第三章不等式基础大题20道

第三章不等式基础大题20道
一、解答题
1．解下列不等式
（1）314x -+<
（2）()()2340x x --<
2．已知23(6)6y x a a x =-+-+.
（1）当1x =时，求关于a 的不等式大于0的解集；
（2）若不等式23(6)6x a a x b -+-+>的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值.
3．（1）已知平面向量()1,a x =，()23,b x x =+-，若a 与b 垂直，求x ；
（2）求关于x 的不等式(1)()0x x a -->的解集．
4．已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}2x >.
（1）求a ；
（2）解不等式()2
220ax ac x c -++<. 5．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；
（2）已知,0a b ab >>，求证：
11a b
<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d >. 6．已知不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤.
（1）求实数a ，b 的值；
（2）解关于x 的不等式：()()0x c ax b -->（c 为常数，且2c ≠）.
7．已知1y x x
=+. （1）已知x ＞0，求y 的最小值；
（2）已知x ＜0，求y 的最大值．
8．解下列关于x 的不等式：
（1）2(1)10ax a x -++<.
（2）221
ax x +≥+. 9．（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求128a b
+的最小值．
（2）已知,a b 是正数，且满足1a b +=，求14a b
+的最小值． 10．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.
（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
11．已知x 、y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +
有最小值；
（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214
S . 12．已知不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，
（1）画出不等式组所表示的平面区域（要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分）；
（2）求平面区域的面积．
13．已知不等式2364ax x -+>的解集为{
1x x <或}x b >．
（1）求a ，b ；
（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<． 14
．设1a ≈21
111a a =++． （1
介于1a 与2a 之间；
（2）判断1a ，2a
，并说明理由．
15．已知A ={m |a ≤m ≤b }，B ={m |2m +4m +3≤0}，A =B
（1）求实数a ，b 的值；
（2）若实数x ，y 满足10220240x y x y x y -+>⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩
，试作出不等式组表示的平面区域，并求t =x b x a ++的取值范围.
16．已知函数()9()33
f x x x x =+>-. （1）求函数()f x 的最小值；
（2）若不等式2()7f x t t ≥++恒成立，求实数t 的范围.
17．若二次函数()f x 满足()1()2f x f x x +-=，且()02f =.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若不等式2()0f x mx mx -+>对于x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.
18．已知函数()()2
2f x x a b x a =-++． （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}12x x <<，求a ，b 的值；
（2）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x >．
19．设二次函数2()3f x ax bx =++.
（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；
（2）若(1)4f =，0a >，0b >，求49a b
+的最小值． 20．目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前()*n n ∈N 年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元．
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．
参考答案
1．（1）{}06x x <<；（2）{4x x >或32x ⎫<
⎬⎭. 【分析】
（1）先将不等式化为33x -<，进而可求出结果；
（2）先将不等式化为()()2340x x -->，求解即可得出结果.
【详解】
（1）由314x -+<得33x -<，所以333x -<-<，则06x <<， 所以原不等式的解集为{}06x x <<；
（2）由()()2340x x --<得()()2340x x -->，解得4x >或32x <
， 所以原不等式的解集为{4x x >或32x ⎫<⎬⎭
. 2．（1
）(3-+；（2
）33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩
【分析】
（1）当1x =时，得2630a a -++>，解此不等式即可；
（2）由题意可知1,3-是方程2
3(6)60x a a x b --+-=的两根，再利用根与系数的关系可得(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩
，从而可求出a ，b 的值. 【详解】
（1）当1x =时，263y a a =-++.
∴不等式为2630a a -++>
，解得33a -<<+
∴
所求不等式的解集为(3-+.
（2）∵23(6)6x a a x b -+-+>，
∴23(6)60x a a x b --+-<，
∴1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根， ∴(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩
，解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩3．（1）3x =或1x =-；（2）分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）由向量垂直的坐标表示，计算即可得出结果；
（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集．
【详解】
（1）∵a b ⊥，∴()2
230x x +-=，2230x x --= ∴3x =或1x =-．
（2）①1a >时解集()(),1,a -∞⋃+∞，
②1a =时解集{|x x R ∈且}1x ≠
③1a <时解集()(),1,a -∞⋃+∞．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示、一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属基础题.
