.18 var3-11 (1) I=20A；(2) P=4.4kW3-12 (1)I ≈1.4A ， 1.430A I ≈∠-︒；(3)Q ≈308 var ，P =0W ；(4) i ≈0.98 sin (628t −30°) A3-13 (1)I =9.67A ，9.67150A I =∠︒，i =13.7 sin (314t +150°) A ；(3)Q =2127.4 var ，P =0W ；(4)I C =0A3-14 (1)C =20.3μF ；(2) I L ＝0.25A ，I C ＝16A第4章 习题参考答案4-1 (a) 536.87Z =∠︒Ω，0.236.87S Y =∠-︒；(b) 2.5245Z =∠-︒Ω，0.2245S Y =∠︒4-2 Y =(0.06-j0.08) S ，R ≈16.67 Ω，X L =12.5Ω，L ≈0.04 H4-3 R 600V U =∠︒，L 8090V U =∠︒，S 10053.13V U =∠︒4-4 2036.87A I =∠-︒4-5 100245Z =∠︒Ω，10A I =∠︒，R 1000V U =∠︒，L 12590V U =∠︒，C 2590V U =∠-︒4-6 0.25245S Y =∠︒，420V U =∠︒，R 20A I =∠︒，L 0.2290A I =∠-︒，C 1.2290A I =∠︒4-7 10245A I =∠︒，S10090V U =∠︒4-8 (a) 30 V ；(b) 2.24 A4-9 (a) 10 V ；(b) 10 A4-10 (a) 10 V ；(b) 10 V4-11 U =14.1 V4-12 U L1 =15 V ，U C2 =8 V ，U S =15.65 V 4-13 U X1 =100 V ，U 2 =600 V ，X 1=10 Ω，X 2=20Ω，X 3=30 Ω4-14 20245Z =∠︒Ω，245A I =∠-︒，120A I =∠︒，2290A I =∠-︒，ab 0V U = 4-15 (1)2A I =，RC 52Z =，510Z =；(2)10R =Ω，C 10X =Ω 4-16 P = 774.4 W ，Q = 580.8 var ，S = 968 V·A 4-17 I 1 = 5 A ，I 2 = 4 A4-18 I 1 = 1 A ，I 2 = 2 A ，526.565A I =∠︒，26.565V A 44.72S =∠-︒⋅4-19 10Z =Ω，190A I =∠︒，R252135V U =∠︒，10W P = 4-20 ω0 =5×106 rad/s ，ρ = 1000 Ω，Q = 100，I = 2 mA ，U R =20 mV ，U L = U C = 2 V4-21 ω0 =104 rad/s ，ρ = 100 Ω，Q = 100，U =10 V ，I R = 1 mA ，I L = I C = 100 mA4-22 L 1 = 1 H ，L 2 ≈ 0.33 H第5章 习题参考答案5-3 M = 35.5 mH 5-4 ω01 =1000 rad/s ，ω02 =2236 rad/s 5-5 Z 1 = j31.4 Ω，Z 2 = j6.28 Ω 5-6 Z r = 3+7.5 Ω 5-7 M = 130 mH 5-8 2245A I =∠︒ 5-9 U 1 = 44.8 V 5-10 M 12 = 20 mH ，I 1 = 4 A 5-11 U 2 = 220 V ，I 1 = 4 A5-12 n = 1.9 5-13 N 2 = 254匝，N 3 = 72匝 5-14 n = 10，P 2 = 31.25 mW第6章 习题参考答案6-1 (1) A 相灯泡电压为零，B 、C 相各位为220V 6-3 I L = I p = 4.4 A ，U p = 220 V ，U L = 380 V ，P = 2.3 kW 6-4 (2) I p = 7.62 A ，I L = 13.2 A 6-5 A 、C 相各为2.2A ，B 相为3.8A 6-6 U L = 404 V 6-7 A N 20247U ''=∠-︒V 6-8 cos φ = 0.961，Q = 5.75 kvar 6-9 33.428.4Z =∠︒Ω 6-10 (1) I p = 11.26 A ，Z = 19.53∠42.3° Ω； (2) I p = I l = 11.26 A ，P = 5.5 kW 6-11 U l = 391 V6-12 A 222t 53.13)A i ω=-︒B 222t 173.13)A i ω=-︒C 222t 66.87)A i ω=+︒ 6-13 U V = 160 V 6-14 (1) 负载以三角形方式接入三相电源 (2) AB 3.8215A I =∠-︒，BC 3.82135A I =∠-︒，CA 3.82105A I =∠︒A 3.8645A I =∠-︒，B 3.86165A I =∠-︒，C 3.8675A I =∠︒ 6-15 L = 110 mH ，C = 91.9 mF第7章 习题参考答案7-1 P = 240 W ，Q = 360 var 7-2 P = 10.84 W7-3 (1)() 4.7sin(100)3sin3A i t t t ωω=+︒+(2) I ≈3.94 A ，U ≈58.84 V ，P ≈93.02 W7-4 m12π()sin(arctan )V 2MU L u t t z R ωωω=+-，221()z R L ω=+7-5 直流电源中有交流，交流电源中无直流7-6 U 1=54.3 V ，R = 1 Ω，L = 11.4 mH ；约为8%，（L ’ = 12.33 mH ）7-7 使总阻抗或总导纳为实数（虚部为0）的条件为12X /R R R L C ===7-8 19.39μF C =，275.13μF C = 7-9 L 1 = 1 H ，L 2 = 66.7 mH 7-10 C 1 = 10 μF ，C 2 = 1.25 μF第8章 习题参考答案8-6 i L (0+)＝1.5mA ，u L (0+)＝−15V8-7 i 1(0+)＝4A ，i 2(0+)＝1A ，u L (0+)＝2V ，i 1(∞)＝3A ，i 2(∞)＝0，u L (∞)＝08-8 i 1(0+)＝75mA ，i 2(0+)＝75mA ，i 3(0+)＝0，u L1(0+)＝0，u L2(0+)＝2.25V8-9 6110C ()2e A t i t -⨯=8-10 4L ()6e V t u t -=8-11 6110C ()10(1e )V t u t -⨯=-，6110C ()5e A t i t -⨯=*8-12 500C ()115e sin(86660)V t u t -=+︒8-13 10L ()12e V t u t -=，10L()2(1e )A ti t -=-8-14 21R S ()e V t R C u t U -=-，3R S (3)e V u U τ-=-8-15 (1) τ＝0.1s ，(2) 10C ()10e V t u t -=，(3) t ＝0.1s 8-16 510C ()109e V t u t -=-8-17 10L ()5e A t i t -=8-18 (a)00()1()1(2)f t t t t t =---；(b)00000()1()1()[1()1(2)]1()21()1(2)f t t t t t t t t t t t t t =------=-⨯-+- 8-19 0.50.5(1)C()[5(1e )1()5(1e )1(-1)]V t t u t t t ---=--- 8-20 u o 为三角波，峰值为±0.05V*8-21 临界阻尼R L C ，欠阻尼R L C ，过阻尼R L C *8-22 12666L ()[(1e)1()(1e )1(1)2(1e )1(2)]t t t i t t t t -----=-+-----。
无机及分析化学作业3 第5章～第6 章试题及答案
无机及分析化学作业3第5章～第6 章一、填空（每小题2分，共20分）1． 氧化还原反应中，获得电子的物质是 氧化剂 ，自身被 还原 ，失去电子的物质是 还原剂 ，自身被 氧化 。
