初高中衔接一元二次不等式的解法

§ 一元二次不等式的解法（学案）
知识梳理
1、一次函数y=ax+b （a ≠0） 图像是一条直线.和x 轴的交点是0x ，
a
b x -
=0. 一次方程ax+b=0的解是a
b
x -=0
①a>o 时，图像如图1，当0x x >时，函数值0>y ；当0x x <时，函数值0<y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＞0）的解是： ；
ax+b ＜0，（a ＞0）的解是： ；
②a<o 时，图像如图2，当0x x >时，函数值0<y ；当0x x <时，函数值0>y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＜0）的解是： ；
ax+b ＜0，（a ＜0）的解是： ；
2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如
)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如
)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等
式.
3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：
图 5
O
y
①
判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交
点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量1x x <或2x x >时，函数值 大于零；当21x x x <<时，函数值 零；当21x x x 或=时，函数值 零.
对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ;
对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：
)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：
)0(,02><++a c bx ax 的解是： )0(,02>≤++a c bx ax 的解是： ②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值 零；当0x x =时，函数值 零;对于任意实数x ，函数值都不会 零. 对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02
>>++a c bx ax 的解是：
)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：
)0(,02><++a c bx ax 的解是：
)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：
③判别式042
<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，
当自变量R x ∈时，函数值均 零；即对于任意实数x ，函数值都不可能 零.
对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;
对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：
)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：
)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：
4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：
①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）
②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等
实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转
化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行 ②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法． 典例分析
例1、解下列不等式
1、3x 2+5x-2>0
2、9x 2-6x+1>0
3、x 2-4x+5>0
4、-x 2+x+1<0
5、-x 2
+4x-4>0 6、3x 2
+6≤19x
例2、 解不等式2
3⎪⎭⎫
⎝
⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.
例3、已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<-3
121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解.
当堂检测：
1.（1）2x 2-3x-2>0; （2）x 2-3x+5<0 ;
（3）- 3x 2+6x>2; （4）-6 x 2+3x-2≤0.
（5）()()021≤-+x x
2.不等式()()123++≥-x x x x 的解是
3.不等式0262≥-+x x 的解是
4.二次方程02=++c bx ax 的两根为2-，3，0<a ，那么02>++c bx ax
的解为 5.不等式022>++bx ax 的解为3
12
1<<-x ，则=+b a ，不等式022<++bx ax 的解为 .
拓展1.若关于x 的不等式()∞∞->--,02的解为a ax x ，则实数a 的取值范围是 .
拓展2.在R 上定义运算(),1:y x y x -=⊗⊗若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 均成立，则 a 的取值范围为。