直线与圆的位置关系

肀考
]2021年第2期
39.
中学数学教学参考（中旬
、直线与圆的位置关系1
于云霞（山东省荣成市教育教学研究中心） 刘军波（山东省威海市环翠区教育教学研究培训中心)
文章编号：1002-2171(2021)2-0039-04
1学情分析
圆是初中阶段几何领域的最后一部分内容，在新
授课阶段，学生已经学习了直线与圆的位置关系、内 切圆和切线长定理等知识，并能利用这些知识“点对 点”地解决问题，部分优秀学生能够综合运用知识“点 线结合”地解决问题，本节复习课意在引领学生“联线 成面”，重建这部分知识结构，完善学生的思维。

2复习目标
(1)
在问题解决的过程中梳理直线与圆相切的性
质定理和判定定理、切线长定理、内切圆等相关知识；
(2) 进一步感受转化、分类讨论、数形结合、建模、
方程等数学思想，体会由特殊到一般的数学方法；
(3) 通过知识架构，把握知识之间的内在联系，优 化知识结构，使碎片知识体系化。

3教学过程
3.1 _条切线，引入新课
问题1:如图1，如果直线/与© 0相切，你能得到 哪些结论？
问题2:如果想证明直线Z 为 ©〇的切线，你需要怎么做？
设计意图：通过开放性问题让
学生回顾与圆的切线有关的知识，既夯实知识基础，又为后续的教学 提供知识储备，由此开启深度复习之旅。

教学导引：建议引导学生分别从“形”与“数”两个
角度对这两个问题进行思考，通过观察直线与圆的交 点个数、圆心到切线的距离与半径长度的数量关系、 切线与半径的位置关系进一步梳理直线与圆相切的 性质定理和判定定理。

在解决这两个问题之后，教师
可以追问：（1)过半径一端且与半径垂直的直线是不 是圆的切线？（2)过直径一端且与直径垂直的直线是
不是圆的切线？从而让学生深人领会判定切线的必 要条件。

练习：
(1) 定点问题：如图2，在平面直角坐标系中，©JW 与x 轴相切于点4(8,0)，与7轴相交于点6(0,4)和 点C (0,16)，则圆心到坐标原点的距离为_____。

(2) 动点问题：如图3，©M 的圆心在一次函数+ 2的图像上，半径为1，当©从与^轴相切
时，点M 的坐标为
答案:(1)2 ^1;(2)(1，吾)或(一1，吾)。

3.2
两条切线，生长知识
问题3:如图4,过圆外一点P 作圆的两条切线
P A ，PB ，切点分别为A ，B ，你能得到什么结论？你是 如何得到的？设计意图：将圆的切线由一条 生长为两条，通过添加辅助线，将 线段问题转化为三角形问题解决，让学生经历知识的生成过程，从而 推进深度复习。

教学导引：在教学过程中，可以先引导学生自行
画出圆的两条切线，得到的两条切线可以是平行的， 也可以是相交的，让学生感悟当两条切线相交时就会 出现切线长定理的有关知识。

此问题学生能够独立 解决，在交流之后教师仍需追问：（1)在解题过程中， 如果遇到圆的切线，应该怎样做？（2)证明线段相等 的方法有哪些？教师的追问意在暴露学生是怎样想 的、怎样探寻到解题策略的。

之后
继续追问：如图5,联结AB ,你又 会想到什么？此问题结论很多，如 三角函数、相似三角形、射影定理、勾股定理等，要让学生充分展示自 己的发现，
从而有效培养学生思维
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中者軸l 中学数学教学参考（中旬>
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的深刻性和独创性。

练习：如图6,已知Z A P B =120°，OP = 10,你能 求出哪些结论？
可以有如下预设：
(1) 与角有关的结论:①ZAPO =
60。

；② ZAOP =
=
30。

；③
= 60。

；
④ Z PAB = Z 尸似=30。

(2) 与边有关的结论：①C M = OB = AB = 5② PA = PB = 5;③ C »C =y ;④ PC =吾。

3.3三条切线，构建模型
3.3.1 在劣弧上添加切线
问题4:如图7，作©0的切线P A ，，DE ，切点
分别是点A ，B ，C ，你能得到哪些线段之间的数量
关系？
问题5:如图8,分别联结CM ,0B ，0C ，0D ，0£， 你能得到哪些角之间的数量关系？
图7 图8
设计意图：通过添加第三条切线，引领学生在原
题上继续生长出新的模型，问题4从线段的维度提出 问题，问题5从角的维度提出问题，意在引导学生了 解一图可以多用，让学生弄清知识之间的内在联系， 掌握解题的基本策略，使深度复习更进一步。