2． 原电池的正极发生 还原 反应，负极发生 氧化 反应，原电池电流由 正 极流向 负 极。
3． 电池反应S 2O -23(aq) + 2OH -(aq) + O 2(g)2SO -23(aq) + H 2O(l) 的Oϕ=0.98 V ，则：正极反应为____O 2 + 2H 2O + 4e -4OH -_________；负极反应为____2-23SO + 3 H 2O + 4e -- -232O S + 6 OH -；已知Oϕ(O 2/H 2O) = 0.40 V ，则Oϕ(SO 32-/S 2O 32-) = __-0.58 V _。
4．利用电极电位可以判断氧化还原反应进行的__方向__和_程度_。
5．Ca 2+和K +的离子半径相同，因为它们具有相同的 电子数相同 。
6．第四周期有6个d 电子的中性原子为 Fe 。
7．同族元素电离能随原子序数的增加而 电子层 降低 。
8．由多电子原子体系轨道的近似能级图可知，Ca 原子的能级顺序为E 4s __>_E 3d ，而Mn 原子的能级顺序为E 4s _<__E 3d ，因此Mn 2＋的价层电子构型为__3d 5__。
9． 分子间力有色散力、 诱导力、 取向力、 。
10． Sn 的核外电子排布为[Kr] 4d 105s 25p 2 。
二、单项选择题：（每小题2分，共20分）1．下列各半反应，发生还原过程的是（B）A．Fe→Fe2+B．Co3+→Co2+ C．NO→NO3—D．H2O2→O22．已知Oϕ(Br2/Br－)=1.08V则还原能ϕ(Cl2/Cl－) =1.36V Oϕ(F2/F－)=2.85V O力次序为（A）A．Br—>Cl—>F—B．F—<Br—<Cl—C．Cl—<F—<Br—D．Br—<Cl—<F—3．在酸性条件下，KMnO4与S2－反应，正确的离子方程式是（B）A．MnO4－+S2－+4H+=MnO2+S↓+2H2OB．2MnO4－+5S2－+16H+=2Mn2++5S↓+8H2OC．MnO4－+S2－+4H+=Mn2++SO2↑+2H2OD．2MnO4－+S2－+4H+=2MnO4－+SO2↑+2H2O4．在Sn2+、Fe3+的混合溶液中，欲使Sn2+氧化为Sn4+而Fe2+不被氧化，应选择的氧化剂是哪个？（Oϕ(Sn4+/ Sn2+)=0.15V Oϕ(Fe3+/ Fe2+)=0.77V）（C）A．KIO3(Oϕ(IO3－/I2)=1.20V) B．H2O2(Oϕ(H2O2/OH-)=0.88V) C．HgCl2(Oϕ(HgCl2/Hg2Cl2)=0.63V) D．SO32－(Oϕ(SO3－/S－)=－0.66V) 5．对高锰酸钾滴定法，下列说法错误的是（A）A．可在盐酸介质中进行滴定B．直接法可测定还原性物质C．标准滴定溶液用标定法制备D．在硫酸介质中进行滴定6．在碘量法中，淀粉是专属指示剂，当溶液呈蓝色时，这是（C）A．碘的颜色B．I—的颜色C．游离碘与淀粉生成物的颜色D．I—与淀粉生成物的颜色7．（C）是标定硫代硫酸钠标准溶液较为常用的基准物。
高等代数第6章习题解
第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。
因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
第五章习题解答
习 题 五1. 设V 是数域F 上向量空间，假如V 至少含有一个非零向量α，问V 中的向量是有限多还是无限多？有没有n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F 上一个向量空间V 含有至少两个向量, 那么V 至少含有一个非零向量α , 因此V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此V 中必然含有无穷多个向量).2. 设V 是数域F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F 上的向量空间.（1）集合：全体n 阶实对称矩阵；F ：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域F 上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, 0) k • (a 1, b 1)＝(ka 1, 0)（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, b 1＋b 2)k •( a 1, b 1)＝(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).4. 在向量空间中，证明，(1) a (－α)=－a α=(－a ) α ,(2) (a -b )α＝a α－b α ,a ,b 是数，α是向量.证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0ααa a -=-∴)(又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0ααa a -=-∴)(综上, .)()(αααa a a -=-=-(2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(.5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么?解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0.6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…, αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？ 解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾.7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关.8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1, α2线性表示.9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.解 k 1α1+k 2α2+k 3α3 k 1, k 2 , k 3∈F .设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0,则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++030220332321k k k k k k , 解得 k 1= k 2 =k 3=0.故α1, α2, α3线性无关.对任意(a,b,c)∈F 3, (a,b,c)=3213)32())322((αααc c b c ba +-+--,所以F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.10. 下列向量组是否线性相关(1) α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；(2) α1＝(3, 1, 4), α2＝(2, 5, -1), α3＝(4, -3, 7).解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.11. 证明，设向量α1, α2, α3线性相关，向量α2, α3, α4线性无关，问：(1) α1能否由α2, α3线性表示？说明理由；(2) α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由.解 (1)因为α2, α3线性无关而α1, α2, α3线性相关,所以α1能由α2, α3线性表示;(2)反设α4能由α1, α2, α3线性表示,但α1能由α2, α3线性表示,故α4能由α2, α3线性表示,这与α2, α3, α4线性无关矛盾,所以α4不能由α1, α2, α3线性表示.12. 