一维连续型随机变量

第六讲 一维连续型随机变量
教学任务：
1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。

教学重点：常见的连续型随机变量
教学目的：
1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；
3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。

教学方法：课堂教学。

三、
随机变量的分布函数
对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.
分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称
)()(x X P x F ≤= (2.8)
为随机变量X 的分布函数.
通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.
分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21
x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=
x F x F
（3）, 0)()(lim =−∞=−∞
→F x F x 0)()(lim =−∞=∞
→F x F x
不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.
另外，显然有：
)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<
例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4)
)42(≤≤X P .
解 X 的概率分布为
X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1
(1) X 的分布函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=x
x x x x x F 41
439.0327
.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.
(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P
(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P
一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为
∑∑≤≤===
≤=x
x k x
x k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)
和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==
四、 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有
(2.10)
∫∞
−=
x
dt t f x F )()(
则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.
由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性
∫∞
∞
−=1)(dx x f (3)
∫=
≤<21
)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则
)()('x f x F =
随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为
x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)
x x f Δ)(称为概率微分.
连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a X
P .
事实上, }{}{a X x a a X
≤<Δ−⊂=得
)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤
0)]()([lim ){lim 00
=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x
所以0)(==a X
P . 根据这一结果, 则有
)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<
另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.
常用的连续型随机变量及其概率密度
(1) 均匀分布
如果连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧<<−=其他
1)(b x a a
b x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。

设),(~b a U X ， 则X 在区间(a , b )的任何子区间上取值的概率只与子区间长度成正比, 与子区间位置无关.
X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧≤<≤−−<=x
b b x a a b a x a
x x F 1
0)( (2.13)
)(x F
例题 2.8 用电子表计时一般准确至百分之一秒, 即若以秒为时间的计量单位, 则小数点后第二位数字是按”四舍五入”原则得到的. 求产生计时误差X 的概率密度. 解 计时误差X 在区间(-0.005,0.005)上服从均匀分布, 则X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<=其他
005
.0||100)(x x f (2) 指数分布
如果随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤>=−0
)(x x e x f x
λλ (2.14) 则称X 服从参数为λ的指数分布, 简记为)(~λe X , λ
>0.
X
的分布函数为
⎨
⎧>−=−0
1)(x e x f x
λ
例题2.9 设某电子元件厂生产的电子元件的寿命X 服从参数为λ=1/3000的指数分布, 该厂规定寿命低于300小时的元件可以退换. 试求该厂被退换元件的数量大约占总产量的百分比. 解 X 的概率密度为
3000
3000
1)(x
e
x f −=, x > 0
095.013000
1)300(1.0300
3000
=−==
<−−∫
e dx e X P x
该厂被退换元件的数量大约占总产量的9.5%. (3) 正态分布
正态分布是概率论与数理统计中最常用的分布, 也是最重要的分布. 如果随机变量X 的概率密度为 2
22)(21
)(σμσ
π−−
=
x e x f , ∞<<∞−x
其中∞<<∞−μ
, 0>σ, 则称X 服从参数为σμ,的正态分布, 简记为.
正态分布也称为高斯(Gauss)分布. ),(~2σμN X )(x f 的性质如下.
(1) 曲线关于μ对称, 所以5.0)()(=>=
≤μμX P x P
(2) 当μ=x 时, )(x f 取得最大值, 即 σ
π21
)(=
x f (3) 在σμ±=x 处曲线有拐点.
(4) 如果σ不变, 改变μ的值, 则图形形状不变, 只位置平移; 如果μ不变, 改变σ的值,
则图形位置不变. σ越大, 图形越平坦; σ越小, 图形越尖陡. 称μ为位置参数, σ为
尺度参数. X 的分布函数为
∫
∞
−−−=
x
t dt e x F 2
22)(21)(σμσ
π (2.16)
当μ= 0, σ= 1时, 称X 服从标准正态分布, 简记为)1,0(~N X . 其概率密度和分布函数分
别为
2
221)(x e x −=
π
φ
∞<<∞−x (2.17)
(2.18)
∫
∞
−−
=
Φx
t dt
e x 2221)(π
并有)(1)(x x Φ−=−Φ (2,19) 书中附表2是)(x Φ的函数表.
)(x f
μ x
-x 0 x x
若, 则通过线性变换化成标准正态分布. ),(~2σμN X 正态分布的标准化性质：若, 则),(~2σμN X )1,0(~N X Z σ
μ
−=
.
事实上
∫
∞
−−−=
x
t dt e x F 2
22)(21)(σμσ
π 令σμ/)(−=t u , 则有
)(21)(22σ
μ
π
σ
μ
−Φ==
∫
−∞
−−
x du
e x F x u 即 (
)()()(σ
μσ
μ
σ
μ−Φ=−≤
−=≤=x x X P x X P x F (2.20)
所以)1,0(~N X Z σ
μ
−=。

于是对一般的正态分布求概率，我们有下面的公式：
)
(
)(
)(
)(122121σ
μσμ
σμ
σμ
σμ
−Φ−−Φ=−≤
−<
−=≤<x x x X x P x X x P (2.21)
例题2.10 设)1,0(~N X , 求)1|(|≤X P , )2|(|≤X P , )3|(|≤X P . 解 =)1|(|≤X P )1()1()11(−Φ−Φ=≤≤−X P
6826.018413.021)1(2=−×=−Φ=
)2|(|≤X P 9544.019772.021)2(2=−×=−Φ= )3|(|≤X P 9974.019987.021)3(2=−×=−Φ=
例题2.11 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内, 调节器调整在d ０
C ，液体的温度X 是一个随机变量，且. (1) 若d = 90)5.0,(~2d N X 0, 求概率);89(<X P (2) 若要求保持液体的温度至少为800 的概率不低于0.99, 求d 至少为多少? 解 (1) 0228.0)2(1)2()5
.090895.090()89(=Φ−=−Φ=−<−=<X P X P
(2) 5.0805.0(1)5.0805.0()80(d d X P d d X P X P −≤−−=−>−=>)5
.080(1d −Φ−=
按题意, 99.05
.080(1≥−Φ−d
01.0)5
.080(≤−Φd
查表得 327.25
.080−≤−d ,
1635.81≥d
例题2.12 设, 求),(~2σμN X )3|(|σμ≤−X P . 解 )3|(|σμ≤−X P =9974.0)3|
|(
=≤−σ
μX P
X 落在区间]3,3[σμσμ+−之外的概率为0.0026, 是小概率. 因此把区间
]3,3[σμσμ+−看作是X 实际可能取值区间, 通常称为”σ3法则”.。