教学导引：问题4引导学生将线段D A 和£B 利
用切线长定理转化为线段D C 和EC ，从而得到
A P D E 的周长与切线长之间的数量关系（CA ro E = 2PA = 2P
B )，体会转化的数学思想。

问题5引导学 生找到各角之间的数量关系，例如ZAOB =2Z D ()E ，ZDO £：=90° —
等，从而建立模型，之
后及时追问：如果将切线D £的位置特殊化（如图9)， 当£)£丄P B 时，你还能得到哪些不同的结论？让学 生在异同的比较中理清关系，找到隐含的条件——
正
方形BOCE ，将半径转化为线段B E 的长，从而探究出Q O 的半径为r =
=
P £。

练习：如图10,A £，A D 和B C 分别切©O 于点
E ,D ,
F ，如果ZBOC =60°,©O 的半径等于l 〇7J ,那
么A A B C 的周长为
答案：60。

图9
3. 3. 2
在优弧上添加切线
问题6:如图11，若在©0的优弧上添加一条切 线，此时©O 是A P D £的内切圆，你能得到哪些结论？
问题7:你能求出三角形内切
圆的半径吗？
问题8:切线长与三角形三边 有怎样的数量关系？
设计意图：当在圆的优弧上添
加一条切线时，圆的位置由三角形外部移到三角形内 部，会得到学生熟悉的三角形内切圆模型，通过问题 链的设计为学生搭建思维的台阶，让学生拾级而上， 从而激发他们探究问题的欲望。

教学导引：问题6引导学生回顾梳理内切圆的有 关知识，夯实基础。

例如内心是三角形三个角平分线
的交点，内心到三角形三边的距离相等。

问题7引导 学生找到内切圆半径与三角形的周长和面积之间的
9 C
数量关系，即^• = #
^，掌握用等积法解决问题。

L A DPE
问题8引导学生建立设元的思路，求出切线长与三角 形三边之间的数量关系：（1 ) DA = DC =
PD + D E -P E ； (2)p A =p B = P D +P E -D E ；
D
图11
(3)B £=C £^------ J 这些关系的获得可
以让学生体会方程的数学思想。

之后教师继续追问： 联结OP ，OE ，你能得到哪些角之间的数量关系？通过追问，引导学生探究发现Z P 〇E =90° + |Z D ，此问题可以转化为如图12的数学模型，唤醒学生原有 的解题经验，产生“最近联想”，在A A B C 中，
和
Z C 的平分线相交于点D ，则有结论Z D =90° +
让学生感受基于旧经验得到新结论的过程，
找到新旧知识之间的联系，从而形成知识脉络。

问题9:如图13,如果A PD £为直角三角形，类 比前面的探究过程，
你能得到哪些结论？
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设计意图：G •波利亚说过，“学习任何东西的最
好途径是自己去发现”，通过类比一般三角形内切圆
的探究过程，让学生再发现、再创造，坚持思维方式的
一以贯之，发展思维的灵活性，在思考的过程中积累
活动经验，从而培养学生的发散思维和创新意识。

教学导引：给学生充足的思考时间，引导学生发
现当强化为直角时，一些结论也会随之强化，例
如Z P O D会成为定值135°，圆的半径除了可以用/•=
2S,
=表示外.还可以表示成P E+D E-P D
C ^DPE2
3.4四条切线，形成策略
问题10:如图14,继续添加切线，©O为四边形 A B C D的内切圆，切点分别为
E，F，G，H,你能得到什么结论？
设计意图：通过不断添加切
线的条数，让学生从更高的视角
理解知识点之间的关联，体会数
学的统一美。

教学导引：引导学生利用符号表示已知条件和求 解目标，并运用符号进行推理。

本题可以设= DG=a，CG=CF=6，BF=M：=c M f：=A H=cf，故 可以直观得到 AD+BC=a+ 6 +c+t/,CD+AB= a+6+C+A得到圆的外切四边形的对边和相等的结 论，从而提高学生的符号意识。

之后可继续追问：当四边形ABCD变成特殊四边形（比如正方形）时还会 有哪些特殊的结论？正六边形呢？
练习：如图15,在矩形ABCD
中，AB=U D=5，AD，AB，BC*
别与©0相切于£，F，G三点，过点
D作©O的切线交BC于点J W，切
点为iV，则D M的长为______。

效宏13
合系
图15
3.5总结提升，积累经验
通过本节课的学习，你有哪
些收获和体会？请你画出本节课的知识结构图。

教师总结完善本节课的知识结构及逻辑关系（如图 16)。

设计意图：利用知识结构图可以较好地对本节课 的知识和方法进行有重点、有针对性地回顾和概括，通过梳理知识之间的逻辑关系，使知识结构化、程序 化、系统化，便于学生深度理解，以引发数学思考。

