余弦函数的图像与性质-教学设计

余弦函数的图像与性质
【教学目标】
1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.
2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.
3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.
1
4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.
【知识梳理】
问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:
余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向
平移个单位长度得到(如
2
图).
(2)五点法:
余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为 .
问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间
(1)定义域为;(2)值域
为;(3)单调增区间
3
为,减区间为 .
问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心
(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为
(4)对称中心为 .
问题4:余弦函数的复合函数
4
f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;
(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;
(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当
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ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x 属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)
【典型例题】
要点一余弦函数的图像及应用
例1画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
6
7
(1)y ≥12
时x 的集合； (2)－12≤y ≤32
时x 的集合． 解：用“五点法”作出y ＝cos x 的简图
(1)过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫0，12点作x 轴的平行线，从
图像中看出：在[－π，π]区间与余
8 弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫－π3，12，⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫π3，12点，在[－π，π]区间内，y ≥12时，x
的集
合为⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬⎪⎫x |－π3≤x ≤π3.
当x ∈R 时，若y ≥12，
则x 的集合
为
9
错误!
(2)过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫0，32点分别作x
轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫－2π3＋2k π，－12，k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫2π3＋2k π，－12，k ∈Z 点和
10 ⎝
⎛⎭⎪⎪⎪⎫－π6＋2k π，32，k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫π6＋2k π，32)，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－
12≤y ≤3
2时x 的集合为：
错误!.
规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．
跟踪演练1求函数f(x)＝lg cos x ＋25－x2的定义域．
解由题意，x满足不等式组
11
12
⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos x >025－x 2≥0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－5≤x ≤5cos x >0，作
出y ＝cos x 的图像． 结合图像可得：
x ∈
⎣⎢⎢⎢
⎡⎭
⎪⎪⎪⎫
－5，－32π∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
－π2，π2∪
⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎥⎤
32π，5.
要点二：余弦函数单调性的应用
例2求函数y＝log (cos 2x)的增区间．
解：由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋π2，
k∈Z.
13
14
∴k π<x <k π＋π
4
，k ∈Z.
∴y ＝log 1
2
(cos 2x )的增区间为
⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
k π，k π＋π4，k ∈Z. 规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的
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角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪演练2：比较下列各组数的大小． (1)－sin 46°与cos 221°；
(2)cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫
－235π与cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫
－174π. 解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
16
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°， ∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.
(2)cos
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫－235π＝cos
235
π＝
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，
17
cos
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫－174π＝cos
174
π＝
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3
5π<π，且y ＝cos x 在[0，
π]上递减，
∴cos 3
5π<cos π
4
，即
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫－235π
18
<cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫－174π 要点三：余弦函数值域(最值) 例3：求下列函数的值域． (1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝2－sin x 2＋sin x
.
19
解：(1)y ＝－⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝1
4. 当cos x ＝－1时，y min ＝－2. ∴函数y
＝－cos
2x ＋cos x 的值域
20
是⎣⎢⎢
⎢
⎡⎦
⎥⎥⎥⎤
－2，14. (2)y
＝
4－
＋sin
x 2＋sin x
＝
4
2＋sin x
－1.
∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴1
3≤1
2＋sin x
≤1，
∴4
3
≤
4
2＋sin x
≤4，
∴1
3
≤
4
2＋sin x－1≤3，即
1
3
≤y≤3.
∴函数y＝2－sin x
2＋sin x的值域为
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
1
3，3.
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sin x，cos x的有界性；②sin x，
21
cos x的单调性；③化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)
利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．
跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1)
22
解：y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x ＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋π2，k
∈Z时，y max＝4；
当sin x＝－1时，即x＝2kπ－π2，
23
24
k ∈Z 时，y min ＝－4.
所以y max ＝4，此时x 的取值集合是
⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；
y min ＝－4，此时x 的取值集合是
25 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z . 一、选择题
1．函数
y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是(
) A ．[－1,1] B ．[1
2，1]
C．[0，1
2
]D．[－1,0]
[答案] B
[解析]∵函数y＝cos x在[0，π3 ]
上是减函数，
∴函数的值域为[cos π
3，cos0]，即
26
27
[12
，1]． 2．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为( )
A ．2
B ．0
C ．－1
4 D ．6
[答案] B
28 [解析] y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫cos x －322－14，当cos x ＝1时，y 最小＝0.