4．（1）a ＝1；（2）当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，当2c =时，不等式的解集为∅，当2c <时，不等式的解集为{}
2x c x <<
【分析】
（1）由已知可知1x =或2x =是方程2320ax x -+=的根，把根代入方程中可求出a 的值； （2）由（1）可知不等不等式化为()2220x c x c -++<，然后分2>c ，2c =和2c <求解即可
【详解】
解：（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}2x >，
所以1x =或2x =是方程2320ax x -+=的根，
所以320a -+=，解得1a =
（2）由（1）可知不等式化为()2
220x c x c -++<， 即()(2)0x c x --<
当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，
当2c =时，不等式的解集为∅，
当2c <时，不等式的解集为{}
2x c x <<
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 c d ->-, 再用同向可加性法则即可得出结果. （2）根据正数的倒数大于0可得
10ab
>,再用同向同正可乘性得出结果. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d >>,再用同向同正可乘性得出结果. 【详解】
证明：（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.
则a c b d ->-.
（2）因为0ab >，所以
10ab
>. 又因为a b >，所以 1a b ab ab
1⋅
>⋅， 即11b a >，因此11a b <. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得
110c d
>>. 又因为0a b >>，
则 11a b c d
⋅>⋅，
即a b c d
>. 【点睛】
本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.
6．（1）1a =，2b =；（2）当2>c 时解集为{|x x c >或2}x <；当2c <时解集为{|2x x >或}x c <.
【分析】
（1）不等式2320x x -+≤的解集为{}|12x x ≤≤，即得解；
（2）不等式为()(2)0x c x -->，再对c 分类讨论得解.
【详解】
（1）不等式2320x x -+≤的解集为{}|12x x ≤≤，
因为不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤，
所以1a =，2b =.
（2）由（1）可知：不等式为()(2)0x c x -->， c 为常数，且2c ≠，
∴当2>c 时解集为{|x x c >或2}x <；
当2c <时解集为{|2x x >或}x c <.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．（1）2；（2）－2.
【分析】
（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+
⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可 【详解】
（1）因为x ＞0，所以12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即x ＝1时等号成立．
所以y 的最小值为2.
（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x
-=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
8．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）对不等式因式分解，对a 分成0,0,01,1,1a a a a a <=<<=>等五种情况，根据一元二次不等式对应一元二次方程的根的情况，求得不等式的解集.
（2）将原不等式转化为右边为零的形式，对a 分成2,2,2a a a >=<三种情况，由此求得不等式的解集.
【详解】
（1）(1)(1)0ax x --<.当0a <时，不等式的解集为1|x x a ⎧
<⎨⎩，或1x ⎫>⎬⎭
；当0a =时，不等式的解集为{}|1x x >；当01a <<时，不等式的解集为1|1x x a ⎧
⎫<<
⎨⎬⎩⎭；当1a =时，不等式的解集为∅；当1a >时，不等式的解集为1|1x x a ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
. （2）(2)01
a x x -+.当2a >时，不等式的解集为{|1x x <-，或}0x ≥；当2a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-；当2a <时，不等式的解集{}|10x x -<≤.
【点睛】
本小题主要考查含有参数的一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
9．（1）14
；（2）9. 【分析】
（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出128a b +
的最小值； （2）将代数式+a b 与
14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求出14a b +的最小值． 【详解】
（1）360a b -+=，36a b ∴-=-，
由基本不等式可得31122284
a a
b b -+=+≥===， 当且仅当336a b a b =-⎧⎨-=-⎩，即当31
a b =-⎧⎨=⎩时，等号成立，所以，128a b +的最小值为14； （2）由基本不等式可得
(
)14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当410,0a b b a a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，即当1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以，14a b +的最小值为9. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．
10．（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<
【分析】
（1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.
【详解】
（1）若1m =，()()
22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，
所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，
232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，
所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.
（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，
当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；
当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809
m ≤<
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用基本不等式可证明出结论成立；
（2）利用基本不等式可证明出结论成立.
【详解】
因为x 、y 都是正数，所以
2
x y +≥
（1）当积xy 等于定值P 时，2x y +≥=x y +≥，
当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，和x y +有最小值；
（2）当和x y +等于定值S 22x y S +≤
=，所以214
xy S ≤， 当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，积xy 有最大值214S . 【点睛】
本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.
12．（1）见解析（2）
43
【分析】
（1）画出每一个二元一次不等式所表示的平面区域，然后取公共部分.
（2）根据（1）分别求得三角形三个顶点的坐标，然后用三角形的面积公式求解.
（1）不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，
所表示的平面区域，如图所示：
（2）由034
x x y =⎧⎨+=⎩，解得40,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由034
x x y =⎧⎨+=⎩，解得()0,4C .
由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解得()1,1B . 所以平面区域的面积14441233S ⎛⎫=
-⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组与可行域，还考查数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
13．（1）1a =，2b =；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；
（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.