4设计说明
4.1加强整体设计，构建知识的生长过程
本节课将与圆有关的切线问题综合成一个贯穿 课堂始终的大任务，以问题为抓手、以探究为方法，让 新问题在旧问题的基础上生长出来，让学生看清知识 的完整结构，看懂知识发展的整个过程。

一开始将一 条切线与圆的关系转化为与切线长定理有关的内容，接着添加第三条切线将问题生长成三角形与圆的关 系，继而生长到四边形内切圆乃至正多边形内切圆的 问题，利用问题串把知识联结起来，既体现层次感，又提升学生的整体意识。

4.2提出优质问题，激发学生的思考意识
问题是数学的心脏，是一节课的生命线，本节课 根据学生的学情，设计一系列的开放性问题，以问题 为驱动，让课堂教学从浅层接受式向深层探究式转 变，师生之间形成学习共同体，有助于激发学生的思 考，通过进一步追问加强知识之间的内在联系，建立 知识的“反射弧”，从而实现学生对知识的纵深理解。

4.3关注深度学习，提升学生的核心素养
深度学习的最终结果指向学生对知识的深度理 解，以及对所学知识的纵向迁移和横向迁移能力。

本节课在基础知识、基本技能目标得到有效落实的同时，将直线与圆的位置关系中几个关联性较强的内容组成 了一个教学单元，对知识进行系统设计和深度加工，
以
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i 中学数学教学参考（中旬>
最简单的一条切线为起点，逐步过渡到直线与圆的位 置关系及其他相关知识的应用，延伸并涵盖了所有的 重点内容，引导学生利用类比的手法，将基础知识的探 究思路和方法迁移到其他的内容当中，最终让学生站 在正多边形的内切圆处居高临下地俯视探究过程.理 解知识之间的关联，明确单元的重点研究对象，形成研 究问题的一般思路和方法，提升数学核心素养。

i与圆有关的计算i
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黄小华（广东省深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学) 文章编号：1002-2171 (2021)2-0042-03
(3)(2020年荆州中考题）如图3,在6X6的正方 形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均 在网格交点上，©〇是A A B C的外接圆，则cosZBAC的值为（）。

A.^
B.^
C.1
D.^
(4K2020年广州中考题）往直径为52 cm的圆柱形容器内装人一些水以后，截面如图4,若水面宽 AB=48 cm，则水的最大深度为_____。

A.8cm
B.10 cm
/
1
\
10
:B C
图3
C. 16 c m
D.20 c m
i复习目标
(1) 学生会自主解决与圆有关的角的计算和与 圆有关的线段计算的基础题，能归纳总结相关知识
和方法；
(2) 能够解决圆中线段乘积式、比例式问题，能总 结线段乘积式、比例式常见模型，在活动过程中体验
成功的喜悦；
(3) 通过小组合作交流解决圆中线段的函数问 题，领悟到代数学习是按照“数—式—方程—函数”历
程，以及几何学习中将“形”转化为“数”，可以更细微
地研究几何。

2教学过程
2.1课堂检测，夯实基础(5) (2020年济宁中考题）如图5,在四边形
ABCD中，以A B为直径的半圆O经过点C，D，A C与相交于点£，CD2=C£.CA，分别延长AB，DC交
于点P，PB=BO,CD=2#。

则BO的长是________。

(6)(由2020年营口中考题改编）如图6,在 △ABC中，BA，B C分别为©0的切线，点£和点C
为切点。

线段AC经过圆心0且和©0相交于D，C
两点，若tan A=|，AD=2,则BO的长是_______。

(^(2020年泸州中考题）如图1，在©O中，乂^=G：，ZABC=70°，则ZBOC的度数为（）。

A.100°
B.90°
C.80°
D. 70°
(2)(2020年营口中考题）如图为©0的直 径，点C，D是©0上的两点，联结CA，CD，AD。

若 ZCAB=40°，则ZADC的度数是（）。

A. 110°
B.130°
C. 140°
D.160°
图1图2
答案：（1)C;(2)B;(3)B;(4)C;(5)4;(6)3W。

功能分析：本环节通过6道课堂检测题，了解学 生对与圆有关的角的计算和与圆有关的线段计算的 学习情况，调动学生对已有知识的回忆。

这种问题驱 动下的复习能激发学生对基础知识的联想，使其在问 题解决的过程中，对知识间的联系感受更真切，理解 更深刻。

教学示范：教学时，教师应先给予学生充足的时 间让他们独立完成，教师巡视，发现问题及时点拨、指 导，然后让学生展示答案，同学间采用“兵教兵”的方 式互帮互学。

其中第（5)题有一定的难度，教师可继 续追问：（1)第（
5)题中条件的作用是什么？你有什么。