3．函数y ＝cos x ＋|cos x |
，
x ∈[0,2π]的大致图像为( )
[答案] D
[解析] y ＝cos x ＋|cos x | ＝
错误!，故选D.
4．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()
A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根
[答案] C
29
[解析]在同一坐标系中作函数y ＝|x|及函数y＝cos x的图像，如图所示．
发现有2个交点，所以方程|x|＝cos x有2个根．
5．已知函数f(x)＝sin(πx－π
2
)－1，
则下列命题正确的是()
30
A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数[答案] B
[解析]由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，
31
再f(x)＝sin(πx－π
2
)－1＝－
cosπx－1，
∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．
6．函数y＝
cos x
3＋cos x的定义域是
()
32
A．R
B．{x|x≠2kπ，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}
D．{x|x≠kπ
2，k∈Z}
[答案] A
[解析]要使函数有意义，则需3＋cos x>0，
33
又因为－1≤cos x≤1，显然3＋cos x>0，所以x∈R.
二、填空题
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是______________．
[答案](－π，0]
[解析]∵y＝cos x在[－π，0]上是
34
35
增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]．
8．比较大小：cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
－4710π________cos(－44
9π)．
[答案] >
36
[解析] cos
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪⎫－4710π＝
cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎪⎫
－5π＋310π＝－cos 310π，cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎪⎫－449π＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪⎫
－5π＋π9＝－cos π9
，由y ＝cos x 在[0，π]上是单
37
调递减的，所以cos 3
10π<cos π
9，
所以
cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4710>cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫
－449π. 三、解答题
9．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－1
2，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．
[解析](1)当b>0时，若sin x＝
－1，f(x)max＝3 2；
若sin x＝1，f(x)min＝－1
2，
38
39
即
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎧
a ＋
b ＝32，a －b ＝－12.
解得
⎩
⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎧
a ＝12，
b ＝1.
此时b＝1>0符合题意，所以y＝1
－1
2
cos x.
(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)
有最大值3
2，最小值－
1
2矛盾，故b
＝0不成立．
(3)当b<0时，显然有
40
41
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎧
a －
b ＝32，a ＋b ＝－12.
解得⎩
⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎧
a ＝12，
b ＝－1，符合题意．
所以y＝1－1
2
cos(－x)＝1－
1
2
cos x.
综上可知，函数y＝1－1
2
cos x的最
大值为3
2，最小值为
1
2，周期为2π.
一、选择题
1．将下列各式按大小顺序排列，其
42
中正确的是()
A．cos0<cos 1 2
<cos1<cos30°<cosπ
B．cos0<cosπ<cos 1 2
<cos30°<cos1
43
C．cos0>cos 1
2
>cos1>cos30°>c
osπ
D．cos0>cos 1
2
>cos30°>cos1>
cosπ
[答案] D
44
45
[解析] 在[0，π2]上，0<12<π
6<1，
又余弦函数在[0，π
2]上是减少的，
所以cos0>cos 12>cos π
6>cos1>0.
又
cos π<0，
所
以
cos0>cos 1
2>cos π
6
>cos1>cos π.
2．函数f(x)＝－x cos x的部分图像是()
[答案] D
[解析]由f(x)＝－x cos x是奇函
数，可排除A，C.令x＝π
4，则f(
π
4
)
＝－π
4
cos
π
4＝－
2π
8
<0.故答案选
46
47
D. 二、填空题
3．若cos x ＝2m －1
3m ＋2
，且x ∈R ，则
m 的取值范围是________．
[答案]
(－∞，－3]∪⎣⎢⎢
⎢⎡⎭⎪⎪⎪
⎫－15，＋∞ [解析]
∵⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
2m －13m ＋2＝|cos x |≤1，
48
∴|2m －1|≤|3m ＋2|. ∴(2m
－1)2≤(3
m
＋2)2.∴
m ≤－3，
或m ≥－1
5
. ∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎢
⎢⎡⎭
⎪⎪⎪
⎫－15，＋∞. 4．设f (x )的定义域为R ，最小正周
49
期为
3π2
.若
f (x )
＝
⎩⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪⎪⎧
cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫－π2≤x <0，sin x
x <π，则
f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫
－154π＝________.
50
[答案] 2
2
[解析] ∵T ＝
3π2
，∴kT ＝k ·
3π2
(k
∈Z)都是y ＝f (x )的周期，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎪⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎥
⎤
－
3π2＋3π4＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎪
⎫3π4。