华东师大版九年级下册数学习题课件 切线第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
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(2)如图②，连结 CE，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB ＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝ AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°
12．(习题12变式)如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别 相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4， AG＝2. (1)求∠A的度数； (2)求⊙O的半径．
4－r 4
，解得 r＝43
，∴⊙O 的半径为43
13．(2020·株洲)AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 AC， BC，直线 MN 过点 C，满足∠BCM＝∠BAC＝α.
(1)如图①，求证：直线 MN 是⊙O 的切线； (2)如图②，点 D 在线段 BC 上，过点 D 作 DH⊥MN 于点 H，直线 DH 交⊙O 于点 E，F，连结 AF 并延长交直线 MN 于点 G，连结 CE，且 CE＝53 ，若⊙O 的半径为 1，cos α＝34 ，求 AG·ED 的值．
A．4 3在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 △ABC的内切圆半径r＝____1．
10．(2020·眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA，PB， 点 A ， B 为 切 点 ， 连 结 AO 并 延 长 交 PB 的 延 长 线 于 点 C ， 过 点 C 作 CD⊥PO ， 交 PO 的 延 长 线 于 点 D. 已 知 PA ＝ 6 ， AC ＝ 8 ， 则 CD 的 长 为 _2___5_____．
A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
3．(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交 AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( B) A.△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
6．(2020·金华)如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切 AB，BC， AC 于点 E，F，D，P 是 DF 上一点，则∠EPF 的度数是( B )
A．65° B．60° C．58° D．50°
7．如图，要在一块直角三角形的木板上裁剪一个圆片，已知∠ABC ＝90°，AB＝30 cm，BC＝30 3 cm，要充分地利用这块铁片，使剪下 来的圆片的直径尽量大些，那么这个圆片的最大直径是多少？
解：设这个圆片的最大半径为 r cm.∵AB＝30 cm，BC＝30 3 cm， ∠ABC＝90°，∴AC＝ AB2＋BC2 ＝60 cm，依题意得：30－r＋30 3 － r＝60，解得 r＝15( 3 －1) cm，∴这个圆片的最大直径是 30( 3 －1) cm
8．(2020·济宁)如图，在△ABC 中，点 D 为△ABC 的内心，∠A＝ 60°，CD＝2，BD＝4.则△DBC 的面积是( B )
解：(1)连结 OD，OF，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC.
∵∠DEF＝45°，∴∠DOF＝90°，∴四边形 ADOF 是矩形，∴∠A＝90°
(2)设⊙O 的半径为 r，由(1)知四边形 ADOF 是矩形，又 OD＝OF，∴四边
形 ADOF 是正方形，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BGA，∴ADGO ＝BBDA ，即2r ＝
11．(天津中考)已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°， C为⊙O上一点． (1)如图①，求∠ACB的大小； (2) 如 图 ② ， AE 为 ⊙ O 的 直 径 ， AE 与 BC 相 交 于 点 D. 若 AB ＝ AD ， 求 ∠EAC的大小．
解：(1)如图①，连结 OA，OB，∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝ ∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定 理得，∠ACB＝12 ∠AOB＝50°
知识点❷：三角形的内切圆 5．(习题2变式)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几步？”其意思 是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长 为15步；问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
数学
九年级下册 华师版
第27章 圆
27．2.3 切线
第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点❶：切线长定理
1．(杭州中考)如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
若PA＝3，则PB＝(
)B
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠PAB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
(1)证明：连结OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A， ∴∠OCB＋∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线
(2)解：如图②，∵AB 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为 1，∴AB＝2，∵cos ∠ BAC＝cos α＝AACB ＝34 ，即A2C ＝34 ，∴AC＝32 ，∵∠AFE＝∠ACE，∠ GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH＋∠AGC＝90°， ∵∠ACE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△ EDC∽△ACG，∴AEDC ＝ACGE ，∴AG·ED＝AC·CE＝32 ×53 ＝52
4．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点． 求证：∠ABO＝12 ∠APB.
