九年级 二次函数达标检测卷(Word版 含解析)

九年级 二次函数达标检测卷（Word 版 含解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y
轴的负半轴交于点C ．
()1求点B 的坐标．
()2若ABC 的面积为6．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为
1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭
． 【解析】
【分析】
（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；
（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到
12
(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；
②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．
【详解】
解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==
点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴<
∴点B 坐标为()1,0．
()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <
1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,
()()116,2
a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．
0,a < 3a ∴=-
22 3.y x x =+-
②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，
∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-
则03,k =-
3k ∴=．
,POB CBO ∠=∠
∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC
∴直线OP 的函数解析式3,y x =为
则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩
1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)
，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点的P
坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，
则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-
则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩
1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)
，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点P'的坐标为⎝⎭
综上可得，点P 的坐标为⎝⎭或⎝⎭
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；
（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；
（4）设1112,
,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116
m >- 【解析】
【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；
（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；
（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．
【详解】
解：（1）当1m =-时，()2
2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得
22611a a ++=
解得0a =或3a =-
（2）当0m >时，,(3)F m m -
此时，0o y m =-<
当0m ≤时，2223926=2()22
y x mx m x m m m =-----
∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
此时，229911=()22918
m m m ---++ ∴0y 的最大值118
= 综上所述，0y 的最大值为
118 （3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0
当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△
解得：m=0（舍去）或29
m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32
m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136
x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．
（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；
（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；
（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．
【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-
5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．
【解析】
【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a
--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；
（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；
（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，
∴-3=4a 4a a+k=a+k -+
∴k=-3-a ；
抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-
=12a
，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中，
∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，
∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，
∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；
将其表示为顶点式：2
y=2(x-1)-5，
∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，
∴1＜-a-3≤2，
∴-5≤a ＜-4；
（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1，
∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，
即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；
②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，
综上所述：-1≤t ≤2．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
4．二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；
（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m y x x m m =
-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．
①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
【答案】（1）P （2，
13
）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．
【解析】
【分析】
（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；
（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．
【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =
-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象上， ∴2263
m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->， ∴
2263
m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =
-+， ∴顶点P （2，3
m ）， 当x=0时，y=m ，
∴点A （0，m ），
∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点A （0，m ），点P （2，3
m ）代入，得： 23
m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AP 的解析式为y=3
m -
x+m ， 当y=0时，x=3，
∴点B （3，0）；
∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，
且∠OAB+∠FAB =90°，
∴∠DAF=∠OAB ，
在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，
∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；
②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
22363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2
184m m m -≤，∴218(2)4m m
--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2
(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴2
1823m m m ++≥，即218(1)2m m
++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．
【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
5．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．
（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；
（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．
【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.
【解析】
【分析】 （1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．
（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；
（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，
2
22)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21
2x x =-，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠．
【详解】
解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得
2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩
． 所以21b a =-．
（2），如图1，
当120x x <<时，()()12120x x y y --<，
120x x ∴-<，120y y ->，
∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；
同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，
0b ∴=．
OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ，
ABC
∴∆为等腰三角形，
又ABC
∆有一个内角为60︒，
ABC
∴∆为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD CD
=，且30
OCD
∠=︒，
又2
OB OC OA
===，
·303
CD OC cos
∴=︒=，·301
OD OC sin
=︒=．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为(3，1)．
点C在抛物线上，且2
c=-，0
b=，
321
a
∴-=，
1
a
∴=，
∴抛物线的解析式为22
y x
=-．
（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)
x-，点N的坐标为
2
(x，2
2
2)
x-．
如图2，直线OM的解析式为()
11
y k x k
=≠．
O、M、N三点共线，
1
x
∴≠，
2
x≠，且
22
12
12
22
x x
x x
--
=，
12
12
22
x x
x x
∴-=-，
()
12
12
12
2x x
x x
x x
-
∴-=-，
12
2
x x
∴=-，即2
1
2
x
x
=-，
∴点N的坐标为
1
2
(
x
-，
2
1
4
2)
x
-．
设点N 关于y 轴的对称点为点'
N ，则点'N 的坐标为12(
x ，21
42)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点， 24OP OA ∴==，
∴点P 的坐标为()0,4-．
设直线PM 的解析式为24y k x =-，
点M 的坐标为1(x ，212)x -，
212124x k x ∴-=-，
2121
2x k x +∴=， ∴直线PM 的解析式为211
24x y x x +=-． ()
222111221111
224224·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上， PA ∴平分MPN ∠．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．
6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x
=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”
