(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 文 苏教版

跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝
mA→B＋121A→C，则实数
m
3 的值为__1_1___.
答案
解析
题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝ _－__1_33_，__－__43__.
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6.在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且C→D＝2D→B，C→D＝rA→B＋sA→C，则 r＋s ＝___0___.
答案 解析
因为C→D＝2D→B，所以C→D＝23C→B＝23(A→B－A→C)＝23A→B－23A→C，则 r＋s ＝23＋－23＝0.
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝
，| |＝
3.平面向量共线的坐标表示
x1y2－x2y1＝0
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (a≠0)，如果a∥b，那么
；
反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
知识拓展
1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔ xx12＝yy12 .
①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
答案 解析
④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
2.(教材改编)给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
a∵－m2ab＋＝n(b2，与3a)－－(2－b 2共，线4)，＝∴(42，m4－－1n)＝. 3m－＋12n， 即 n－2m＝12m＋8n，∴mn ＝－12.
5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则 (1，5)
顶点D的坐标为_______.
答案 解析
∴c＝12a－32b.
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5.已知
A(7，1)，B(1，4)，直线
y＝12ax
与线段
AB
交于点
→→ C，且AC＝2CB，
则实数 a＝___2__. 答案 解析
设C(x，y)，则A→C＝(x－7，y－1)，C→B＝(1－x，4－y)，
∵A→C＝2C→B，∴xy－ －71＝ ＝2214－ －xy， ， 解得xy＝＝33，. ∴C(3，3).又∵C 在直线 y＝12ax 上， ∴3＝12a·3，∴a＝2.
由题意得a＋2b＝(x＋4，1＋2y)＝(5，－3)，
所以x1＋＋42＝y＝5－ ，3，
解得xy＝ ＝－ 1，2，
所以x＋y＝－1.
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→ 2.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN ＝－3a，则点N的坐标为
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量； 3
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.
答案 解析
其由中向正量确坐说标法的的定个义数不是难__看__出. 一个坐标可对应无数个相等的向量，故 ③错误.
3.(2015·课标全国Ⅰ)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－4，－3)， 则向量B→C＝_(_－__7_，__－__4_)_.
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.平面向量基本定理
不共线
如果e1，有e2是且同只一有平面内的两个
向量λ1，e1＋那λ么2e对2 于这一平面内的任意
向量a，
一对实数λ1，λ2，使a＝
.
基底
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组
xx12＝yy12 ×
√
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成Fra bibliotek.( )
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
考点自测
1.(教材改编)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则 ①③
下列说法中正确的有______.(填序号)
方法三 因为a∥(2a＋b)，所以a∥b，所以4＝2m，即m＝2.
4.已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c＝_12_a_－__32_b_.(用a，b表示)
答案 解析
设c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，
∴2－＝1λ＝－λμ＋，μ，
∴λ＝12， μ＝－32，
又B→C＝2A→D，∴34＝＝22xy，－2，
x＝2， ∴y＝27.
题型三 向量共线的坐标表示 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例(33，3已) 知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为 __答_案____.解析
命题点2 利用向量共线求参数
答案 解析
A→B＝(3，1)，A→C＝(－4，－3)，B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1) ＝(－7，－4).
4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则
m＝ n
_－__12__.
答案 解析
由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，
方法一 由题意得a＝(1，2)，2a＋b＝(2＋m，8)，
因为a∥(2a＋b)，所以1×8－(2＋m)×2＝0，故m＝2.
方法二 因为a∥(2a＋b)，所以存在实数λ，
使得λa＝2a＋b，即(λ－2)a＝b，
所以(λ－2，2λ－4)＝(m，4)，所以λ－2＝m且2λ－4＝4，得λ＝4，m＝2.
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答案 解析
由已知3c＝－a＋2b ＝(－5，2)＋(－8，－6)＝(－13，－4). 所以 c＝－133，－43.
(2)(2016·盐城模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，则2a－b
(4，－8) ＝_________.
答案 解析
因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，
所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，
所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8).
思维升华
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则.
跟踪训练2 (1)(2016·江苏宿迁三校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位
跟踪训练3 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__(2_，__4_)__.
答案 解析
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴D→C＝2A→B.
设点D的坐标为(x，y)，则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ×
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) √
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)平面向量的基底不唯一√，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都
可被这组基底唯一表示.( )
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时， 利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解 题比较方便. (2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共 线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ 的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
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7.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，A→B＝(2，4)，A→C＝(1，3)，则向量B→D 的坐标为_(_－__3_，__－__5_) .
答案 解析
∵A→B＋B→C＝A→C，∴B→C＝A→C－A→B＝(－1，－1)， ∴B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝(－3，－5).
(2，0) ________.
答案 解析
设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)， ∴x＝2，y＝0.
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3.(2016·江苏南京开学测试)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，
2 答案 解析 则实数m的值为____.
答案 解析
(2)(2016·苏锡常镇调研)如图，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，B→G＝
2G→O，设C→D∥A→G，若A→D＝15A→B＋λA→C(λ∈R)，则
λ
6 的值为__5__.
答案 解析
思维升华
平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该 基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
y∈R，求 x＋y 的最大值. 思想方法指导 规范解答
建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向 量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数 特征.
课时作业
1.(2016·江苏苏州暑期测试)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋
－1 2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.
答案 解析
置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则
λ μ
4 ＝______.
答案
解析
(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝ 2A→D，则顶点 D 的坐标为__(2_，__72_)__.
答案 解析
设 D(x，y)，A→D＝(x，y－2)，B→C＝(4，3)，
设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
即41＝ ＝56－ －xy， ， 解得xy＝ ＝15， .
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 (1)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的 中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若A→C＝a，B→D＝b，则A→F＝_23_a_＋__13_b_.
1
例4
(2016·常州模拟)已知向量a＝(1－sin 45°
θ，1)，b＝( 2 ，1＋sin
θ)，若
a∥答b案，则解锐析角θ＝_____.
由 a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12， 所以 cos2θ＝12，∴cos θ＝ 22或 cos θ＝－ 22，
又θ为锐角，∴θ＝45°.
思维升华
原点，若 A，B，C 三点共线，则1a＋1b的最小值为_3_＋__22__2__.
答案 解析
思想与方法系列 11
解析法(坐标法)在向量中的应用
典例 (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量O→A和O→B，它们的夹角为23π.
如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 A B 上运动.若O→C＝xO→A＋yO→B，其中 x，
.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1(，x1＋y1)x，2，b＝y1＋(x2y，2) y2)，则 (x1－x2，y1－y2)
a＋b＝(λx1，λy1)
，x21a＋－yb21 ＝
，
λa＝
，|a|＝
.
(2)向量坐标的求法
→ AB
(x2－x1，y2－y1)
→ AB
x2－x12＋y2－y12
A→B＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴42－ －xy＝ ＝2－，2， 解得xy＝ ＝24， ， 故点 D 的坐标为(2，4).
(2)设O→A＝(－2，4)，O→B＝(－a，2)，O→C＝(b，0)，a>0，b>0，O 为坐标