考虑三维波纹度影响的深沟球轴承振动噪声计算方法研究

√(∑ )
δi, j
=
eδ,i ε2E
3
√(∑
ρi
)Q2j
δo, j = eδ,oε2E 3
ρo Q2j
(1)
其 的
中 参
： eδ 数，
为接触曲率函数的参数 当均为钢材时，取 εE = 1
，。εE∑为ρ
与 为
材 接
料 触
有 体
关 主
曲率之和。在方位角 φj 处套圈位移量与滚动体接触
变形量间的关系如式（2）所示：
δo, j + δi, j = δr, j − Pe/2
(2)
其中 Pe 为轴承的游隙。根据受力平衡条件，内圈与
滚动体之间的接触载荷分别在竖直与水平方向与所
受到的外加载荷相互平衡：
∑Nb
Qj cos φj = F
(3)
j=1
∑Nb
Qj sin φj = 0
(4)
j=1
其中 Q 为接触载荷，由式 (1) 可得：
φj 处套圈位移量与各滚动体接触变形量的关系为：
δo, j + δi, j = δr, j + ∆hi − ∆ho − Pe/2
(10)
其中： ∆hi 为接触点处内圈波纹度幅值； ∆ho 为接触 点处外圈波纹度幅值。
如图 4 所示，Q″为滚动体与内外圈的接触载荷
在 Z 向的分量，有 Q″=Qjsin β，其中 β 为滚动体与内
∑Z
(Qj cos βj sin φj) = 0
(12)
j=1
Y Z
Q3′′
Q3 Q3′ β3
XO
Qj′′
Qj
βj
Qj′
Q2′′
Q1′′ β1
β2 Q2 Q2′
Q1′ Q1 (a) Bearing force in 3D view
Y
O
X3
Q3′
Fr
Nb Qz′
2
1
Q2′
Q1′ (b) Bearing force in X-Y plane
中图分类号：TH133.33+1
文献标志码：A
深沟球轴承的波纹度误差是造成轴承振动继 而产生噪声的重要因素，轴承的滚道波纹度具有空 间三维性质。但长期以来对轴承波纹度引起的振动 噪声问题一般都是简化成一维形式，无法实现精确 计算。
Yhland[1] 以外部激振力的形式来描述轴承波纹 度的影响，并研究了轴承的线性振动问题。Aktürk[2] 研究了内圈、外圈以及滚动体波纹度对轴承振动的 影响，分析了波纹度数目与振动频率之间的关系。 Harsha 等[3] 研究了由轴承波纹度所导致的轴承非线 性振动问题，发现当滚动体数目与外圈波纹度数目 相同时轴承振动加剧。Sopanen 等[4] 综合考虑了波 纹度和弹流润滑的影响，建立了深沟球轴承的六自 由度模型。Lynagh 等[5] 通过理论和实验对滚动体尺 寸误差、滚动体和内外圈滚道波纹度误差导致的轴 承和转轴振动进行了研究。
滚动体在滚道内旋转，其与滚道所接触的轮廓 随时间不断发生改变。在轴承旋转的任意时刻 t，滚 动体的上下表面与其接触的轴承内外圈表面可由一 组函数来描述：
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华 东 理 工 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
第 47 卷
y1 = yo + ∆ho(ωbt, α) sin α+ √
ro2 − [z − ∆ho(ωbt, α) cos α]2
Qj′ Qj Qj′′
βj O′bj
Qj′′ Qj Qj′
图 4 波纹度影响下滚子受力平衡条件 Fig. 4 Balance condition of balls under waviness
3
Qj
=
√∑δi, j
e3 δ,i
ρi
+ δo, j√∑
+ eδ,o 3
ρo
2
(5)
通过式 (2)、(3)、(4)、(5) 可以求得理想情况下各 滚动体的接触载荷 Q 的大小，同时也可以确定内圈 的径向位移 δr 。
1.2 考虑滚道波纹度误差时的力学分析
本文通过自相关函数法可以得到三维的随机波
纹度表面。根据文献 [14] 取指数型自相关函数：
触点 Z 向的坐标 zib 、 zob 与滚动体中心坐标 zb 相互对 称，如式 (8) 所示时受力才平衡。通过不断改变 zb 的 取值从而找到一组满足式 (9) 约束条件的可行解，即
可求出滚动体发生偏离时的接触点坐标。
zib − zb = zb − zob
(9)
考虑接触点处内外圈滚道波纹度误差，在方位角
of East China University of Science and Technology, 2021, 47(4): 494-503.
第4期
孙敏杰，等：考虑三维波纹度影响的深沟球轴承振动噪声计算方法研究
495
型，在径向力 Fr 的作用下，滚动体和内外圈滚道相互 接触，产生接触变形。内圈中心由点 O 偏移到了位 置 O′ ，其径向位移 δr 在 X 轴、Y 轴的分量为 δx 、 δy ， 在方位角 φ j 处的套圈位移量（ δr, j ）为： δr, j = δx sin φ j +δy cos φj 。
y2 = yi + ∆hi ((ωb − ωi) t, α) sin α−
√
ri2 − [z − ∆hi ((ωb − ωi) t, α) cos α]2
y+3 y−3
= =
dm 2 dm 2
+ −
√( D )2
√(
2 D
)2
2
− (z − zb)2 − (z − zb)2
(7)
式中： y1 、 y2 分别为与滚动体接触的平面的内外圈
通过文献归纳可以看出，以往研究所建立的波 纹度模型均只反映了轴承表面的一维特性。本文将 通过力学分析，从三维角度构建轴承滚道三维波纹 度模型，结合声学相关理论研究深沟球轴承的振动 噪声问题。
1 计算模型构建
1.1 不考虑滚道波纹度误差时的力学分析 图 1 所示为径向力作用下深沟球轴承力学模
收稿日期： 2020-04-11 作者简介： 孙敏杰（1996—），男，江苏苏州人，硕士生，研究方向为工程摩擦学。E-mail：1178854928@ 通信联系人： 安 琦，E-mail：anqi@ 引用本文： 孙敏杰, 安 琦. 考虑三维波纹度影响的深沟球轴承振动噪声计算方法研究 [J]. 华东理工大学学报（自然科学版）, 2021, 47(4): 494-503. Citation： SUN Minjie, AN Qi. Calculation Method of Radiation Noise for Deep Groove Ball Bearing with Considering 3D Waviness of Raceways[J]. Journal
Y
j φj Fr O
δr O′
z 1
Qz
Q1
3
Q3 X
2 Q2
图 1 深沟球轴承受力模型 Fig. 1 Mechanics analysis of deep groove ball bearing
滚动体与内外套圈接触将会产生弹性接触变
形，由文献 [13] 可知滚动体与内外圈滚道产生的弹
性变形量 δi, j 、 δo, j 分别为：
考虑波纹度影响时深沟球轴承受力模型如图 5 所示。假设轴承内圈受到的滚动体 Z 向载荷分量（ Q′′ ）
由转轴承担，即内圈沿着 Z 向不发生振动，根据轴承
的受力平衡可知，内圈受到滚动体在竖直方向的作
用力与所施加的载荷保持平衡：
∑Z
(Qj cos βj cos φj) = F
(11)
j=1
同理，内圈受到钢球在水平方向的分力相互抵消：
表面轮廓； y+3 、 y−3 为滚动体的上下表面轮廓； ωi 为内
圈的旋转角速度( ； ωb 为滚)动体的转速，根据运动学关
系有：
ωb
=
ωi 2
1−
2D dF + dE
（其中 D 为滚动体的直径，
dF 、 dE 分别为内外圈的沟底直径）；dm 为轴承节圆直
径，即内外沟道沟底直径的平均值。滚动体与离内
Igarashi[6] 通过测量声压发现噪声主要来自于轴 承套圈与保持架。Ananthapadmanaban 等[7] 通过试验 获得了不同加工精度的轴承噪声频谱，并研究了 在滚动和滑动状态下其不同的声学特性。Rho 等[8]
将轴承视为无限长柱体，研究了无外载作用下圆柱 滚子轴承的噪声特性。Ban 等[9] 研究了在径向载荷 作用下轴承油膜波动所产生的声压沿轴承径向的分 布，揭示了声压与径向间隙、润滑油黏度之间的关 系。涂文兵[10] 利用边界元法，建立了轴承-轴承座系 统的振动噪声模型，研究了承载区打滑状态下轴承 的 噪 声 特 性 。 何 磊 等 [11] 采 用 专 门 从 事 噪 声 分 析 的 CAE 软件 Virtual. Lab 9A 对轴承的结构振动噪声进 行了仿真。王培[12] 提出了轴承声振耦合的算法，实 现了对轴承声学特性的预估。
外滚道接触点和竖直平面的夹角，即滚动体与内外 滚道的接触角。当 δi,j + δo,j < 0 时滚动体与内外滚道 未发生接触，接触载荷 Q j = 0 ；当 δi,j + δo,j ⩾ 0 时，滚 动体与内外滚道发生接触， Qj ⩾ 0 。由于滚动体的 轴向运动使得接触载荷与滚道存在一个接触角 βj ， Q′ 为 滚 动 体 接 触 载 荷 Qj 在 径 向 平 面 内 的 分 量 ， 有 Q′j = Q j cos β 。
考虑三维波纹度影响的深沟球轴承振动噪声计算方法研究
孙敏杰， 安 琦 （华东理工大学机械与动力工程学院，上海 200237）
摘要：波纹度误差是影响滚动轴承振动和噪声性能的重要因素。以深沟球轴承为研究对象，
通过自相关函数构建了轴承内外圈滚道三维波纹度模型，通过力学分析建立了内圈轴心及滚动
体中心的运行轨迹的计算方法，并采用相应的声学模型，运用声源复合的方法对轴承的噪声进
Y Z
XO
Partial enlargement for waviness of inner raceway
图 2 轴承滚道表面波纹度示意图 Fig. 2 Surface waviness schematic of bearing raceway
图 3 所示为滚动体轴向位置示意图。由图 3 可 知，Obj 为 j 号滚动体圆心未发生位移时的前球心位 置，O′bj 为发生位移后的前球心位置，ro 为滚道外圈 沟曲率半径，（Y ′, Z ′）为无波纹度存在时外圈滚道表 面点的坐标，（Y, Z）为存在波纹度时该点相对应的坐 标值。当轴承承受径向载荷作用时，由于滚道波纹 度的存在，在中间平面滚动体受力不平衡，必然会向 中间平面的两边发生窜动，当滚动体移动到一定的 轴向位置，使得滚动体所受不平衡力分量相互抵消 时，即为滚动体的实际平衡位置。
外滚道最近的波纹度峰值处首先发生接触，通过
式 (8) 可以确定滚动体与内外圈的 Z 向接触点位置
zib2(zob) =
min min
[ [yy1−3((zz))
− −
y+3 y2
] (z)
] (z)
(8)
初始位置处滚动体的受力未必平衡，只有当其
与内外圈的接触载荷沿着直径方向相互抵消，即接
Middle plane
Δh o
(φ′,
α′)
(Y, Z)
(Y′, Z′)
ro α
Obj yo
O′bj
δbj
Initial position Real position
Y
O
Z
图 3 滚动体轴向位置示意图 Fig. 3 Axial displacement schematic of rolling body
R
(τr ,
τz)
=
∆h2exp
{[ −2.3 (τr
/βr )2
+
(τz/βz)2]1/2}
(6)
式中： ∆h 为波纹度的幅值；τr、τz 为周向和轴向取样 步长，βr、βz 为相关长度。生成的波纹度表面如图 2 所示。
Partial enlargement for waviness of outer raceway
行定量计算。通过具体算例，研究了内圈和滚动体的声辐射特性，发现轴承的噪声辐射在空间
中具有一定的指向性；研究了内圈和滚动体的声压频谱特性，发现其峰值与滚动体通过内外圈
的频率及倍频有关；研究了不同波纹度误差对轴承各组分声压信号的影响，发现声压信号的峰
值和均方根值均随着波纹度误差的增加而近似线性增大。
关键词：深沟球轴承；表面三维波纹度；力学分析；噪声模型；数值计算
华 东 理 工 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
Vol. 47 No. 4
494
Journal of East China University of Science and Technology
2021-08
文章编号：1006-3080(2021)04-0494-10
DOI: 10.14135/ki.1006-3080.20200411005