设α1＝ (0, 1, 2), α2＝ (3, －1, 0), α3＝(2, 1, 0)，β1＝ (1, 0, 0), β2＝ (1, 2, 0), β3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量. 证明，向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.证明 (β1, β2, β3)=(321,,εεε)A(α1, α2, α3)= (321,,εεε)B其中A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300220111, B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-002111230.易验证A , B 均可逆, 这样 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3 )(B -1A )(α1, α2, α3) = (β1, β2, β3)(A -1B ) ,故向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.13. 设数域F 上的向量空间V 的向量组{α1, α2, …, αs }线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )，那么或者k 1＝k 2＝…＝k s ＝0, 或k 1，k 2，…，k s 全不为零.证明 由条件∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )知k i αi = - (k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ) （*）(1) 当k i =0时,（*)式左边等于零,故k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs =0. 由于这s -1个向量线性无关,所以k 1＝k 2＝…＝k s ＝0.(2) 当k i ≠0时, αi = -ik 1(k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ),下证对于任意i j s j ≠∈},,2,1{ 时k j ≠0. 反设k j =0, 则αi 可由s -2个向量线性表示.这与任意s -1个向量线性无关矛盾,所以此时k 1,k 2，…，k s 全不为零.14. 设α1＝(1, 1), α2＝(2, 2), α3＝(0, 1) , α4＝(1, 0)都是F 2中的向量. 写出{α1, α2, α3, α4}的所有极大无关组.解 α1, α3 ; α1, α4 ; α2 ,α3 ; α2 ,α4 ; α3 ,α4 .15. 设A 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001,A 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0021, A 3＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0120,A 4＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2142∈M 2×2(F ). 求向量空间M 2×2(F )中向量组{A 1, A 2,A 3, A 4}的秩及其极大无关组. 解 秩{A 1, A 2,A 3, A 4}=3, {A 1, A 2,A 3}是向量组{A 1, A 2, A 3, A 4}的一个极大无关组.16．设由F 4中向量组｛α1=(3，1，2，5)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(2，0，1，3)，α4 =(1，－1，0，1)，α5 =(4，2，3，7)｝. 求此向量组的一个极大无关组.解 (α1,α2,α3,α4,α5)= (4321,,,εεεε)A , 其中A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71325301122101141213, 则秩A =2. 又(α1,α2 )= (4321,,,εεεε)B , 其中B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25121113. 秩B =2, 故{α1,α2}线性无关, 它是向量组{α1,α2,α3,α4,α5}的一个极大无关组.17. 证明，如果向量空间V 的每一个向量都可以唯一表成V 中向量α1, α2, …, αn 的线性组合，那么dim V ＝n .证明 由条件零向量可唯一的表示成α1, α2, …, αn 的线性组合, 这说明α1, α2, …, αn 线性无关, 故可作为V 的基, 从而dim V ＝n .18. 设β1, β2，…，βn 是F 上n (>0)维向量空间V 的向量，并且V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示. 证明, {β1, β2，…，βn }是V 的基.证明 由条件标准正交基{ e 1, e 2, …,e n }可由β1, β2，…，βn 线性表示, 反过来β1, β2，…，βn 又可由{ e 1, e 2, …,e n }线性表示,所以{ e 1, e 2, …,e n }和{β1, β2，…，βn }等价. 由{ e 1, e 2, …,e n }线性无关知{β1, β2，…，βn }线性无关,又因V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示, 由基的定义知{β1, β2，…，βn }是V 的基.19. 复数集C 看作实数域R 上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C 的一个基和维数.解 基为{1, i }； dim C ＝2.20. 设V 是实数域R 上全体n 阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V 的一个基和维数.解 基为E ii (i =1,2, …,n )； dim V ＝n .21. 求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基.解 任意一个不等于1的正实数都可作为V 的基； dim V ＝1.22. 在R 3中，求向量α＝(1, 2, 3)在基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(1, 1, 0)，ε3＝(1, 1, 1)下的坐标.解 (-1,-1,3)T .23. 求R 3中由基{α1, α2, αs }到基{β1, β2, β3 }的过渡矩阵，其中α1＝(1, 0, -1), α2＝(-1, 1, 0), α3＝(1, 2, 3)，β1＝(0, 1, 1), β2＝(1, 0, 1), β3＝(1, 1, 1).解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32204230061. 24. 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基，求由这个基到基{α3, α4, …, αn ，α1, α2}的过渡矩阵.解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0022n I I . 25. 已知F 3中向量α关于标准基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(0, 1, 0) ，ε3＝(0, 0, 1)的坐标是(1, 2, 3)，求α关于基β1＝(1, 0, 1), β2＝(0, 1, 1), β3＝(1, 1, 3)的坐标.