贵州省望谟二中-高一数学下学期4月月考试题新人教A版

高一下学期4月月考数学试题
I 卷
一、选择题
1．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值
为( )
A ．32
B ．12
C ．33
D ．36
【答案】D 2．已知空间两条不同的直线n m ,和两个不同的平面βα,，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若n m n m //,,//则αα⊂
B ．若αβα⊥⊥=⋂n n m m 则,,
C ．若n m n m //,//,//则αα
D ．若n m n m m //,,,//则=⋂⊂βαβα
【答案】D
3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB 的中点，则异面直线DM 与D 1B 所成角的余弦值为( )
A ．156
B ．155
C ．153
D ．1510
【答案】B
4．设有直线m 、n 和平面α、β，
下列四个命题中，正确的是 ( ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m α⊂，n α⊂，m ∥β，n ∥β，则α∥β
C ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥
D ． 若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则 m ∥α
【答案】D
5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α⊥β，其中正确的命题是
( )
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
【答案】B
6． 已知直线l 与平面α成30°角，则在α内 ( ）
A ．没有直线与l 垂直
B ．至少有一条直线与l 平行
C ．一定有无数条直线与l 异面
D ．有且只有一条直线与l 共面
【答案】C
7．设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( ) A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β
B．l⊂α，m⊂β，且m∥α
C．l∥α，m∥β且l∥m
D．l⊥α，m⊥β且l∥m
【答案】D
8．已知α，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对异面直线，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a∥α，b⊥βB．a∥α，b∥β
C．a⊥α，b∥βD．a⊥α，b⊥β
【答案】D
9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( ) A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α
【答案】C
10．已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥α
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
【答案】B
11．已知正四面体A－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则( )
A．α＞β＞γB．α＞γ＞β
C．β＞α＞γD．γ＞β＞α
【答案】B
12．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：
①m1⊥n1⇒m⊥n；
②m⊥n⇒m1⊥n1；
③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；
④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．
其中不正确
．．．的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
II卷
二、填空题
13．如图13－2，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等；
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上．
其中真命题的序号是________．
【答案】③④
14．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中错误的命题序号是________．
①若m∥α，n∥α，则m∥n
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【答案】①②③
15． a、b表示直线，α、β、γ表示平面．
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
⑤若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为真命题的是__________．
【答案】②⑤
16．如图：点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥面ACD1；
③DP⊥BC1；
④面PDB1⊥面ACD1.
其中正确的命题的序号是________．
【答案】①②④
三、解答题
17．如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底
面ABC .
(1)若D 是BC 的中点，
求证：AD ⊥CC 1；
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱AA 1于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
(3)AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由．
【答案】(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC .
∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，且交线为BC ，
∴由面面垂直的性质定理可知AD ⊥侧面BB 1C 1C .
又∵CC 1⊂侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.
(2)证明：取BC 1的中点E ，连结DE 、ME .
在△BCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点，
∴DE ∥CC 1，且DE ＝12
CC 1， 又AA 1綊CC 1，∴DE ∥AA 1，
且DE ＝12
AA 1. ∵M 是AA 1的中点(由AM ＝MA 1知)，∴DE 綊AM .
∴AMED 是平行四边形，∴AD 綊ME .
由(1)知AD ⊥平面BB 1C 1C ，
∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，
又∵ME ⊂面BMC 1，
∴平面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C .
(3)是．
作MF ⊥BC 1于F ，连FD .
若截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，
则MF ⊥平面BB 1C 1C ，
而AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴MF ∥AD .
又AM ∥平面BB 1C 1C ，∴AM ∥FD ，
∴FD ∥CC 1，
而D 是BC 中点，∴F 也是BC 1的中点，
∴AM ＝DF ＝12CC 1＝12
AA 1，即AM ＝MA 1. 又由(2)可知AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件．
18．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．
(1)求证：MN ∥平面CDEF ；
(2)求多面体A －CDEF 的体积．
【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE －BCF ，
且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝π2
． (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，
由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，
∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，
∴MN ∥平面CDEF .
(2)取DE 的中点H .
∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，
在直三棱柱ADE －BCF 中，
平面ADE ⊥平面CDEF ，
平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .∴AH ⊥平面CDEF .
∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝2． S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，
∴棱锥A －CDEF 的体积为
V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83
． 19．已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，
AB ＝1，AD ＝2，
(1)证明：直线AM ∥平面NEC ；
(2)求二面角N －CE －D 的余弦值．
【答案】(1)证明：取EC 的中点F ，连接FM ，FN ，
则FM ∥BC ，FM ＝12BC ，AN ∥BC ，AN ＝12
BC ， 所以FM ∥AN 且FM ＝AN ，
所以四边形AMFN 为平行四边形，
所以AM ∥NF ，
因为AM ⊄平面NEC ，NF ⊂平面NEC ，
所以直线AM ∥平面NEC .
(2)由题设知平面ABCD ⊥平面ADE ，CD ⊥AD ，
∴CD ⊥平面ADE .
又∵CD ⊂平面CDE ，
∴平面CDE ⊥平面ADE .
作NH ⊥DE 于H ，
则NH ⊥平面CDE ，
作HO ⊥EC 于O ，
连接NO ，
由三垂线定理可知NO ⊥CE ，
∴∠HON 就是二面角N －CE －D 的平面角．
在正△ADE 中，可得NH ＝32
， 在Rt △EDC 中，可得OH ＝3510
， 故在Rt △NHO 中，tan ∠HON ＝NH OH
＝153
． 20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O
为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PD ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明PB ∥平面ACM ；
(2)证明AD ⊥平面PAC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
【答案】(1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，
又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .
因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，
所以PB ∥平面ACM
.
(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
(3)取DO 中点N ，连接MN 、AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1. 由PO ⊥平面
ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，
所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．
在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12
， 所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54， 在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝15
4
＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455
． 21．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，
棱EF 綊12
BC .
(1)证明FO ∥平面CDE ；
(2)设BC ＝3CD ，证明EO ⊥平面CDF .
【答案】(1)取CD 中点M ，连结OM .在矩形ABCD 中，
OM 綊12BC ，又EF 綊12
BC ，则EF 綊OM . 连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形．
∴FO ∥EM .又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，
∴FO ∥平面CDE .
(2)连结FM ，由(1)和已知条件，在等边△CDE 中，
CM ＝DM ，EM ⊥CD ，且EM ＝32CD ＝12
BC ＝EF .
因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM ，
而FM ∩CD ＝M ，∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO .
而FM ∩CD ＝M ，所以EO ⊥平面CDF .
22．如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O
所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ⊥平面CBF ；
(2)设FC 的中点为M ，求证：
OM ∥平面DAF .
【答案】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，
平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，
∴CB ⊥平面ABEF .
∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .
又∵AB 为圆O 的直径，
∴AF ⊥BF .
∴AF ⊥平面CBF .
(2)设DF 的中点为N ，连结MN 、AN ，
则MN 綊12CD .又AO 綊12CD ，则MN 綊AO .
∴四边形MNAO 为平行四边形．
∴OM ∥AN .又∵AN ⊂平面DAF ，
OM ⊄平面DAF ，
∴OM ∥平面DAF .。