2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：第2章 第4节 平面向量的坐标

§4　平面向量的坐标
课后篇巩固探究
A 组　基础巩固
1.设向量a =(1,2),b =(-3,5),c =(4,x ),若a +b =λc (λ∈R ),则λ+x 的值是( )
.-B .C .-D .112
112
292
292
a =(1,2),
b =(2,3),
c =(3,4),且c =λ1a +λ2b ,则λ1,λ2的值分别为(
)A.-2,1 B.1,-2D.-1,2c =λ1a +λ2b ,
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).
解得λ1=-1,λ2=2.{3=λ1+2λ2,
4=2λ1+3λ2,A (1,3),B (4,-1),则与同方向的单位向量是( )
AB A .
B .
(35
,-4
5
)(45
,-3
5
)
D .
-35,45)(-45,35)=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A .
AB AB |AB |
=
15(
35,
-4
5
),可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )
A .e 1=(0,0),e 2=(1,2)
B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)
C .e 1=(3,5),e 2=(6,10)(2,-3),e 2=(-2,3)a =k 1e 1+k 2e 2,
选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),
∴无解.
{k 2=3,
2k 2=
2,B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2),
∴解得{
-k 1+5k 2=3,
2k 1-2k 2=2,{k 1=2,k 2=1.
故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来.,C,D 选项同A 选项,无解.a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-
2),若表示向量4a ,4b-2c ,2(a-c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d =(
)A.(2,6) B.(-2,6)6) D.(-2,-6)
d =(x ,y ),由题意知4a =(4,-12),4b-2c =(-6,20),2(a-c )=(4,-2),易知4a +4b -2c +2(a-c )+d =0,解得x=-d =(-2,-6).ABCD 中,若=(1,3),=(2,5),则= ,= . AB AC AD BD =(1,2),
=BC =AC ‒AB
=(0,-1).BD
=AD ‒AB (0,-1)
e 1=(1,2),e 2=(-2,3),a =(-1,2),以e 1,e 2为基底将a 分解为a 1e 1+a 2e 2的形式为 . a =a 1e 1+a 2e 2(a 1,a 2∈R ),
(-1,2)=a 1(1,2)+a 2(-2,3)=(a 1-2a 2,2a 1+3a 2),
所以解得{-1=a 1-2a 2,2=2a 1+3a 2,{a 1=1
7
,
a 2=4
7
.
a=e 1+e 2.174
7a=e 1+e 2
17
4
7=(1,-2),=(a ,-1),=(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则
a+的值是 .
OA OB OC b
2A ,B ,C 三点共线,∴共线,∴存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴解得
AB 与AC {
a -1=-λ
b -λ,
1=2λ,λ=,a+.
2b 2=
1
22的等边三角形ABC ,顶点A 在坐标原点,AB 边在x 轴上,点C 在第一象限,D 为AC 的,分别求向量的坐标.AB ,AC ,BC ,B D ,等边三角形ABC 的边长为2,
则顶点A (0,0),B (2,0),C (2cos 60°,2sin 60°),
∴C (1,),∴D ,3(12,32
)
∴=(2,0),=(1,),AB AC 3∴=(1-2,-0)=(-1,),
BC 33.
BD =
(
1
2
-2,3
2-0)=
(
-32,3
2
)10.设A (x ,1),B (2x ,2),C (1,2x ),D (5,3x ),当x 为何值时,共线且方向相同?此时点A ,B ,C ,D 能否在AB 与CD ?
O 为坐标原点,则根据题意有=(2x ,2)-(x ,1)=(x ,1),
AB =OB ‒OA =(1,2x )-(2x ,2)=(1-2x ,2x-2),=(5,3x )-(1,2x )=(4,x ).BC =OC ‒OB CD 由共线,得x 2-4=0,即x=±2.AB 与CD 又方向相同,∴x=2.
AB 与CD 此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2-1×(-3)=7≠0,∴不共线,AB BC AB 与BC ∴A ,B ,C 三点不在同一直线上.∴点A ,B ,C ,D 不在同一直线上.
11.已知点O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°
,∠BOC=90°,设=a ,=b ,=c 且|a |=2,|b |=1,|c |=3,OA OB OC 的坐标.AB ,BC 设点A (x ,y ),B (x 0,y 0),
∵|a |=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos 45°=,且y=2sin 45°=.
22又|b |=3,∠xOB=90°+30°=120°,
∴x 0=3cos 120°=-,y 0=3sin 120°=.
3
2332
故a ==(),b =.