解 (1,2,0)T .26. 判断R n 的下列子集哪些是子空间(其中R 是实数域，Z 是整数集).(1) {(a 1, 0, …, 0, a n )| a 1, a n ∈R };(2) {(a 1, a 2, …, a n )|∑==ni i a 10，a 1, a 2, …, a n ∈R };(3) {(a 1, a 2, …, a n )|a i ∈Z , i ＝1, 2, …, n };解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).27. 设V 是一个向量空间，且V ≠{0}. 证明，V 不能表成它的两个真子空间的并集.证明 设W 1与W 2是V 的两个真子空间(1) 若21W W ⊆，则W 1⋃W 2= W 2≠V ;(2) 若21W W ⊇,则W 1⋃W 2= W 1≠V ;(3) 若21W W ⊄且12W W ⊄, 取1W ∈α但2W ∉α,2W ∈β但1W ∉β, 那么1W ∉+βα,否则将有1)(W ∈=-+βαβα,这与1W ∉β矛盾, 同理2W ∉+βα, 所以V 中有向量21W W ∉+βα,即V ≠21W W .28. 设V 是n 维向量空间，证明V 可以表示成n 个一维子空间的直和.证明 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基, (α1), (α2) ,…, (αn )分别是由α1, α2,…, αn 生成的向量空间, 要证(α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn )(1) 因为{α1, α2,…, αn }是V 的一个基, 所以V 中任一向量α都可由α1, α2,…, αn 线性表示, 此即(α1+α2+…+αn )= (α1)+ (α2)+…+ (αn ).(2) 对任意i ≠j ∈{1,2,…, n },下证 (αi )∩ (αj )={0}. 反设存在0 ≠∈x (αi )∩ (αj ),由∈x (αi )知存在k F ∈使得x =k αi ； 由 x ∈ (αj )知存在F l ∈使得x =l αj , 从而αi =kl αj , 即α1与α2线性相关, 矛盾, 所以 (αi )∩ (αj )={0}. 综上, (α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn ).29. 在R 3中给定两个向量组α1＝(2, -1, 1, -1), α2＝(1, 0, -1, 1),β1＝(-1, 2, -1, 0), β2＝(2, 1, -1, 1).求 (α1, α2)＋ (β1, β2) 的维数和一个基.解 取R 4的标准正交基{4321,,,εεεε},于是(α1, α2, β1, β2)= (4321,,,εεεε)A ,其中 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1011111112012112 , 秩A = 4. 故α1, α2, β1, β2线性无关, 又因为 (α1, α2)∩ (β1, β2)={0},所以dim (α1, α2) + dim (β1, β2)= 4,{ α1, α2, β1, β2}是它的基.30. 设W 1, W 2都是向量空间V 的子空间，证明下列条件是等价的：(1) W 1⊆W 2;(2) W 1∩W 2＝W 1;(3) W 1＋W 2＝W 2.证明 (i) (1)⇒(2) 因为W 1⊆W 2 , 所以W 1∩W 2＝W 1. (ii) (2)⇒(3) W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2} 由(2)知对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 所以W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1, α2∈W 2}=W 2 .(iii) (3)⇒(1) W 1＋W 2 ={α1,+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2}=W 2 , 说明对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 此即W 1⊆W 2 .31. 设V 是实数域R 上n 阶对称矩阵所成的α2向量空间；W 是数域R 上n 阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V 到W 的一个同构映射.解 对∈∀A V (A =(a ij )且a ij = a ji )和B ∈W (B =(a ij ),当i>j 时, a ij =0) 定义f : V → WA B 易验证f 是V 到W 的一个同构映射.32. 设V 与W 都是数域F 上的向量空间，f 是V 到W 的一个同构映射，证明{α1, α2, …, αn }是V 的基当且仅当{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.证明 设{α1, α2, …, αn }是V 的基.(1) 由α1, α2, …, αn 线性无关知f (α1), f (α2), …, f (αn ) 线性无关.(2) 任取∈ηW , 由f 是同构映射知存在∈ξV 使得f (ξ)=η.但ξ=∑=n i i ia 1α, a i ∈F , f (ξ)=f (∑=n i i i a 1α)=)(1∑=n i i i f a α=η. 由η的任意性知{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.反过来, {f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基(1) 由f (α1), f (α2), …, f (αn )线性无关知α1, α2, …, αn 线性无关.(2) 任取∈ξV , 由f 是同构映射知存在∈ηW 使得f (ξ)=η.但η=∑=n i i i f k 1)(α= f (∑=n i i i k 1α), k i ∈F , 从而ξ=∑=ni i i k 1α, k i ∈F .由ξ的任意性知{ α1, α2, …, αn }是V 的基.补 充 题1. 设W 1, W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间. α,β是V 的两个向量，其中α∈W 2，但α∉ W 1，β∉W2. 证明：（1）对于任意k ∈F ，αβk +∉W 2；（2）至多有一个k ∈F ，使得αβk +∈W 1.证明 (1)反设存在k 1∈F 使得αβ1k +∈W 2 , 又α∈W 2 , 因此β=β+ k 1α-k 1α∈W 2 , 这与β∉W 2矛盾. 所以对于∀k ∈F ，αβk +∉W 2 .(2)若有k 1, k 2∈F , k 1≠k 2使得αβ1k +, αβ2k +∈W 1, 那么。
2021年运筹学第五、六、七、八章答案
运筹学第五、六、七、八章答案1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 1 M M M 1.15 1.25 M M 1.3 1.4 0.87 M 1.45 1.55 1.02 0.98 0 0 0 0 65 65 65 65 bj 50 40 60 80 30 (3)用表上作业法，最优生产方案如下表： 1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 50 15 25 60 10 5 65 30 65 65 65 65 Bi 50 40 60 80 30 上表表明：一月份生产65台，当月交货50台；二月份交货15台,二月份生产35台，当月交货25台，四月份交货10台；三月份生产65台，当月交货60台，四月份交货5台，4月份生产65台当月交货。