（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{
1x x <或}x b >，
所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1． 由根与系数的关系，得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
， 解得12a b =⎧⎨=⎩
； （2）原不等式化为：
2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，
①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，
②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<，
③当2c =时，不等式的解集为∅．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
14．（1）证明见解析；（2）2a
【分析】
（1
）只要证明
)120a a <即可；
（2
）用a -a
与1的大小即可． 【详解】
（1）证：
∵
)12a a
)11111a a ⎫=-⎪+
⎭(
)211101a a =<+，
介于1a ，2a 之间；
（2）解：∵1122122
1
a a -=>--， 1222a a ∴->-，
2a ∴更接近于2．
【点睛】
本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．
15．（1）3,1a b =-=- ；（2）作图见解析；t 的取值范围为[12-
，1]. 【分析】
（1）解出集合B ，由A =B ，可求出答案.
(2)由条件作出可行域，又t =
13
x x --表示区域内任一点(x ，y )与M 点（3，1)连线的斜率，由可行域结合图形可求解.
【详解】
解：（1)由2m +4m +3≤0得31m -≤≤-，故{}|31B x m =-≤≤-
又A ={m |a ≤m ≤b }，A =B ，
∴3,1a b =-=-
（2）不等式组表示的平面区域如图中阴影所示
由10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩
，可得()1,2B 由220240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
，可得()2,0A t =13
x x --表示区域内任一点(x ，y )与M 点（3，1)连线的斜率，
112
MA MB k k ==-， 故由图形可知12-≤t ≤1，即t 的取值范围为[12
-，1] 16．（1）9；（2）21t -≤≤.
【分析】
（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；
（2）根据（1）的结果，将不等式化为2min ()7f x t t ≥++，解对应的一元二次不等式，即
可得出结果.
【详解】
（1）因为3x >，所以99()333933f x x x x x =+
=-++≥=--， 当且仅当933
x x -=-，即6x =时，等号成立； 即函数()f x 的最小值为9；
（2）为使不等式2()7f x t t ≥++恒成立，只需2min ()7f x t t ≥++，
由（1）知297t t ≥++，解得21t -≤≤，
即实数t 的范围为21t -≤≤.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．（1）2()2f x x x =-+；（2）(]
7,1-. 【分析】
（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠，由()02f =，求出c ，即可求出()1f x +，再根据()1()2f x f x x +-=，计算可得；
（2）依题意2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨
论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可；
【详解】
解：（1）设()2
()0f x ax bx c a =++≠， ∵()02f =，∴2c =，∴2()2f x ax bx =++.
∵()()12f x f x x +-=，
∴22ax a b x ++=，
∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩
， ∴2
()2f x x x =-+.
（2）2()0f x mx mx -+>即2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立， 当1m =时，20>恒成立，
当1m ≠时，则210(1)8(1)0
m m m ->⎧⎨∆=---<⎩，解得71m -<<. 综上：m 的取值范围为(]7,1-.
【点睛】
求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f (x )与1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
18．（1）12a b =⎧⎨
=⎩
；（2）答案见解析. 【分析】
（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得结果；
（2）分别在2a <、2a =和2a >三种情况下，解一元二次不等式求得结果.
【详解】
（1）()0f x <的解集为{}12x x <<，∴方程()220x a b x a -++=的两根为1和2，
由韦达定理知：12212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩
. （2）当2b =时，()()()()2
2220f x x a x a x a x =-++=-->， 当2a <时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞；
当2a =时，()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞；
当2a >时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞．
19．（1）1,2a b =-=；（2）25.
【分析】
（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系运算即可得解；
（2）转化条件为1a b +=，
()
()49494913b a a b a b a b a b +=++=++，再由基本不等式即可得解.
【详解】
解：（1）因为不等式()0f x >的解集为(1,3)-，
所以-1和3是方程()0f x =的两个实根，且0a <， 由根与系数的关系，得13,313,b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩
解得12a b =-⎧⎨=⎩
（2）由(1)4f =，得34a b ++=，即1a b +=，
又0a >，0b >， 所以()
(
)494949131325b a a b a b a b a b +=++=++≥+=
当且仅当1,49,a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩即2,535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立． 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20．（1）第2年；（2）方案二较为合理，理由见详解.
【分析】
（1）先设()f n 为前n 年的总盈利额，由题中条件得出()f n ，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.
【详解】
（1）设()f n 为前n 年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得()()
()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---， 由()0f n >得19n <<，又*n ∈N ，
所以该设备从第2年开始实现总盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额()()22
1009010516010f n n n n +-=--+=-，
当5n =时，()f n 取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元； 方案二：由（1）可得，平均盈利额为(
)21009091010010020401n n n f n n n n +-⎛⎫=-++≤-⎪-== ⎝
⎭， 当且仅当9n n
=，即3n =时，等号成立；即3n =时，平均盈利额最大，此时()120f n =，
+=万元；
此时处理掉设备，总利润为12060180
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。