（1）当1n =时．
①求线段AB 所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．
【答案】（1）①1944y x =-
+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116
；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥； 【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB 为1944y x =-
+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=
+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=
-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a
-≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），
①设直线AB 为y ax b =+，则
251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴1944
y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-
+， 设点P 为（x ，k x
），由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+， ∴22191981()444216
k x x x =-+=--+；
4
∴当92x =时，k 有最大值8116
； 当1x =时，k 有最小值2；
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92
x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ，
设直线AB 为y ax b =+，则
25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， ∴21044
n n y x --=+， 设点P 为（x ，
k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=
-， 当204
n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：10
104224
2
n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．
即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204
n ->时，有 ∴20410124
n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >； 当204
n -<时，有
∴
410524
n n ⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109
n ≥
． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
7．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．
（Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．
【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）
12
；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；
（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．
【详解】
解:（Ⅰ）依题意()()2330{3
b c c --+⨯-+== 解得2{3
b c =-= 所以223y x x =--+
（Ⅱ）2223(1)4y x x x
抛物线的对称轴是直线1x =-
(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-
∵P 、Q 关于直线1x =-对称
设Q 的横坐标为a
则()11a x --=--
∴2a x =--
∴()22,23Q x x x ----+
∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--
∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++
当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -
∴2(3)1AM =---=
设直线AC 的解析式为y kx b =+
则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩
∴设直线AC 的解析式为3y x
将2x =-代入3y
x ，得1y = ∴(2,1)E -，
∴1EM =
∴11111222
AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，
∴3OQ =
∵2223(1)4y x x x
∴()1,4D -
过D 作DK y ⊥轴于K ，
则1DK =，4OK =
∴431OK OK OQ =-=-=
∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =
∴224FG DQ ==
设()
2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+
∴234m m +=，解得14m =-，21m =
当4m =-时，2235m m --+=-
当1m =时，2230m m --+=．
∴()4,5F --或()1,0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣
12x 2+bx +c 与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A ，直线y ＝﹣12
x +2经过A ，C 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，直线MN 与对称轴交于点G ，与抛物线交于M ，N 两点（点N 在对称轴右侧），且MN ∥x 轴，MN ＝7．
（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝1
2
时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．
【答案】（1）y＝﹣1
2
x2+
3
2
x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：
（3，2）或（17
3
，﹣
50
9
）；（4）
2
535
,0
45
3593535
,(
4
35935
5)
4
t t
S t
t
⎧⎛⎫
≤≤
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
=-<≤
+<≤
．
【解析】
【分析】
（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝3
2
，点N的横坐标为：
37
5
22
+=，即可求解；
（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；
（4）分0≤t 3535
＜t
3535＜t5
【详解】
解：（1）直线y＝﹣1
2
x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，
0），
则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣1
2
x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b＝3
2
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣1
2
x2
+
3
2
x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x＝
3
2
，
点N的横坐标为：
37
5
22
+=，
故点N的坐标为（5，-3）；
（3）∵tan∠ACO＝
21
42
AO
CO
==＝tan∠FAC＝
1
2
，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝
3
2
，
即点R的坐标为：（
3
2
，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：
2
3
2
n
m n
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得：
4
3
2
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
故直线AR的表达式为：y＝﹣
4
3
x+2…②，
联立①②并解得：x＝
17
3
，故点F（
17
3
，﹣
50
9
）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F 的坐标为：（3，2
）或（173，﹣509
）； （4）如图2，设∠ACO ＝α，则tanα＝12
AO CO =，则sinα＝5，cosα＝5； ①当0≤t ≤35时（左侧图）， 设△AHK 移动到△A ′H ′K ′的位置时，直线H ′K ′分别交x 轴于点T 、交抛物线对称轴于点S ，
则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ，
则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，
则DT ＝'52co 5
c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝
254t ； ②当355
＜t 35时（右侧图）， 同理可得：
S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝
12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594
+； 综上，S ＝2535,023593535,(435935(5)4t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪+<≤⎩． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中
（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏． 9．如图，已知顶点为M （32，258
）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =-
++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】
【分析】 （1）用待定系数法求解即可；
（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解； （3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222
a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】 解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣
32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣
32）2+258， 解得：a ＝﹣12
， ∴抛物线的表达式为：213222
y x x =-
++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，
即点C坐标为（0，2），
同理，令y＝0
，则x＝4或﹣1，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），
过点P作y轴的平行线交AD于点H，
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝
1
2
（x+1），
设点P（x，﹣
1
2
x2+
3
2
x+2），则点H（x，
1
2
x+
1
2
），
则△PAD面积为：
S＝S△PHA+S△PHD＝
1
2
×PH×（x D﹣x A）＝
1
2
×4×（﹣
1
2
x2+
3
2
x+2﹣
1
2
x
1
2
-）＝﹣x2+2x+3，∵﹣1＜0，故S有最大值，
当x＝1时，S有最大值，则点P（1，3）；
（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣
1
2
a2+
3
2
a+2），
当P点在y轴右侧时（如图2），CQ＝a，
PQ＝2﹣（﹣
1
2
a2+
3
2
a+2）＝
1
2
a2﹣
3
2
a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，
∴∠FQ′P＝∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，
''
'
Q C Q P
CO FQ
=，即
2
13
22
2'
a a
a
Q F
-
=，
∴Q′F＝a﹣3，
∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝2222
3213
CO OQ
+=+=，
此时a＝13，点P的坐标为（13，
9313
-+
）．
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．
10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积
为；
②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为
或；（3）,或.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值
（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标
（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式
【详解】
解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）
则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18
故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；
②∵M（4,1），N（-2,3）∴，
又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24
∴此矩形的邻边长分别为6，4
∴n=-1或5
（2）如图1，
①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；
分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，
结合图象可知：
②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，
分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，
点P的坐标为（，7）或（，-3）
（3）如图2，y=+或y=+
【点睛】
此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键。