最小费用Z=235万元。
5.8 求解下列最小值的指派问题，其中第（2）题某人要作两项工作，其余3人每人做一项工作．（1）【解】最优解（2）【解】虚拟一个人，其效率取4人中最好的，构造效率表为 1 2 3 4 5 甲 26 38 41 52 27 乙 25 33 44 59 21 丙 20 30 47 56 25 丁 22 31 45 53 20 戊 20 30 41 52 20 最优解：甲～戊完成工作的顺序为3、5、1、2、4，最优值Z=165 最优分配方案：甲完成第3、4两项工作，乙完成第5项工作，丙完成第1项工作，丁完成第2项工作。
5.9 求解下列最大值的指派问题：（1）【解】最优解（2）【解】最优解第5人不安排工作。
表5-58 成绩表(分钟) 游泳自行车长跑登山甲 20 43 33 29乙 15 33 28 26 丙 18 42 38 29 丁 19 44 32 27 戊 17 34 30 28 5.10 学校 ___游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛，已知五名运动员完成各项目的成绩（分钟）如表5-58所示．如何从中选拔一个接力队，使预期的比赛成绩最好．【解】设xij为第i人参加第j 项目的状态，则数学模型为接力队最优组合乙长跑丙游泳丁登山戊自行车甲淘汰。
第5章 6 向心力
6 向心力[学习目标] 1.了解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的.2.体验向心力的存在，会分析向心力的来源.3.掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.4.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果.一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力.2.方向：始终沿着半径指向圆心.3.表达式： (1)F n ＝m v 2r(2)F n ＝mω2r4.向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.二、变速圆周运动和一般的曲线运动1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.图1(1)跟圆周相切的分力F t ：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢. (2)指向圆心的分力F n ：产生向心加速度，此加速度描述线速度方向改变的快慢. 2.一般的曲线运动的处理方法(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.(2)处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆孤. 研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理. [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)匀速圆周运动的向心力是恒力.(×)(2)匀速圆周运动的合力就是向心力.(√) (3)所有圆周运动的合力都等于向心力.(×) (4)向心力和重力、弹力一样，是性质力.(×)(5)向心力的作用是改变物体的速度，产生向心加速度.(√)2.如图2所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随圆筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供( )图2A.重力B.弹力C.静摩擦力D.滑动摩擦力 答案 B解析 本题可用排除法.首先可排除A 、D 两项；若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C 错.故选B.一、对向心力的理解 [导学探究](1)如图3所示，用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，若小球的线速度为v ，运动半径为r ，是什么力产生的向心加速度？该力的大小、方向如何？小球运动的速度v 增大，绳的拉力大小如何变化？图3(2)若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r ，是什么力产生的加速度？该力的大小、方向如何？答案 (1)产生向心加速度的力是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的合力.合力等于拉力，大小为F ＝ma n ＝m v 2r，方向指向圆心.v 增大，绳的拉力增大.(2)向心加速度a n ＝ω2r ，是地球对月球的引力产生的加速度，引力的大小为F ＝ma n ＝mω2r ，方向指向地心.[知识深化] 向心力的理解1.向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力.2.向心力大小：F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 3.向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力. 4.向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.例1 (多选)下列关于向心力的说法中正确的是( ) A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力 D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 答案 BC解析 当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动.因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向.匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力.非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力. 二、向心力来源的分析[导学探究] 分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供.图4(1)地球绕太阳做圆周运动(如图4甲). (2)圆盘上物块随圆盘一起匀速转动(如图乙). (3)在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动(如图丙). (4)小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时(如图丁). 答案 (1)太阳对地球的引力.(2)物块受到的静摩擦力(也可以说是物块所受重力、支持力、静摩擦力的合力).(3)漏斗对小球的支持力和小球所受重力的合力.(4)向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供.[知识深化]1.在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力；在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合外力提供向心力.2.向心力是按作用效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是合力或分力.应明确各种情况下向心力的来源.例2一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力F f的示意图，其中正确的是()答案 C解析雪橇运动时所受摩擦力为滑动摩擦力，方向与运动方向相反，与圆弧相切.