高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用学案新人教A版必修1

第2课时 奇偶性的应用
学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．
[合 作 探 究·攻 重 难]
用奇偶性求解析式
(1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式； (2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝
1
x －1
，求函数f (x )，g (x )的解析式. 【导学号：37102167】
思路探究：(1)设x <0，则－x >0――→当x >0
f x ＝－x ＋1求f －x
――→奇函数
得x <0时f x 的解析式
――→奇函数的性质f ＝0――→分段函数f
x 的解析式
(2)f
x ＋g x ＝1x －1
――――――→用－x 代式中x
得f －x ＋g －x ＝1
－x －1――→奇偶性
得f x －g x ＝－1x ＋1
――→解方程组
得f x ，g
x 的解析式
[解] (1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，f (x )＝－x －1. 又x ＝0时，f (0)＝0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －1，x <0，0，x ＝0，
－x ＋1，x >0.
(2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． 由f (x )＋g (x )＝
1
x －1
，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝
1
－x－1
，
∴f(x)－g(x)＝
1
－x－1
，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝
1
x2－1
；
(①－②)÷2，得g(x)＝
x
x2－1
.
求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，
要利用已知区间的解析式进行代入
利用x的奇偶性写出－f x或f－，从而解出x
提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有＝，但若为偶函数，
＝0.
函数单调性和奇偶性的综合问题
[探究问题]
1．如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？ 如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？ 提示：如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增；如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增． 2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反． 3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，那么f (3)和f (－2)的大小关系如何？若f (a )>f (b )，你能得到什么结论？
提示：f (－2)>f (3)，若f (a )>f (b )，则|a |<|b |.
角度一 比较大小问题
函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
【导学号：37102168】
A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72 思路探究：y ＝f x ＋
是偶函数―→
f x 的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上
递增比较大小
B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，
∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52.]
[跟踪训练]
1．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]
角度二解不等式问题
已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1,3) [∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)>f(2)，∴|x－1|<2，∴－2<x－1<2，
∴－1<x<3，∴x∈(－1,3)．故填(－1,3)．]
解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为x1f x2或f x1f x2的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式组，要注意函数定义域对参数的影响.
本题的关键是利用偶函数的性质：x＝f－x＝x，从而由f x－f
转化得f x－f，再由x在[0，＋上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|<2.其优点在于避免了讨论.
[跟踪训练]
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是( )
【导学号：37102169】A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1<a<2
C[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故选C.]
[当堂达标·固双基]
1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3
C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3
B[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
【导学号：37102170】
A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2)
C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
A[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.]
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( )
A．a<b B．a>b
C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0
C[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]
4．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 016，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________.
【导学号：37102171】2 016[由于偶函数的图象关于y轴对称，
所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 016，
故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 016.]
5．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.。