证明：连结 OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB， ∴∠ABO＝12 (180°－∠AOB).∵PA，PB 是⊙O 的两条切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠ABO＝12 ∠APB
12．(习题12变式)如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别 相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4， AG＝2. (1)求∠A的度数； (2)求⊙O的半径．
4－r 4
，解得 r＝43
，∴⊙O 的半径为43
13．(2020·株洲)AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 AC， BC，直线 MN 过点 C，满足∠BCM＝∠BAC＝α.
(1)如图①，求证：直线 MN 是⊙O 的切线； (2)如图②，点 D 在线段 BC 上，过点 D 作 DH⊥MN 于点 H，直线 DH 交⊙O 于点 E，F，连结 AF 并延长交直线 MN 于点 G，连结 CE，且 CE＝53 ，若⊙O 的半径为 1，cos α＝34 ，求 AG·ED 的值．
A．4 3在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 △ABC的内切圆半径r＝____1．
10．(2020·眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA，PB， 点 A ， B 为 切 点 ， 连 结 AO 并 延 长 交 PB 的 延 长 线 于 点 C ， 过 点 C 作 CD⊥PO ， 交 PO 的 延 长 线 于 点 D. 已 知 PA ＝ 6 ， AC ＝ 8 ， 则 CD 的 长 为 _2___5_____．
A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
3．(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交 AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( B) A.△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
6．(2020·金华)如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切 AB，BC， AC 于点 E，F，D，P 是 DF 上一点，则∠EPF 的度数是( B )
A．65° B．60° C．58° D．50°
7．如图，要在一块直角三角形的木板上裁剪一个圆片，已知∠ABC ＝90°，AB＝30 cm，BC＝30 3 cm，要充分地利用这块铁片，使剪下 来的圆片的直径尽量大些，那么这个圆片的最大直径是多少？
解：设这个圆片的最大半径为 r cm.∵AB＝30 cm，BC＝30 3 cm， ∠ABC＝90°，∴AC＝ AB2＋BC2 ＝60 cm，依题意得：30－r＋30 3 － r＝60，解得 r＝15( 3 －1) cm，∴这个圆片的最大直径是 30( 3 －1) cm
8．(2020·济宁)如图，在△ABC 中，点 D 为△ABC 的内心，∠A＝ 60°，CD＝2，BD＝4.则△DBC 的面积是( B )
解：(1)连结 OD，OF，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC.
∵∠DEF＝45°，∴∠DOF＝90°，∴四边形 ADOF 是矩形，∴∠A＝90°
(2)设⊙O 的半径为 r，由(1)知四边形 ADOF 是矩形，又 OD＝OF，∴四边
形 ADOF 是正方形，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BGA，∴ADGO ＝BBDA ，即2r ＝
11．(天津中考)已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°， C为⊙O上一点． (1)如图①，求∠ACB的大小； (2) 如 图 ② ， AE 为 ⊙ O 的 直 径 ， AE 与 BC 相 交 于 点 D. 若 AB ＝ AD ， 求 ∠EAC的大小．
解：(1)如图①，连结 OA，OB，∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝ ∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定 理得，∠ACB＝12 ∠AOB＝50°
知识点❷：三角形的内切圆 5．(习题2变式)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几步？”其意思 是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长 为15步；问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
数学
九年级下册 华师版
第27章 圆
27．2.3 切线
第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点❶：切线长定理
1．(杭州中考)如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
若PA＝3，则PB＝(
)B
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠PAB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
(1)证明：连结OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A， ∴∠OCB＋∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线
(2)解：如图②，∵AB 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为 1，∴AB＝2，∵cos ∠ BAC＝cos α＝AACB ＝34 ，即A2C ＝34 ，∴AC＝32 ，∵∠AFE＝∠ACE，∠ GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH＋∠AGC＝90°， ∵∠ACE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△ EDC∽△ACG，∴AEDC ＝ACGE ，∴AG·ED＝AC·CE＝32 ×53 ＝52
4．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点． 求证：∠ABO＝12 ∠APB.
证明：连结 OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB， ∴∠ABO＝12 (180°－∠AOB).∵PA，PB 是⊙O 的两条切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠ABO＝12 ∠APB