又因为雪橇做匀速圆周运动时合力充当向心力，合力方向必然指向圆心.综上可知，C项正确.例3如图5所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动.g取10 m/s2，问：(结果保留两位小数)图5(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力为多大？答案(1)6.44 rad/s(2)4.24 N解析小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为F T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝mω2r①r＝L′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sF T＝mgcos 45°≈4.24 N.向心力的分析思路1.确定物体在哪个平面内做圆周运动，明确圆心和半径r，确定a、v、ω等物理量中什么是已知或要求的.2.对物体进行受力分析，确定向心力来源及大小.3.根据牛顿第二定律F合＝F向列方程，求解.三、变速圆周运动和一般的曲线运动[导学探究]用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图6.图6(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.(2)如果将拉力按照其作用效果进行分解，两个分力各产生了怎样的加速度？分加速度的作用效果如何？答案(1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.(2)根据F 产生的作用效果，可以把F 分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力F 1和指向圆心的分力F n ；F 1产生切线方向的加速度，改变线速度的大小，F n 产生向心加速度，改变线速度的方向. [知识深化]1.受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F 产生改变速度大小和方向两个作用效果.即2.某一点的向心加速度和向心力仍可用a n ＝v 2r ＝ω2r ，F n ＝m v 2r ＝mω2r 公式求解，只不过v 、ω都是指那一点的瞬时速度.例4 如图7所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 方向沿半径指向圆心，a 方向与c 方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )图7A.当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为cB.当转盘匀速转动时，P 不受转盘的摩擦力C.当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为aD.当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 答案 A解析 转盘匀速转动时，物块P 所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O 点，A 项正确，B 项错误；当转盘加速转动时，物块P 做加速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b ，C 项错误；当转盘减速转动时，物块P 做减速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d ，D 项错误.针对训练 如图8所示，某物体沿14光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则()图8A.物体的合外力为零B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心OC.物体的合外力就是向心力D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) 答案 D解析 物体做加速曲线运动，合力不为零，A 错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直，B 、C 错，D 对.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较1.(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是()A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小答案ACD解析向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力.向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A、C、D正确.2.(向心力的来源分析)如图9所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是()图9A.木块A受重力、支持力和向心力B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同答案 C解析由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡.而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C.3.(圆周运动中的动力学问题) 如图10所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小.图10答案 14 N解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg 和绳的拉力F T 提供(如图所示)，即F T －mg ＝m v 2r所以F T ＝mg ＋m v 2r ＝(1×10＋1×221) N ＝14 N小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.4.(圆周运动的向心力及有关计算)长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图11所示，求细线与竖直方向成θ角时：(重力加速度为g )图11(1)细线中的拉力大小； (2)小球运动的线速度的大小. 答案 (1)mgcos θ(2)gL sin θtan θ解析 (1)小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向： F T cos θ＝mg ，故拉力F T ＝mgcos θ. (2)小球做圆周运动的半径r ＝L sin θ，向心力F n ＝F T sin θ＝mg tan θ，而F n ＝m v 2r，。
钢结构习题5-6章参考答案
第5章 受弯构件14. 一简支梁，梁跨为7m,焊接组合工字形对称截面150mm 450mm 18mm 12mm ×××（图5-57），梁上作用有均布恒载（标准值，未含梁自重）17.1kN/m ，均布活荷载6.8kN/m ，距梁端2.5m 处，尚有集中恒荷载标准值60kN ，支承长度200mm ，荷载作用面距离钢梁顶面为120mm ，钢材抗拉强度设计值为2215N/mm ，抗剪强度设计值为2125N/mm ，荷载分项系数对恒载取1.2，对活载取1.4。
试验算钢梁截面是否满足强度要求（不考虑疲劳）。
解：截面积2A=1501824141210368mm ××+×=334150450138414323046144mm 1212××=−=x I3x W 1440000mm 2==xI h梁自重 32-67850kg/m 10368mm 10=81.4kg/m=0.814kN/m ××简支梁承受的均布恒载荷载标准值k (0.814+17.1)kN/m=17.9kN/m q =均布线荷载设计值y 1.217.9+1.4 6.8=31kN/m q =××集中荷载设计值y 1.26072kN p =×=（1）验算该简支梁的抗弯强度按y xx nx y ny+γW γW M M f ≤计算，取y 0M =。