OA 2,2OB =(
-32
,
332
)
(2)如图所示,以点O 为原点,所在直线为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
OA
∵||=1,∠AOB=150°,OB ∴B (-cos 30°,sin 30°),
∴B .
(
-
32,12)
∵||=3,∴C (-3sin 30°,-3cos 30°),
OC 即C
.
(
-3
2,-3
23
)又A (2,0),
∴
-(2,0)=,
AB =(
-
3,1)(
-3
-2,
1
2)
.
BC =(
-
32,-3
2
3)‒(-32,12)=(
3-32
,-33-1
2)B 组　能力提升
1.设m =(a ,b ),n =(c ,d ),规定两向量m ,n 之间的一个运算“￿”为m ￿n =(ac-bd ,ad+bc ),若已知p =(1,2),p ￿q =(-4,-3),则q 等于( )A.(-2,1) B.(2,1)1) D.(-2,-1)
q =(x ,y ),由题设中运算法则,得
p ￿q =(x-2y ,y+2x )=(-4,-3),
即解得{x -2y =-4,y +2x =-3,{x =-2,y =1.q =(-2,1).
a =(1,3),
b =(m ,2m-3),平面上任意向量
c 都可以唯一地表示为c =λa +μb (λ,μ∈R ),则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,+∞)B .(-∞,3)
C .(-∞,-3)∪(-3,+∞)
c 都可以用a ,b 唯一表示,所以a ,b 是平面向量的一组基底,即a ,b 为不共线,则3m ≠2m-3,即m ≠-3,故选C .
3.平面上有A (2,-1),B (1,4),D (4,-3)三点,点C 在直线AB 上,且,连接DC 延长至点E ,使||=AC =12
BC
CE ,则点E 的坐标为 .
1
4|ED
,∴A 为BC 中点,∴点C 的坐标为(3,-6).又||=|,且E 在DC 的延长线上,AC =12BC CE 1
4|ED
∴=-.
CE 14ED
设
E (x ,y ),则(x-3,y+6)=-(4-x ,-3-y ).
1
4
于是解得{
x -3=-1
4
(4-x ),
y +6=-14(-3-y ),
{
x =8
3
,y =-7.E 坐标是.(8
3,-7
)
(8
3
,-7)
A (2,3),
B (5,4),
C (7,10),若+λ(λ∈R ),试求当点P 在第三象限时λ的取值范围.AP =AB AC =(3+5λ,1+7λ).
AP 设点P (x ,y ),则=(x-2,y-3).AP 于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
所以{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,即
{x =5+5λ,
y =4+
7λ
.又点P 在第三象限,
所以解得λ<-1.{
x =5+5λ<0,
y =4+7λ<
0,所以λ的取值范围为(-∞,-1).5.
导学号93774073如图所示,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 和OB 的交点P 的坐标.
方法一)设=t =t (4,4)=(4t ,4t ),
OP OB 则=(4t ,4t )-(4,0)=(4t-4,4t ),AP =OP ‒OA =(2,6)-(4,0)=(-2,6).
AC =OC ‒OA 由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
AP ,AC 解得
t=,∴=(4t ,4t )=(3,3),
3
4OP ∴点P 的坐标为(3,3).
(方法二)设P (x ,y ),则=(x ,y ),
OP ∵共线,=(4,4),∴4x-4y=0.①
OP ,OB OB 又=(x-2,y-6),
CP =(2,-6),且向量共线,
CA CP ,CA ∴-6(x-2)+2(6-y )=0.
②
解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P 的坐标为(3,3).
6.导学号93774074已知向量u =(x ,y )与向量v =(y ,2y-x )的对应关系可用v =f (u )表示.(1)证明:对于任意向量a ,b 及常数m ,n ,恒有f (m a +n b )=mf (a )+nf (b )成立;(2)设a =(1,1),b =(1,0),求向量f (a )及
f (b )的坐标;(c )=(3,5)成立的向量c .a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).
(mx 1+nx 2,my 1+ny 2)=(my 1+ny 2,2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2),又mf (a )=(my 1,2my 1-mx 1),nf (b )=(ny 2,2ny 2-nx 2),所以mf (a )+nf (b )=(my 1+ny 2,2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2),
f (m a +n b )=mf (a )+nf (b ).(a )=(1,1),f (b )=(0,-1).
c =(x 3
,y 3
),则{y 3=3,
2y 3-x 3=5,
解得所以c =(1,3).
{x 3=1,
y 3=3,。