2020年鼎城一中高二假期高考数学模拟试卷(十)答案

高考数学模拟试题答案解析(十)
1．解析：选B.z ＝|(3－i)i|＋i 2 019＝|1＋3i|－i ＝2－i.∴z ＝2＋i.
2．解析：选B.依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＞0}，M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}， 3．解析：选C.∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y ＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x －y ＝2， 4．解析：选C.依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，b a ＝tan 30°＝33，故22a b ＝13，离心率为e ＝c a ＝2
1⎪⎭
⎫
⎝⎛+a b ＝43＝23
3
，选C. 5．解析：选C.由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×1
2
×4×3×(5－2)＝24，故选C.
6．解析：选C.作出不等式组
⎩⎨⎧
2x ＋y －3≤0
3x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0
表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)，B (－
1,0)，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝3x －2y ＋1＝0得⎩⎨⎧
x ＝1
y ＝1，即C (1,1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0＜－1，
故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1,1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C (1,1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0
＝1＞1
3，故p 3是假命题，排除B ，故选C.
7．解析：选D.①y ＝x sin x 是偶函数；②y ＝x cos x 是奇函数；③当x ＝π时，y ＝πcos π＝－π＜0，∴y ＝x |cos x |是奇函数，且当x ＞0时，y ≥0；④y ＝x ·2x 是非奇非偶函数故图象对应的函数序号为①④②③.
8．解析：选D.∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，∴将函数
f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0对称，对称中心在函数图象上，
∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ
＝k π－
5π6，k ∈Z.∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π6上的最小值是1
2
.故选D.
9．解析：选C.a ＝5，b ＝2，当n ＝1时，a ＝5＋52＝15
2，b ＝4；当n ＝2时，
a ＝152＋154＝454，
b ＝8；当n ＝3时，a ＝454＋458＝1358，b ＝16；当n ＝4时，a ＝
1358＋13516＝40516
，b ＝32；且a ＜b ，则输出的n 等于4. 10．解析：选A.设点P ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛8,200x x ，A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8,211x x ，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8,2
2
2x x ，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎨⎧
x 2＝8y ，y ＝2x －2
得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 三点共线得
102
1
20121888-2x x x x x a x --=-＝
x 0＋x 18，a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)
x 0＋x 2
，ab
＝
x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2
＝x 1x 2＝16，OR →·OQ →
＝ab ＋4＝20，故选A.
11.解析：选B （图见上）.由f (x )≤0得(3x ＋1)e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g (x )＝mx ，h (x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x )＞0得－(3x ＋4)＞0，即x ＜－4
3
，由h ′(x )＜0得
－(3x ＋4)＜0，即x ＞－43，故当x ＝－4
3时，函数h (x )取得极大值．在同一
平面直角坐标系中作出y ＝h (x )，y ＝g (x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g (x )≤h (x )的整数解超过两个，不满足条件；当m ＜0时，要使g (x )≤h (x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎨⎧ h (－2)≥g (－2)h (－3)＜g (－3)，即⎩⎨
⎧
5e －1≥－2m
8e －2＜－3m
，即⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－5
2e m ＜－8
3e 2
，
即－52e ≤m ＜－83e 2，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－5
2e ，－83e 2，故选B.
12 解析：由|a |＝2，|b |＝1可得a 2＝4，b 2＝1，由(a －2b )·(2a ＋b )＝9可得2a 2－3a ·b －2b 2＝9，即2×4－3a ·b －2×1＝9，得a·b ＝－1，故|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 3 13解
2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12
(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)
1＋cos α
＝4sin α. 答案：4sin α
14．解析：∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)OA →＝2OA →·OA →
＝2|OA →|2
＝2×36＝72. 答案：72
15.解析：如图，设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D -ABC ＝2V O -ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt △OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12
＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝4010
3
π.
