河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题：双曲线

双曲线
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．(2009·安徽高考）下列曲线中离心率为错误!的是（ )
A.x 22
－错误!＝1 B 。

错误!－错误!＝1 C 。

错误!－错误!＝1 D 。

错误!－错误!＝1
解析:双曲线离心率e ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，知错误!＝错误!，只
有B 选项符合,故选B .
答案：B
2．(2009·宁夏/海南高考）双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近
线的距离为 ( ）
A ．2错误!
B ．2
C.错误! D ．1
解析：双曲线错误!－错误!＝1的焦点为（4，0）、（－4，0）．渐近
线方程为y ＝±3x 。

由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝错误!＝2错误!.
答案：A
3．设a>1,则双曲线x 2
a 2－错误!＝1的离心率e 的取值范围是 ( )
A ．（错误!，2)
B ．（错误!,错误!）
C ．(2，5）
D ．(2,错误!）
解析：e ＝错误!＝错误!www.k ＠s@5@u 。

com 高#考#资#源＃网
＝错误!＝错误!。

∵a〉1，∴0<错误!〈1，
∴1〈1＋1
a
<2,
∴2<e〈错误!,故选B.
答案：B
4．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( ）
A。

错误!B．2
C。

5 D。

错误!
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，与抛物线方程联立得x2±错误!x＋1＝0，Δ＝错误!2－4＝0⇒b2＝4a2,
∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2,e＝错误!。

故选C.
答案：C
5．已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的一条渐近线为y＝kx （k〉0）,离心率e＝错误!k，则双曲线方程为( ）
A.错误!－错误!＝1
B.错误!－错误!＝1
C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1
解析：由题意知,k＝错误!，
∵e＝错误!k＝错误!·错误!,即错误!＝错误!，
∴c＝错误!b，c2＝5b2，∴a2＝c2－b2＝4b2。

故选C.
答案:C
6．双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的两个焦点为F1、F2，若P 为其上一点，且|PF1｜＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）
A．（1,3) B．（1，3]
C．（3,＋∞)D．[3，＋∞)
解析：∵｜PF1｜－｜PF2｜＝|PF2｜＝2a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴有c－a≤2a，∴1〈e≤3，故选B。

答案:B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知双曲线的右焦点为(5,0）,一条渐近线方程为2x－y＝0，则双曲线的标准方程为__________．
解析：据题意由c＝5，错误!＝2，a2＋b2＝c2⇒a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为错误!－错误!＝1.
答案：错误!－错误!＝1
8．已知P是双曲线错误!－错误!＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0。

设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2｜＝3,则|PF1|＝________.
解析：∵双曲线x2
a2
－错误!＝1的渐近线方程为3x－y＝0，∴a＝1，
又P是双曲线的右支上一点,｜PF2｜＝3,|PF1｜－|PF2|＝2,|PF1|＝5。

答案：5
9．(2009·湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
图1
解析:如图1，∵c〉b，∴∠B1F1B2＝60°,∠B1F1O＝30°，在△B1OF1中,错误!＝tan30°，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴1－错误!＝错误!
⇒a2
c2
＝
2
3
，∴e2＝错误!＝错误!，∴e＝错误!.
答案:错误!
10．(2009·东北三校）已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）
的离心率的取值范围是e∈[错误!，2］，则两渐近线夹角的取值范围是__________．
解析:e2∈[错误!，4]，∴错误!≤错误!≤4，∴错误!≤错误!≤错误!，设夹角为α,可得错误!≤错误!≤错误!，∵α≤错误!，∴错误!≤α≤错误!.
答案：［错误!，错误!] www。

k＠s@5@ 高#考#资＃源＃网
三、解答题（共50分)
11．(15分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
（1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
｜PF1｜·｜PF2｜＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得x2
9
－错误!＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
焦点坐标F1(－5，0)，F2(5,0），离心率e＝错误!，渐近线方程为y ＝±错误!x.
（2)||PF1|－｜PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝错误!
＝错误!
＝错误!＝0。

∴∠F1PF2＝90°.
12．（15分）设x，y∈R，i、j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量,若向量a＝x i＋(y＋2)j，b＝x i＋(y－2)j，且|a|－｜b｜＝2错误!。

（1）求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2）已知直线l过点A(错误!，0），斜率为k（0<k〈1)时，若轨迹C上有且仅有一点B到直线l的距离为错误!，试求k的值．解：（1)由｜a｜－|b｜＝2错误!以及a＝x i＋（y＋2)j,b＝x i＋(y－2)j 知M（x，y）到点(0，－2）和(0,2)的距离之差为常数2错误!，所以，M(x，y)的轨迹为以（0，－2）和(0，2)为焦点,实轴长为2错误!的双曲线的上支,其方程为错误!－错误!＝1（y>0）．
(2）显然,直线l的方程为y＝k(x－错误!），与直线l平行且距离为错误!的直线为l′：y＝kx＋d，则由错误!＝错误!可求得d＝错误!－错误!k。

所以，l′的方程为y＝kx＋2k2＋2－错误!k。

由于l′与C的渐近线不平行，因此,根据题设可知,直线l′与双曲线C相切．将直线l′的方程代入双曲线C的方程错误!－错误!＝1，有（kx＋错误!－错误!k）2－x2＝2，即
(k2－1）x2＋2(2k2＋2－错误!k)kx＋(错误!－错误!k）2－2＝0。

由错误!
可以解得k＝错误!.
图2
13．（20分)已知M(－2，0），N（2,0)两点，动点P在y轴上的射影为H，且使错误!·错误!与错误!·错误!分别是公比为2的等比数列的第三、四项．
(1）求动点P的轨迹C的方程；www.k＠s@5@u。

com 高#考#资＃源#网
（2)已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方
两个不同的点A、
．．．
B，设R为AB的中点,若过点R与定点Q（0，－2）的直线交x轴于点D（x0,0)，求x0的取值范围．
解：（1)M(－2，0），N（2，0)，设动点P的坐标为(x,y)，所以H(0，y），所以错误!＝（－x,0）,错误!＝（－2－x，－y),错误!＝(2－x,y），错误!·错误!＝x2，错误!·错误!＝－（4－x）2＋y2由条件得y2－x2＝4,又因为是等比，所以x2≠0,所求动点的轨迹方程y2－x2＝4(x≠0)．
(2）设直线l的方程为y＝k（x－2)，A(x1，y1）,B（x2，y2),联立方程得错误!
∴错误!y2－错误!y－8＝0.
∴y1＋y2＝错误!，y1·y2＝－错误!.
∴错误!解得：错误!〈k<1,
R错误!，k RQ＝错误!。

直线RQ的方程为y＋2＝错误!x，
∴x0＝错误!＝错误!,
∴2<x0<2＋22。

错误!
www.k＠s@5@ 高＃考＃资#源＃网
w.w。

w。

k.s。

5。

u.c.o.m。