山西省太原五中2008—2009学年高三第二学期月考试题文科2009.2

山西省太原五中2008—2009学年高三第二学期月考试题（2月）
数 学 试 题（文）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

） 1．设全集为R ，集合{|||1},{|20},M x x N x x =<-<<集合则集合{|10}x x -<<等于（ ）
A ．M
N
B ．M ∪N
C ．M
C R N
D ．C R M N
2．点（1，-1）到直线10x y -+=的距离为
（ ）
A ．
1
2
B ．
32
C ．
2
D ．
2
3．以
22
1124
y x -=的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为
（ ）
A ．
22
16452
x y +=
B ．
22
11612x y +=
C ．
22
1164
x y +=
D ．
22
1416
x y += 4．已知点P （2，1）在圆C ：2
2
20P x y ax y b x y ++-+=+上，点关于直线-1=0的对 称点也在圆C 上，则实数a ，b 的值为 （ ）
A ．a =-3，b =3
B ．a =0，b =-3
C ．a =-1，b =-1
D ．a =-2，b =1
5．若双曲线22
14x y k
+=的离心率e ∈（1，2），则k 的取值范围是 （ ）
A ．（-∞，0）
B ．（-3，0）
C ．（-12，0）
D ．（-60，-12） 6．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 9=9，则a 2a 3a 10= （ ） A ．27 B ．18 C ．9 D ．8 7．已知a 、b 都是实数，那么a 2>b 2是a >b 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要条件 8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n -1，则a 5的值为 （ ） A ．-16 B ．16 C ．32 D ．-32
9．已知sin 4
()cos sin()6
3π
αααπ+
+=
+=则 （ ）
A ．
B
C ．25
-
D ．
25
0PM AM PM ⋅=，则||10．已知定点A （-2，0），B （2，0），动点P 于A 、B 连线的斜率之积满足k AP ·k BP =m ，当 m ＜-1时，△ABP 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 11．自圆2
2
2440x y x y +--+=外一点P （0，4）向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，
则PA PB ⋅等于
（ ）
A ．
12
5
B ．
65
C
D
12．已知x 、y
满足约束条件00,x y y ⎧≥⎪
≥⎨+≥
（ ）
A
B ．1
C
D ．
12
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量(cos ,sin ),(cos(),sin())33
a b π
π
αααα=+
+则||a b -= 。

14．在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （-3，4），若点C 在∠AOB 平分线上且||2OC =，
则向量OC 的坐标为 。

15．当x ∈（1，2）时，不等式x 2+mx +4<0恒成立，则m 的取值范围是 。

16．已知动点P （x ，y ）在椭圆22
12516
x y +=上，若点A 坐标为（3，0），|AM |=1，且 的最小值是 。

三、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分） 17．（本小题满分10分）
设(sin 2,cos 2),(cos ,sin )(0)a x x b ϕϕϕπ==<<函数()f x a b =⋅且3
()0.8
f π=
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中画出()y f x =在区间[0，π]上的图像； （Ⅲ）根据画出的图象写出函数()y f x =在[0，π]上的单调区间和最值。

18．（本小题满分12分）
已知方程：2
2
2
4
2(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆。

（1）求实数m 的取值范围； （2）求该圆半径r 的取值范围； （3）求圆心的轨迹方程 19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=。

（1）求角B 的大小；
（2）设(sin ,cos 2),(4,1)(1),m A A n k k ==>且m n ⋅的最大值为5，求k 的值。

20．（本小题满分14分） 已知二次函数2
()f x ax bx c =++的图象通过原点，对称轴为2x n =-，'()f x 是()f x
的导函数，且*
'(0)2,(N )f n n =∈
（1）求()f x 的表达式；
（2）若数列{a n }满足1'()n n a f a +=，且a 1=4，求数列{a n }的通项公式； 21．（本小题满分12分）
设x 1、x 2（x 1≠x 2）是函数3
2
2
()(0)f x ax bx a x a =+->上的两个极值点。