集中恒荷载作用处有2x 317 4.512.572 2.531 2.5290.1kN m 272M ×=×+××−××=⋅ 跨中处2x 317 4.513.572 3.531 3.5721279.9kN m 272M ×=×+××−××−×=⋅受压翼缘的宽厚比：w 1b-t b 15012= 3.8t 2t 36−==取x 1.05γ=截面模量6y 22xx nx y ny 290.110+192.3N/mm 215N/mm 1.051440000γγ×==<=×M M f W W （满足） （2）验算抗剪强度 支座处剪力最大且317 4.572108.546.3154.8kN 27V ×=+×=+= 320715018(2079)20712840294mm 2S =××++××=322v w 154.810840294=33.5N/mm 125N/mm 32304614412VS f It τ××==<=×（满足） （3）局部承压强度集中力沿腹板平面作用于梁上翼缘，该荷载作用处未加加劲肋，应验算该处腹板计算高度上边缘的局部承压强度。
第4 5 6章对周期性荷载的反应
h(t ) 称为单位脉冲反应函数，其中t表示体系动 式中， 力反应的时间，τ表示单位脉冲作用的时刻。
v(t ) p( )h(t )d
0
t
,t 0
（7）
式（7）称为卷积积分，利用这个积分，可以获得任意荷 载作用下无阻尼结构体系在整个时间域内的反应。
• 上式的初始条件是t=0时结构处于静止状态。 • 对于其它特定的初始条件，这个解还必须加上一个附加自由振动反应
p( t )
正弦波冲击
阶段I：承受谐振荷载，从静止 开始运动，包含瞬态反应和稳态 反应。
p0
t
t1
t
阶段II
0 t t1
v(t )
阶段I
p0 1 (t1 ) (sin t sin t ) v(t1 ) v 2 k 1
阶段II：自由振动，与阶段I最终时刻的位移和速度有关。
∵ ∴
2 T
vmax 2v st sin
t 1
2
当t1≧T/2时，t 一定可以达到！ 当t1<T/2时，t 就达不到！
max(1 cos t ) 2 max(1 cos t ) 2
极值出现在t >t1时！
(t ) sint 当t < 时， v
t t t1 0
( t1 ) v v(t ) sin t v( t1 ) cos t
矩形脉冲
矩形脉冲荷载：
F (t)
0 p( t ) p0
t 0, t t1 0 t t1
F0 t 0 t1
短时间滞留在结构上的荷载；
由于作用时间短，一般不考虑阻尼； 0<t<t1时： t>t1时：
微分方程第5章.2(V函数)
(1)
2 x ( x xy ) y ( 2 x y y ) 2 x 4 y 4
3 2 2 3
是定负的。所以由定理6知系统（1）的零解 是渐近稳定的。
dx 3 3 x y dt (2 ) d y 2 xy 2 4 x 2 y 2 y 3 dt
§5.2 Liapunov 第二方法 （V函数法）
5.2.1 定理及概念 5.2.2 二次型V函数的构造
讨论方程组
dx dt
f ( x ), f (0 ) 0,
（5.20）
f ( x ), f ( x )
连续
定义 2 假设V ( x ) 为在域 x H 内定义的一个实连
V 续函数， (0 ) 0 . 如果在此域内V ( x ) 0, 则称函数
dx x y xy dt dy x3 y 3 dt
1
（5.22）
的全导数。 解 利用公式（5.21）得此函数 V 沿着系统 (5.22)得全导数为
dV dt
( 5.22 )
V dx x dt
2
V dy y dt
2 3 3
x ( x y xy ) y ( x y ) x xy x y x y y
对于系统（2），构造如（1）中的 V 函数则
dV dt
(2)
2 x 4 x y 2 y 2( x y )
4 2 2 4 2 2
2
显然
dV dt
(2)
在原点邻域是定正的，而 V ( x , y )
在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定正 函数），所以由定理7知系统（3）的零解是 不稳定的。
计量作业第5章-第6章
差项存在异方差性。
（2）
3.简述戈德菲尔徳 - 夸特(Goldfeld-Quandt)检验步骤。 该方法常用于检验递增型异方差，此种方法的前提是大样本容
量。戈德菲尔徳 - 夸特检验的零假设为： H0:σ12 =σ22 =…=σT2
备择假设为 H1:σ12 ≤σ22 ≤…≤σT2
检验的步骤如下： (1)将观测值按递增的误差方差排列，由于假定是递增型的异 方差，所以可将解释变量 Xt 的值按升序排列。 (2)任意选择 C 个中间观测值略去。检验表明，略去数目 C 的大 小，大约相当于样本观测值个数的 1/4。剩下的 T—C 个样本观测值 平均分成两组，每组样本观测值的个数为(T—C)/2。 (3)计算两个回归，一个使用前(T—C)/2 个观测值，另一个使用 后(T—C)/2 个观测值。并分别计算两个残差平方和，由前面的样本 回归产生的残差平方和为∑et12 ,后面样本产生的残差平方和为∑et22 , 则 X12 =∑ et12 ～ X2[(T—C)/2—k—1], X22 =∑ et22 ～ X2[(T—C)/2—k—1],其中 k 为计量模型中解释变量的个数。 (4)构造 F 统计量。
35530
187
Durbin-Wats
1.8
F-statistic
5.057on stat
93970
Prob(F-statis 0.00
tic)
0000
4,000
3,500
ห้องสมุดไป่ตู้
人人人人人人人
3,000
2,500
2,000
1,500 1,000
2,000
3,000
4,000
人人人人人
5,000
（1）略去中心 9 个样本观测值，将剩下的 20 个样本观测值分成容
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第6章 晶体几何学
第 2篇
B. 倒点阵矢量R*HKL垂直于正点阵中相应的（HKL） 晶面，并且它的长度R*HKL与（HKL）之晶面间距 dHKL的倒数成正比，即： R*HKL⊥（HKL）； |R*HKL|=1/dHKL 晶体点阵中晶 面取向和晶面 间距两个参量 只用倒易矢量 一个参量就可 以表示
c L c/L O b/K a/H N
第5章 物相分析概论
第 2篇
相：具有特定的结构和性能的物质状态。 材料中各元素形成的具有同一聚集状态、同 一结构和性质的均匀组成部分称为一相。 通常相指晶态物质，广义而言，均匀非晶态 物质也称为一相。
第5章 物相分析概论
第 2篇
一、材料的相组成及其对性能的影响 二、物相分析的含义 三、物相分析的手段
→ → → → →
b *× c * a = V*
→ →
→
→
c *× a * b= V* a *× b * c= V*
→ → →
→
→
→
V * = a *⋅ (b *× c *) = b *⋅ ( c *× a *) = c *⋅ ( a *× b *)
→
第6章 晶体几何学
第 2篇
cos β cosγ −cosα cosα* = sin β sinγ cosα cosγ −cos β cos β* = sinα sinγ cosα cos β −cosγ cosγ * = sinα sin β
第6章 晶体几何学
第 2篇
预备知识： 预备知识：
(1)点积：a⋅b=a cosθ 点积： ⋅ b θ 点积
① a⋅a=a2 ⋅
b
O
a⊥b充要条件：a⋅b=0 ⋅
θ a
②
a⋅b cosθ = ab
第6章 晶体几何学
第 2篇 c
(2)叉积：矢量a和b的夹角为θ，0<θ<π 模 方向
第6章 晶体几何学
第 2篇
一、正空间点阵
二、倒易点阵
第6章 晶体几何学
第 2篇
1. 晶体结构和空间点阵 （1）晶态与非晶态