答案：4010
3
π
16．解：(1)∵c ＝2，C ＝π
3
，
∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，
∴1
2
ab sin C ＝3，∴ab ＝4，(4分) 联立⎩⎨⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4ab ＝4
，解得a ＝2，b ＝2.(7分)
(2)∵sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，∴sin (B ＋A)＋sin (B －A)＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，(9分) ①当cos A ＝0时，A ＝π
2
；(11分)
②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理b ＝2a ， 联立⎩⎨⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，
∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π
6.
综上所述，A ＝π2或A ＝π
6.(15分)
17．解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋
2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×3
2
×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(6分)
(2)由题意，可知b n ＝(－1)n －1
4n a n a n ＋1＝(－1)n －14n
(2n －1)(2n ＋1)
＝(－1)n －
1⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2n －1＋12n ＋1.(9分) 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3＋12n －1－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1；(12分)
当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.
所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋2
2n ＋1，n 为奇数，
2n
2n ＋1，n 为偶数.
(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －1
2n ＋1
)(15分)
18．解：(1)解法一：∵连接AC ，∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，∠EAB ＝90°，∴AE ⊥AB ，(2分)
又平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AE ⊥BD .(4分)
∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又AE ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，故BD ⊥EC .(7分)
解法二：因为底面ABFE 为直角梯形，AE ∥BF ，∠EAB ＝90°，所以AE ⊥AB ，BF ⊥AB .
因为平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥BC .(3分)
设AE ＝t ，以BA ，BF ，BC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (0,0,1)，D (1,0,1)，E (1，t,0)，故DB →＝(－1,0，－1)，EC →＝(－1，－t,1)，因为DB →·EC →＝(－1,0，－1)·(－1，－t,1)＝1－1＝0，所以DB ⊥EC .(7分)
(2)解法一：过E 作EK ⊥BF ，垂足为K ，则四边形AEKB 为正方形，故EK ＝BK ＝1，由AB ＝1
2
BF ＝1，知KF ＝1.
因为AE ＝AB ＝1，∠EAB ＝90°，故EB ＝2，因为EK ＝KF ＝1，∠EKF ＝90°，故EF ＝ 2.(9分)
因为EB 2＋EF 2＝(2)2＋(2)2＝4＝BF 2，所以∠BEF ＝90°，即BE ⊥EF .(9分)
在Rt △CBE 中，CE ＝1＋(2)2＝3，在Rt △CBF 中，CF ＝1＋22＝5，因为CE 2＋EF 2＝(3)2＋(2)2＝5＝CF 2，
所以∠CEF ＝90°，即CE ⊥EF .
故∠CEB 为所求二面角的平面角，(12分) 在Rt △CBE 中，cos ∠CEB ＝23＝63
，即二面角C -EF -B 的余弦值为6
3.(15
分)
解法二：由(1)可知BC →＝(0,0,1)是平面BEF 的一个法向量，设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CEF 的法向量，因为AE ＝AB ＝1，所以E (1,1,0)，又F (0,2,0)，故CE →＝(1,1，－1)，CF
→＝(0,2，－1)．(9分) 由CE →·n ＝(1,1，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得x 1＋y 1－z 1＝0，
由CF →·n ＝(0,2，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得2y 1－z 1＝0，令z 1＝2，得y 1＝1，x 1＝1，故n ＝(1,1,2)为平面CEF 的一个法向量，(13分)
所以cos 〈n ，BC →
〉＝n ·BC →
|n |·|BC →|＝21×6＝63，即二面角C -EF -B 的余弦值为
6
3
.(15分)
19．解：(1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)， F 2(23，0)．(2分)
由椭圆的定义可得2a ＝
(3＋23)2＋⎝
⎛⎭⎪⎫
－
1322＋(3－23)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
1322＝121
4
＋254＝112＋5
2
＝8， 解得a ＝4，∴e ＝
234＝3
2
，b 2＝16－12＝4，(4分) ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2
4
＝1.(6分)
解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，
椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12，(2分) 又点A (3，－
132)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2
＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴e ＝234