福建永安第一中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考习题理

永安一中 2018—2019学年第一学期第一次月考
高二数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数应为( )
A ．10
B ．12
C ．18
D ．24
2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为 ( )
甲组 乙组 9 0 9
x
2 1 5 y
8 7
4
2
4
．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8
3.某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161,380]的人数为 （ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13 4.把28化成二进制数为（ ）
A ．()211000
B ．()211100
C ．()211001
D ．()210100 5.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( )
A.1
6
B.25
24
C.3
4
D.1112
6.．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A ．至少有一次中靶
B ．只有一次中靶
C ．两次都中靶
D ．两次都不中靶
7.已知一组数据12,,,n x x x L 的平均数3x =，则数据1232,32,,32n x x x +++L 的平均数为（ ）
A ．3
B ．5
C ．9
D ．11
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．
710 B ．58 C ． 38 D ． 310
9..如图,当输入x=-5,y=15时,图中程序运行后输出的结果为( )
A .3,33
B .33,3
C .
17,7
D .7,
-17
10.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 （ ） A ．1
10
B ．
1
5
C ．
3
10
D ．
25
11.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数()603sin
3
t
F t =+ (其中020t ≤≤)给出，()F t 的单位是辆/分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A ．[15，20]
B ．[10，15]
C ．[5，10]
D ．[0，5]
12.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形12
8A A A 的中心，()11,0A ，任取
不同的两点,i j A A ，点P 满足i j OP OA OA ++=0，则点P 落在第一象限的概率是( )
A ． 254
B ．25
8 C ．
25
12
D ．
25
16
第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
14.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，若摸出白球的概率为23.0，则摸出黑球的概率为____________． 15.记函数(
)f x =
D ．在区间[]4,5-上随机取一个数，则x D ∈的
概率是 ．
16.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱上），则油滴整体（油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落人孔中的概率是 .（不作近似运算）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t ）
，频数分布如下：
（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；
（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.
18.（本小题满分12分）某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数x 与再销售价格
y （单位：百万元/台）进行统计整理，得到如下关系：
（1）求y 关于x 的回归直线方程y bx a =+；
（2）该机械每台的收购价格为20.05 1.817.5p x x =-+（百万元），根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润Q 最大？
附：参考公式：1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-⋅=
-∑∑，a y bx =-.
19.（本小题满分12分）已知圆C 经过点()02A ,和()22B ,--，且圆心C 在直线
10l :x y +-=上．
Ⅰ）求圆C 的标准．．
方程； Ⅱ）O 为坐标原点，设P 为圆C 上的动点，求OP 的取值范围．
20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知
()cos23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；
（II ）若ABC ∆的面积S =5b =，求sin sin B C 的值。

21.（本小题满分12分） 已知关于的二次函数.
（1）设集合
和，分别从集合和中随机抽取一
个数作为和，求函数在
上是增函数的概率； （2）设点是区域
内的随机点，求函数
在
上是增函数
的概率.
22.（本小题满分12分）已知平面内的动点P 到两定点(2,0)M -、(1,0)N 的距离之比为2:1. （Ⅰ）求P 点的轨迹方程；
（Ⅱ）过M 点作直线，与P 点的轨迹交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点，求OAB ∆ 的面积的最大值.
永安一中 2018—2019学年第一学期第一次月考
高二数学（理科）试题
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 12 14. 0.32 15. 9
5
16. 254
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17.(本题满分10分)
（1）频率分布直方图如图所示: ---------------------- 2 分
（2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5， 0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5， ∴中位数应在[2，2.5)组内，设中位数为x ， 则0.49＋(x －2)×0.50＝0.5，
解得x ＝2.02． ---------------------- 6 分 故本市居民月均用水量的中位数的估计值为2.02．
（3）0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25
＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02 ＝2.02． 故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02． ---------------------- 10 分 18.(本题满分12分)
（1）x －＝1
5(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ---------------------- 1 分
y －＝15
(16＋13＋9.5＋7＋5)＝10.1， ---------------------- 2 分 5i ＝1
∑x 2i
＝220，5
i ＝1
∑x i y i ＝247．
b ˆ＝5
i ＝1∑x i y i －5·x -y
-5i ＝1
∑x 2i －5x
-2＝－1.4， ---------------------- 4 分
a ˆ＝y -－
b ˆx -＝18.5． ---------------------- 5 分
所求回归直线方程为：y ˆ＝－1.4x ＋18.5． ---------------------- 6 分 （2）由题可知，
Q ＝－1.4x ＋18.5－(0.05x 2
－1.8x ＋17.5) ---------------------- 8 分 ＝－0.05x 2
＋0.4x ＋1
＝－0.05(x －4)2
＋1.8， ---------------------- 11 分
故预测当x ＝4时，销售利润Q 取得最大值． ---------------------- 12 分 19.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）因为圆心C 在直线10l :x y +-=上，所以可设圆心()1C a,a -．…2分
由条件可知2
2
AC BC =，即()()()2
2
2
2
123a a a a +--=++-，解得3a =……4分 即圆心()32C ,-，2
2
25r AC ==
故圆C 的标准方程为()()22
3225x y -++=．………7分 （Ⅱ）因为
5OC =
=，所以O 在圆C 内部，………9分
则OP 的取值范围为r OC ,r OC ⎡-+⎤⎣⎦
，即OP
的取值范围为55⎡⎣
……12分
20. (本题满分12分)（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A += ------------ 1 分
22cos 3cos 20A A ∴+-=， ---------------------- 3 分
解得1
cos 2
A =
，角60A =︒ ---------------------- 6 分
（II ）1sin 2
S bc A ==4c ⇒=， ---------------------- 8分 由余弦定理得：221a =，()2
22228sin a R A
== ---------------------- 10 分 25sin sin 47
bc B C R ∴== ---------------------- 12 分 21. (本题满分12分) 要使函数在区间上是增函数, 需
,且,即． ---------------------- 2分 所有的取法总数为
个, ---------------------- 3 分 满足条件的
有
共
个, ----------------- 5 分 所以所求概率
． ---------------------- 6 分
（2）如图
求得区域的面积为
,------------------ 8 分 由,求得, ---------------------- 9分 所以区域内满足且的面积为, ---------------- 11 分 所以所求概率
． ---------------------- 12 分
22. (本题满分12分) 解（Ⅰ）设),(y x P 则由题设知PN PM 2=，即2222)1(2)2(y x y x +-=++，
化简得，4)2(22=+-y x ，即为所求的P 点的轨迹方程. ………………………4分 （Ⅱ）易知直线AB 斜率存在且不为零，设直线AB 方程为)0)(2(≠+=k x k y 由⎩⎨⎧=+-+=4
)2()2(22y x x k y 消去y 得，04)1(4)1(2222=+-++k x k x k ， 由0)31(16)1(16)1(1622222>-=+--=∆k k k k 得，解得312<
k ， 所以3
102<<k . ………………………………………………………7分 设),(),(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=+22212221141)1(4k k x x k k x x ， 2122121214)(22
1||x x x x k x x k y y S S S OMA OMB OAB -+=-=-⨯=-=∆∆∆， 2
22222222)1(4)1(7)1(34)1()31(4k k k k k k +-+++-=+-=， …………………………10分 令1
12+=k t ，考察函数374)(2-+-=t t t f ，)1,43(∈t ， 161161)87(4374)(22≤+--=-+-=t t t t f ，87=t 当，即7
7±=k 时取等号，此时1max =S ,即OAB ∆的面积的最大值为1. ………………………………………12分。