固态物质
石英
晶态
非晶态
玻璃
宏观具有规 则几何外形
微观具有格 子构造
第6章 晶体几何学
第 2篇
（2）晶体结构和空间点阵
第6章 晶体几何学
第 2篇
晶体结构可示意为： 晶体点阵 + 结构基元 = 晶体结构 晶体结构中同类等同点 （阵点）构成的几何图形 有规律 空间无限
第6章 晶体几何学
第 2篇
（3）空间点阵的元素
第6章 晶体几何学
第 2篇
（4）布拉格点阵
• 单位平行六面体选取规则：
c β a γ α b
点阵常数： a、b、c； α、β、γ
第6章 晶体几何学
第 2篇
七
大
晶
系
立方晶系： 立方晶系：a=b=c, α=β=γ=90o β γ 四方晶系： 四方晶系：a=b≠c, α=β=γ=90o ≠ β γ 正交晶系：a≠b≠c, α=β=γ=90o 正交晶系： ≠ ≠ β γ 单斜晶系： ≠ ≠ β≠90 单斜晶系：a≠b≠c, α=γ=90o，β≠ o γ 三斜晶系： ≠ ≠ α≠β≠γ≠90 三斜晶系：a≠b≠c, α≠β≠γ≠ o 三方晶系： γ≠90 三方晶系：a=b=c, α=β=γ≠ o β γ≠ 六方晶系： 六方晶系：a=b≠c, α=β=90o γ=120o ≠ β
定性相分析
定量相分析
③各种不同的物相在组织中的分布情况
第5章 物相分析概论
第 2篇
锐钛矿
金红石
第5章 物相分析概论
第 2篇
第5章 物相分析概论
第 2篇
d
第5章 物相分析概论
第 2篇
一、材料的相组成及其对性能的影响 二、物相分析的含义 三、物相分析的手段
第5章 物相分析概论
第 2篇
原理：利用电磁波或运动电子束、中子束与材料内 部规则排列的原子作用产生相干散射，获得内部原 子排列信息，从而重组出物质的结构。
R*HKL K b
H
a
第6章 晶体几何学
第 2篇 晶体点阵中晶面取向和晶 面间距两个参量只用倒易 矢量一个参量就可以表示
第6章 晶体几何学
第 2篇
米勒指数：（hkl）互质， 衍射指数：（HKL）可以有公约数， 若H=nh、K=nk、L=nl，则(HKL)平面族是与(hkl)平 面平行，但面间距为其1/n的平面族，即dHKL=1/ndhkl 而R*HKL=Ha*+Kb*+Lc*=n（ha*+kb*+lc*）=nR*hkl
第6章 晶体几何学
第 2篇
222
111
220 110 100 200
第6章 晶体几何学
第 2篇
（2） 倒易矢量的性质 ）
A. 倒点阵矢量与正点阵矢量的点积必为整数。若 以Rlmn代表正点阵原点至（l,m,n）结点的矢量， R*HKL代表倒点阵原点至（H,K,L）结点的矢量， 则有：Rlmn⋅R*HKL=lH+mK+nL
a* = bcsinα /V b* = casin β /V c* = absinγ /V
直角坐标系中：立方、四方、 直角坐标系中：立方、四方、正交 a*∥a， a*=1/a；b*∥b， b*=1/b ∥ ， ； ∥ ， c*∥c， c*=1/c；V*=1/V ∥ ， ；
第6章 晶体几何学
第 2篇
2.倒易点阵与正空间点阵的关系 倒易点阵与正空间点阵的关系
（1）倒易矢量的定义 ） 由倒易原点向任意倒易阵点（坐标为H，K，L） 的连接矢量称为倒易矢量，用R*HKL表示，其坐 标表达式为： R*HKL=Ha*+Kb*+Lc* H、K、L：倒易阵点在倒易点阵中的方位，整数。 a*、b*、c*是倒易点阵的3个基本的单位矢量。
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第6章 晶体几何学
第 2篇
（2）晶向指数
通过点阵中任意一点的直线方向，用[uvw]表示
确定方法： 确定方法：
1. 以晶胞三个基矢的方向为坐标轴的方向，以基
矢长度a、b、c分别作为各自的衡量单位。 2. 用直线联结坐标原点和空间点阵中其他某个阵点， 该直线方向即为晶向 3. 确定该点坐标( xyz) (以点阵常数a、b、c为单位）
A1 B1 A2 B2 A3
1/2 (020) (010)
1
3/2
2
第6章 晶体几何学
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第6章 晶体几何学
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220
g110 b a r110
010
110 g110
b* 000 d110 a* 100
第6章 晶体几何学
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线面互应关系：正倒空间同指数的线（即方向矢）和 面是相互对应的，其表征矢量的方向是平行的 （1）正空间的平面矢量与倒空间的同指数的方向矢 量是平行的，正空间方向矢量与倒空间同指数的平面 矢量是平行的。 （2）对于一定指数的矢量方向，若对于正空间是方 向矢量，则对于倒空间必是平面矢量；相反若对于正 空间是平面矢量，则对于倒空间必是方向矢量。
四方原始格子 四方体心格子 六方和三方原始格子 三方菱面体格子
第6章 晶体几何学
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2. 晶向和晶面
（1） 晶体定向
在晶体结构空间中引入坐标系的步骤 把布拉格点阵（平行六面体）的三边选作基矢
a、 b 、 c
用三基矢定出三坐标轴，此三坐标轴称为晶轴
晶体定向后，空间某点的坐标即可写出
第6章 晶体几何学
第6章 晶体几何学 • 空间格子种类 原始格子 体心格子 面心格子 底心格子
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布拉格晶胞有14种类型，分属七大晶系。
第6章 晶体几何学
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三斜原始格子 单斜原始格子 单斜底心格子
正交原始格子 正交体心格子
正交底心格子
正交面心格子
第6章 晶体几何学
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立方原始格子
立方体心格子
立方面心格子
第6章 晶体几何学
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由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作 用形成的，正空间中的一族平行晶面就可以用倒 空间中的一个矢量或阵点来表示。
λ
λ
第6章 晶体几何学
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（3）晶面间距与晶面夹角的计算 ）
A. 晶面间距
第6章 晶体几何学
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R * hkl = 1 / d hkl
第6章 晶体几何学
第 2篇
对于立方，a*=b*=c*=1/a，α*=β*=γ*=90°， 则：d=a(h2+k2+l2)-1/2 对于四方，a*=b*≠c*， α*=β*=γ*=90° ， 则：d=[(h/a)2+(k/a)2+(l/c)2]-1/2 对于正交，a*≠b*≠c*， α*=β*=γ*=90° ， 则：d=[(h/a)2+(k/b)2+(l/c)2]-1/2
a b a * c
→ → → → → → → → → → → →
→ →
→ →
→ →
[
b*
c*
]
1 = 0 0
0 1 0
0 0 1
第6章 晶体几何学
→ →
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从倒点阵的定义式中 a*、b*、c*与a、b、c 、 、 、 、 的位置对称可知，正 点阵与倒点阵是互为 倒易
第5章 物相分析概论
第 2篇
原子的排列方式 排列方式决定晶体的相结构，原子 排列方式 排列方式的变化导致了相结构的变化。
第5章 物相分析概论
第 2篇
•材料的物理、化学性能与材料中相组成有直接 的对应关系。 •可以改变制备工艺及通过后续处理来获得不同 的相组成，并实现可控的相变。