2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《抛物线》课时同步练习1及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1
§2 抛物线(一)
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l(l不过点F)距离________的点的集合叫作抛物线，点F 叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫作抛物线的________方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向
________．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向
________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向
________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.|a|4
B.|a|2C ．|a| D ．－a 2
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上，则抛物线
方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝±8x 3．抛物线
y 2＝2px(p>0)上一点
M 到焦点的距离是a(a>p
2
)，则点M 的横坐标是( )
A ．a ＋p 2
B ．a －p
2
C ．a ＋p
D ．a －p
4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条
5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2
6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(
3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，
与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF
S △ACF 等于( )
A.45
B.23
C.47
D.12
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．
8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．
能力提升
12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1
2
B ．1
C ．2
D ．4 13．求与圆(x －3)2＋y 2＝9外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
§2 抛物线(一)
知识梳理
1．相等 焦点 准线
2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p
2 向右
(3)(－p 2，0) x ＝p
2 向左
(4)(0，p 2) y ＝－p
2 向上
(5)(0，－p 2) y ＝p
2 向下
作业设计 1．B [因为
y 2＝ax ，所以
p ＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|
2
，故选B.]
2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 2
2＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以
抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x.]
3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p
2的
距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p
2
.]
4．C [容易发现点M(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.] 5．B
[∵y 2＝2px
的焦点坐标为(p
2
，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p
2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py
＋p 2，即
y 2－2py －p 2＝0.设
A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 2
2
＝p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]
6．A [如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y ＝k(x －3)，代入y 2＝2x 并整
理，
得k 2x 2－(2
3k 2＋2)x ＋3k 2＝0，
则x 1＋x 2＝
2
3k 2＋2
k 2
. 因为|BF|＝2，所以|BB ′|＝2.
不妨设x 2＝2－12＝3
2是方程的一个根，
可得
k 2＝
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－32，
所以x 1＝2.
S △BCF S △ACF ＝1
2
|BC|·d 12|AC|·d ＝|BC||AC|＝|BB ′|
|AA ′|
＝2
2＋
12＝4
5.]
7．y ＝3
解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 2
9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意知，设P(x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，
又A(-1,0),PA ⊥PQ, ∴PA →·PQ →
＝0，
即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0,
也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，
∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝1
1－x 1＋(1－x 1)－1，
由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.
10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p>0)，
则焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－p 2，0，由题意，
得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＝6p ，m 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3－p 22
＝5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
p ＝4，m ＝26，
或⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝4，
m ＝－2 6.
故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．① 直线方程变形为y ＝2x ＋1，② 设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x 2＋(4－a)x ＋1＝0， 则|AB|＝
(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15. 解得a ＝12或a ＝－4.
∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x.
12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p
2.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16， ∴3＋p
2
＝4，∴p ＝2.
方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，
所以－p
2
＝－1，p ＝2.]
13．解 设定圆圆心M(3,0)，半径r ＝3，动圆圆心P(x ，y)，半径为R ，则由已知得下列等式
⎩⎪⎨⎪⎧
|PM|＝R ＋3|x|＝R
， ∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P 到定点M 的距离与它到直线x ＝－3的距离相等， ∴点P 轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x ＝－3， ∴p ＝6，抛物线方程为y 2＝12x. 当x<0时，|PM|＝3－x ，
动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x ＝3的距离，点P 轨迹为x 轴负半轴， 当x ＝0时，不符合题意，舍去．
∴所求轨迹方程为y 2＝12x (x>0)或y ＝0 (x<0)．。