高中数学 模块学习评价 北师大版选修11

模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1 .(2012·辽宁高考)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【解析】命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
【答案】 C
2 .抛物线x2＝－8y的焦点坐标为( )
A．(0，2) B．(0，－2)
C．(0，4) D．(0，－4)
【解析】由定义可得焦点坐标为(0，－2)．
【答案】 B
3 .曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1，12)处的切线斜率是3.
切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.
【答案】 C
4 .a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b为一次函数a⊥b，且|a|≠|b|.
【答案】 B
5 .已知双曲线的焦点在y轴上，其渐近线与直线y＝±2x垂直，则其离心率为( )
A. 5
B.
55 C.52
D.
25
5
【解析】 设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
则渐近线为y ＝±a b
x ，
∵渐近线与直线y ＝±2x 垂直，
∴a b ＝12
. ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2
a
＝
1＋（b
a
）2
＝ 5.故选A
【答案】 A
6 .(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝
f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )
图
【解析】从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．
【答案】 B
7 .(2012·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】若函数f(x)＝a x在R上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.
【答案】 A
8 .对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21
D ．a ＝0或a ＝21
【解析】 f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋7a ， 当Δ＝4a 2
－84a ≤0， 即0≤a ≤21时，
f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．
【答案】 A
9 .(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b
2＝1的右焦点与抛物线y 2
＝12x 的焦点重合，则
该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. 5 B ．4 2 C ．3
D ．5
【解析】 ∵抛物线的焦点是F (3，0)， ∴双曲线的半焦距c ＝3， ∴4＋b 2
＝32
，解得b ＝5， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±
5
2
x ， 从而双曲线的焦点到其渐近线的距离为 5. 【答案】 A
10 .设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
【解析】 a >0时，F (a 4，0)，直线l 的方程为y ＝2(x －a
4)，
令x ＝0得y ＝－a
2
. ∴S △OAF ＝12·a 4·|－a
2
|＝4.解得a ＝8.
同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线的方程为y 2
＝±8x . 【答案】 B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11 .命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题有________个，真命题有________个．
【解析】 在四种命题中，真命题(或假命题)的个数总是偶数0或2或4，本题的原命题是假命题，因此它的逆否命题也是假命题，逆命题“可以被9整除的正整数的各位数字之和是3的倍数”是真命题，因此，否命题也是真命题．
【答案】 2 2
12 .要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为________． 【解析】 设圆锥的高为h cm ， ∴V ＝13
π(400－h 2
)h ，
∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0，得h 2
＝4003，
∴h ＝203
3.
【答案】
203
3
cm 13 .以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】 本题需分类讨论．
①当以△ABC 的两个锐角顶点为焦点时，由题意得b ＝c ，即a 2
＝2c 2
，
∴离心率e ＝
22
. ②当以∠ABC 的直角顶点和一锐角顶点为焦点时，由题意得：2c ＝b 2
a
，
即c 2
＋2ac －a 2
＝0. 即e 2＋2e －1＝0， ∴e ＝2－1. 【答案】
2
2
或2－1 14 .与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，且与抛物线y ＝x 2
相切的直线方程为________． 【解析】 ∵y ′＝2x ，与直线x ＋2y ＋3＝0垂直的直线的斜率为2，令y ′＝2，得x ＝1，即切点为(1，1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.
【答案】 2x －y －1＝0
15 .(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
【解析】 不妨设点P 在双曲线的右支上； 因为PF 1⊥PF 2，
所以|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝(22)2
， 又|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以(|PF 1|－|PF 2|)2
＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，
则(|PF 1|＋|PF 2|)2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 【答案】 2 3
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16 .(12分)已知命题p ：－2<1－a 3<2，命题q ：集合A ＝{x |x 2
＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈
R }，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝，求使命题p ，q 中有且只有一个真命题时，实数a 的取值范围．
【解】 命题p 为真命题时，解得－5<a <7. 对方程x 2
＋(a ＋2)x ＋1＝0， 当Δ<0时，A ＝满足A ∩B ＝， 此时求得－4<a <0；
当Δ≥0时，由B ＝{x |x >0}， 且A ∩B ＝，
设x 2
＋(a ＋2)x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则
⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝（a ＋2）2
－4≥0，x 1＋x 2＝－（a ＋2）<0，得a ≥0.x 1·x 2＝1>0，
综上，a >－4，
即命题q 为真命题时a >－4. 若p 真q 假，则⎩⎪⎨
⎪⎧－5<a <7a ≤－4
－5<a ≤－4.
若p 假q 真，则⎩
⎪⎨
⎪⎧a ≤－5或a ≥7a >－4a ≥7.
∴所求a 的取值范围为(－5，－4]∪[7，＋∞)．
17 .(12分)(2012·北京高考)已知函数f (x )＝ax 2
＋1(a >0)，g (x )＝x 3
＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．
【解】 f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2
＋b .
∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝g ′（1）
f （1）＝
g （1）， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝3b ＝3. ∴a ，b 的值分别为3，3.
18 .(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32
，x ∈N *
.
(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获得最大盈利额，该厂的日产量应为多少件？
【解】 (1)T (x )＝x ·3x 4x ＋32·(－100)＋x ·(1－3x 4x ＋32)·200＝－100x 2
＋6 400x
4x ＋32＝
－25（x 2
－64x ）x ＋8
，x ∈N *
.
(2)T ′(x )＝－25（x 2
＋16x －512）
（x ＋8）
2
，令T ′(x )＝0，得x ＝－32或16.因为x >0，所以x ＝16为唯一的极大值点，根据实际问题，它为最大值点，即当日产量为16件时，获得最
大盈利额，为800元．
19 .(13分)(2012·四川高考)如图2，动点M 与两定点A (－1，0)，B (1，0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程．
图2
【解】 设点M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．
于是x ≠1且x ≠－1.此时，直线MA 的斜率为
y x ＋1，直线MB 的斜率为y
x －1
.由题意得y
x ＋1·
y
x －1
＝4，化简得x 2
－y 2
4
＝1.
因为x ≠1且x ≠－1，即y ≠0，所以轨迹C 的方程为x 2
－y 2
4＝1(y ≠0)．
20 .(13分)(2013·课标全国卷)已知函数f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，
f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.
令f ′(x )＝0，
得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.
当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0得a ≥－5
4.
当a ≥－5
4
，x ∈(2，＋∞)时，
f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－52
x ＋1
＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12(x －2)＞0，
所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.
综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－54，＋∞. 21 .(13分)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，
离心率为
2
2
.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为10
3
时，求k 的值．
【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 2
2
＝1，
得(1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，
y 2＝k (x 2－1)，
x 1＋x 2＝4k
2
1＋2k 2，
x 1x 2＝2k 2
－41＋2k
2，
所以|MN |＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2
）（4＋6k 2
）1＋2k
2
.
又点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |
1＋k
2
，所以△AMN 的面积为S ＝1
2|MN |·d ＝|k |4＋6k 2
1＋2k
2
. 由|k |4＋6k 2
1＋2k 2
＝103，化简得7k 4－2k 2
－5＝0，解得k ＝±1.。