（1）若x 1=-1，x 2=2，求函数()f x 的解析式；
（2）| x 1|+| x 2b 的最大值；
22．（本小题满分12分） 已知双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线上动点M 到右焦点F 的距离与到准线
l ：x =2 （1）求双曲线的标准方程
（2）设过点F 的直线交动点M 的轨迹于A 、B 两点，且线段AB 中点在直线x +y =0上， 求AB 的方程。

参 考 答 案
一、
ADDBC ADBCB AC 二、 13．1
14．)5
103,510(-=OC 15．5-≤m 16．3
三、
17．解：
（1）)2sin(sin 2cos cos 2sin )(ϕϕϕ+=+=⋅=x x x x f 由题可知：,0)8
32sin(=+⨯ϕπ ∴)(4
3Z k k ∈=+πϕπ，
⊙0<ϕ<π，∴ϕ=
4
π （2）
（3）单调增区间：],8
5[
],8
,0[πππ
单调减区间：]8
5
,8[
ππ 函数的额最大值是：1
函数的最小值是：-1
18．)4,7
20(];774,0(;171<<-
m 19．2
3
;3
=
=
k B π
20．（Ⅰ）由已知，可得c =0，,2)('b ax x f +=
∴n b a n a
b
n
b 2,21222==⎪⎩⎪⎨⎧==解之得
∴nx x x f 22
1)(2
+=
（Ⅱ）⊙a n +1= a n +2n ∴a n =（a n - a n -1）+（a n -1+ a n -2）+···+（a 3-a 2）+（a 2-a 1）+ a 1
=2（1+2+3+···+n -1）+4=2×
442
)
1(2+-=+-n n n n 21．本小题主要考查函数、导数、方程、不等式等知识以及综合分析能力，满分14分。

解：)0(23)('2
2
>-+=a a bx ax x f
··················1分
（1）x 1=-1，x 2=2是函数()f x 的两个极值点， ∴.0)2(',0)1('==-f f
·················2分 ∴,0412,0232
2
=-+=--a b a a b a 解得a =6，b =-9 ··················3分
∴x x x x f 3696)(2
3
--=
··················4分
（2）∵x 1、x 2是函数()f x 的两个极值点，∴0)(')('21==x f x f ∴x 1、x 2是方程2223a bx ax -+=0的两个根。

∵△=4b 2+12a 3，∴△>0对一切a >0，b ∈R 恒成立。

x 1+x 2=,3
,3221a
x x a b -=⋅-
⊙a >0，∴21x x ⋅<0。

由.3
4
94)3(4)32(||||||2222121a a b a a b x x x x +=---=-=+·
···············6分
由22||||21=+x x
得2234942
2=+a a
b ∴b =3a 2（6-a ）
⊙60,0)6(3,02
2
≤<≥-∴≥a a a b 令),6(3)(2
a a a h -=则a a a h 369)('2
+-=
0＜a ＜4时， ＞0 ∴h （a ）在（0，4）内是增函数；
4＜a ＜6时， ＜0 ∴h （a ）在（4，6）内是减函数； ∴a =4时，h （a ）有极大值为96，∴h （a ）在]6,0(上的最大值是96，
∴b 的最大值是64。

·················8分
22．【解析】 设动点M 到直线l 的距离为d ，则
.16
3
>=d MF ①∴动点M 是以F 为焦点，以x =2为准线的双曲线。

2
6
,2,32===a c c a c 36==∴c a
)('a h )('a
h
∴动点M 的轨迹方程为13
62
2=-y x ·················6分
② 设点A （x 1，y 1）点B （x 2，y 2）。

中点P 在x +y =0上，所以P （x 0，-x 0）
∵13
6;1362
2
222121=-=-y x y x ))((2))((21212121y y y y x x x x -+=-+∴ ∴2x 0（x 1-x 2）=2·（-2 x 0）（y 1- y 2）
若x 0=0则P （0，0）此时直线为y =0；若x 0≠0，则2
1
2121-=--x x y y
综上所述，直线方程y =0或x =2y -3=0 ∴直线AB 的方程为x y (2
1
-
= ),3-即032=-+y x ···············12分。