2024届安徽省六安市皋城中学数学九上期末调研模拟试题含解析

2024届安徽省六安市皋城中学数学九上期末调研模拟试题
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( )
A．5 B．2 C．5或2 D．2或7－1
2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知
cos∠ACD=3
5
，BC=4，则AC的长为（）
A．1 B．20
3
C．3 D．
16
3
3．如图，A、D是⊙O上的两个点，若∠ADC＝33°，则∠ACO的大小为（）A．57°B．66°C．67°D．44°
4．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG
GF
的值是(
)
A．4
3
B．
5
4
C．
6
5
D．
7
6
5．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM
＝120°，其中正确的结论有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
6．用配方法解方程2237x x +=时，方程可变形为（ ）
A ．273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
B ．274324x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ C ．271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．2725416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7．如图，已知，点是的中点，，则的长为( )
A ．2
B ．4
C ．
D ．
8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )
A ．90°
B ．100°
C ．110°
D ．130°
9．如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点(C 与点A 、
B 不重合)，过点
C 作弦C
D ⊥AB ，垂足为
E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE ＝x ，AP ＝y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为6，则弧BC 的长为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．π
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．找出如下图形变化的规律，则第100个图形中黑色正方形的数量是_____．
12．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.
13．菱形ABCD 中，若周长是20cm ，对角线AC ＝6cm ，则对角线BD ＝_____cm ．
14．如图，在平面直角坐标系中有两点()6,0A 和(6,3)B ，以原点O 为位似中心，相似比为12
，把线段AB 缩短为线段CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在y 轴右侧，则点D 的坐标为________.
15．在Rt △ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是 （结果保留π）．
16．如图，DAB EAC ∠=∠，请补充—个条件：___________，使ADE ABC ∆∆（只写一个答案即可）
．
17．半径为4 cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm1．
18．在△ABC中，tanB＝3
4
，BC边上的高AD＝6，AC＝35，则BC长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是:如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长.
20．（6分）如图，AB是O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD AB
⊥于点D，交AE于点F.
（1）求证：//
GC AE；
（2）若
3
sin
5
EAB=
∠，3
OD=，求AE的长.
21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1
个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为1
2
．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
22．（8分）如图，在△A BC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△A BC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
23．（8分）（1）2tan 602sin 30cos 453
︒︒-︒+； （2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
24．（8分）某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A ：自行车，B ：电动车，C ：公交车，D ：家庭汽车，E ：其他”五个选项中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 名市民，其中“C ：公交车”选项的有 人；扇形统计图中，B 项对应的扇形圆心角是 度；
（2）若甲、乙两人上班时从A 、B 、C 、D 四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
25．（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大．并求出最大利润．
26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接,BE BE 的垂直平分线分别交,,AD BE BC 于点,,P O Q ，连接,BP EQ ．
（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；
（2）若5,AB F =为AB 的中点，连接,6OF OF =，求BE 的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解题分析】分AC 为斜边和BC 为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.
【题目详解】第一情况：当AC 为斜边时，
如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD ⊥AC, OE ⊥BC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，
2210AC AB BC += ,
∵=++ABC AOC BOC AOB S S S S , ∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD , ∴11116868102222
r r r , ∴r=2.
第二情况：当BC为斜边时，
如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
2227
AC BC AB,
∵=++
ABC AOC BOC AOB
S S S S,
∴1111
2222
AB AC AB OF BC OD AC OE,
∴1111
6276827 2222
r r r,
∴r=71
- .
故选：D.
【题目点拨】
本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.
2、D
【解题分析】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°．∴∠ACD＝∠B．在Rt△ABC中，
∵
3
cos cos
5
B ACD
=∠=，BC＝4，∴
3
5
BC
AB
=，解得
20
3
AB=．∴2222
2016
()4
33
AC AB BC
=-=-=．故
选D．3、A
【分析】由圆周角定理定理得出∠AOC ，再由等腰三角形的性质得到答案.
【题目详解】解：∵∠AOC 与∠ADC 分别是弧AC 对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC =2∠ADC =66°，
在△CAO 中，AO=CO,
∴∠ACO=∠OAC =180612
6)57(︒-︒=︒， 故选：A
【题目点拨】
本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，注意数形结合思想的应用．
4、C
【分析】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．设DE=a ，则AE=3a ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【题目详解】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ∥CD ，∵FN ∥AD ，
∴四边形ANFD 是平行四边形，
∵∠D=90°
， ∴四边形ANFD 是矩形，
∵AE=3DE ，设DE=a ，则AE=3a ，AD=AB=CD=FN=4a ，AN=DF=2a ，
∵AN=BN ，MN ∥AE ，
∴BM=ME ，
∴MN=
32
a ， ∴FM=52a ， ∵AE ∥FM ，
∴3655
2
AG AE a GF FM a ===， 故选C ．
【题目点拨】
本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
5、A
【题目详解】如图，连接CO ，DO ，
∵MC 与⊙O 相切于点C ，
∴∠MCO=90°，
在△MCO 与△MDO 中，
MC MD MO MO CO DO ⎧⎪=⎨⎪=⎩
＝，
∴△MCO ≌△MDO （SSS ），
∴∠MCO=∠MDO=90°，∠CMO=∠DMO ，
∴MD 与⊙O 相切，故①正确；
在△ACM 与△ADM 中，
CM DM CMA DMA AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACM ≌△ADM （SAS ），
∴AC=AD ，
∴MC ＝MD ＝AC=AD ，
∴四边形ACMD 是菱形，故②正确；
如图连接BC ，
∵AC=MC ，
∴∠CAB=∠CMO ，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB 与△MCO 中，
CAB CMO AC MC
ACB MCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ACB ≌△MCO （SAS ），
∴AB ＝MO ，故③正确；
∵△ACB ≌△MCO ，
∴BC=OC ，
∴BC=OC=OB ，
∴∠COB=60°，
∵∠MCO=90°，
∴∠CMO=30°，
又∵四边形ACMD 是菱形，
∴∠CMD=60°，
∴∠ADM ＝120°，故④正确；
故正确的有4个.
故选A.
6、D
【题目详解】解：∵2x 2+3=7x ，
∴2x 2-7x=-3，
∴x 2-
72x=-32
， ∴x 2-72x+4916=-32+4916， ∴（x-74）2=2516
． 故选D ．
【题目点拨】
本题考查解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键． 7、C
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【题目详解】解：∵点是的中点，，，
∴AD=2，
∵，
∴
∴
∴AB=，
故选C．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的性质，能够根据相似三角形列出比例式是解答本题的关键，难度不大．
8、C
【解题分析】根据三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；
【题目详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-20°=70°，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=110°，
故选C．
【题目点拨】
本题考查圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9、A
【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
【题目详解】连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝2(0＜x＜1)．
故选A．
【题目点拨】
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
10、A
【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【题目详解】解：连接OC、OB
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝
1
360
6
︒⨯＝60°，
∵OA=OB
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，
弧BC的长为:606
2
180
π
π
⨯
＝．
故选：A．
【题目点拨】
此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
二、填空题(每小题3分,共24分) 11、150个
【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【题目详解】观察图形的变化可知：
当n 为偶数时，第n 个图形中黑色正方形的数量为（n +2n
）个； 当n 为奇数时，第n 个图形中黑色正方形的数量为（n +1
2
n +）个．
所以第100个图形中黑色正方形的数量是150个． 故答案为150个． 【题目点拨】
本题难度系数较大，需要根据观察得出奇偶数是不同情况，找出规律. 12、14π
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径1＋底面周长×母线长÷1．
【题目详解】解：∵圆锥母线长为5cm ，圆锥的高为4cm ， ∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π， ∴侧面面积＝
1
2
×6π×5＝15π； ∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝14π． 故答案为14π． 【题目点拨】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 13、1
【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD 的一半，然后即可得解．
【题目详解】解：如图，∵菱形ABCD 的周长是20cm ，对角线AC ＝6cm ， ∴AB ＝20÷4＝5cm ，AO ＝1
2
AC ＝3cm ， 又∵AC ⊥BD ，
∴BO 4cm ，
∴BD ＝2BO ＝1cm ． 故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.
14、
3 3,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【题目详解】∵以原点O为位似中心，相似比为1
2
，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），
∴点D的坐标为：
11
63
22
⎛⎫
⨯⨯
⎪
⎝⎭
，，即
3
3,
2
D
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
故答案为：
3
3
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭，．
【题目点拨】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
15、2
3π．
【解题分析】试题分析：将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是就是以点B为圆心，BC为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．
试题解析：∵AB=4，∴BC=2，
所以弧长=602
180
π⨯
=
2
3
π．
考点：1．弧长的计算；2．旋转的性质．
16、∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE（填一个即可）．
【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．
【题目详解】∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE(填一个即可)．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 17、83
π.
【解题分析】试题分析：根据扇形的面积公式求解. 试题解析：
()
22608
43603
cm ππ⨯⨯=. 考点：扇形的面积公式. 18、5或1
【分析】分两种情况：AC 与AB 在AD 同侧，AC 与AB 在AD 的两侧，在Rt △ABD 中，通过解直角三角形求得BD ，用勾股定理求得CD ，再由线段和差求BC 便可．
【题目详解】解：情况一：当AC 与AB 在AD 同侧时，如图1，
∵AD 是BC 边上的高，AD ＝6，tanB ＝
3
4
，AC ＝35 ∴在Rt △ABD 中，
6
8
3tan 4
AD BD B =
==， 在Rt △ACD 中，利用勾股定理得()
2
22
23563CD AC AD =-=
-=
∴BC=BD-CD=8-3=5；
情况二：当AC 与AB 在AD 的两侧，如图2，
∵AD 是BC 边上的高，AD ＝6，tanB ＝
3
4
，AC ＝5∴在Rt △ABD 中，
6
8
3tan 4
AD BD B =
==，
在Rt △ACD 中，利用勾股定理得()
2
22
23563CD AC AD =-=
-=
∴BC=BD+CD=8+3=1； 综上，BC=5或1． 故答案为：5或1． 【题目点拨】
本题主要考查了解直角三角形的应用题，关键是分情况讨论，比较基础，容易出错的地方是漏解．
三、解答题(共66分)
19、正方形城池的边长为300步
【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．
【题目详解】依题意得AB=30步，CD=750步.
设AE 为x 步，则正方形边长为2x 步，根据题意，
Rt △ABE ∽Rt △CED ∴
AB AE CE CD = 即30750
x
x =. 解得x 1=150，x 2=-150（不合题意，舍去）， ∴2x=300
∴正方形城池的边长为300步. 【题目点拨】
本题考查相似三角形的应用. 20、（1）见解析；（2）8AE =
【分析】（1）连接OC ，交AE 于点H ．根据垂径定理得到OC ⊥AE ．根据切线的性质得到OC ⊥GC ，于是得到结论； （2）根据三角函数的定义得到sin ∠OCD=3
sin 5
EAB =∠．连接BE ．AB 是⊙O 的直径，解直角三角形即可得到结论．
【题目详解】（1）证明：连接OC ，交AE 于点H .
C 是弧AE 的中点，
OC AE ∴⊥
GC 是O 的切线， OC GC ∴⊥，
90OHA OCG ∴∠=∠=︒， //GC AE ∴;
（2）OC AE ⊥，CD AB ⊥，
OCD EAB ∴∠=∠.
3
sin sin 5
OCD EAB ∴∠=∠=.
在Rt CDO ∆中，3OD =，
5OC ∴=， 10AB ∴=
连接BE
AB 是O 的直径，
90AEB ∴∠=︒.
在Rt AEB ∆中，
3
sin 5
BE EAB AB ∠=
=， 6BE ∴=，
在Rt△AEB 中，6BE =，AB=10，
8AE ∴==.
【题目点拨】
本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键． 21、 (1)1;(2)
16
【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x 个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为
1
2
和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【题目详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x 个， 根据题意得：21
212
x =++
解得：x =1
经检验：x =1是原分式方程的解
∴口袋中黄球的个数为1个
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况
∴两次摸出都是红球的概率为：
21 126
=.
【题目点拨】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
22、（1）详见解析；（2）10
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【题目详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴AC AB AD AC
=
∵AD=2, AB=5
∴AC5 2AC
=
∴AC= 10
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
23、（1）3
2
；（2）几何体的体积是1.
【分析】（1）化简各项的三角函数，再把各项相加；
（2）原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体，由此可求几何体的体积．
【题目详解】（1）原式=212(
22⨯-+
=1
112
-+ =
32
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体． ∴444114V =⨯⨯-⨯⨯=1 ∴几何体的体积是1． 【题目点拨】
本题考查了三角函数的混合运算以及几何体的体积问题，掌握特殊三角函数的值以及几何体的体积计算方法是解题的关键．
24、（1）2000、800、54；（2）
1
4
【分析】（1）由选项D 的人数及其所占的百分比可得调查的人数，总调查人数减去A 、B 、D 、E 选项的人数即为C 选项的人数，求出B 选项占总调查人数的百分比再乘以360度即为B 项对应的扇形圆心角度数； （2）用列表法列出所有可能出现的情况，再根据概率公式求解即可.
【题目详解】解：（1）本次调查的总人数为50025%2000÷=人；C 选项的人数为
2000(100300500300)800-+++=人；扇形统计图中，B 项对应的扇形圆心角是300
360542000
⨯
=︒︒； （2）列表如下：
由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有4种，所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为
41164
=.
【题目点拨】
本题考查了样本估计总体及列表法或树状图法求概率，是数据与概率的综合题，灵活的将条形统计图与扇形统计图中的数据相关联是解（1）的关键，熟练的用列表或树状图列出所有可能情况是求概率的关键. 25、他将售出价（x ）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y ）最大，最大利润是360元． 【分析】日利润=销售量×每件利润．每件利润为(x-8)元，销售量为100-10（x-10），据此得关系式． 【题目详解】解：由题意得，
y=（x-8）[100-10（x-10）]=-10（x-14）2+360（10≤a ＜20）， ∵a=-10＜0
∴当x=14时，y 有最大值360
答：他将售出价（x ）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y ）最大，最大利润是360元． 【题目点拨】
本题考查二次函数的应用． 26、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得PEB EBQ ∠=∠，再根据垂直平分线的性质可得
,90OE OB POE QOB =∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得OP OQ =，最后根据平行四边形的
判定、菱形的判定即可得证；
（2）先根据三角形中位线定理可得12AE =，再根据矩形的性质可得90A ∠=︒，然后在Rt ABE △中，利用勾股定理即可得． 【题目详解】（1）
四边形ABCD 是矩形
//AD BC ∴
PEB EBQ ∴∠=∠ PQ ∵垂直平分BE
,90OE OB POE QOB ∴=∠=∠=︒
()OPE OQB ASA ∴≅ OP OQ ∴=
∴四边形BPEQ 是平行四边形
又
PQ BE ⊥
∴四边形BPEQ 是菱形；
∵垂直平分BE
（2）PQ
∴是BE的中点
O
OF=
F是AB的中点，6
∴==（三角形中位线定理）
AE OF
212
=∠=︒
5,90
AB A
∴==．
BE
13
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．。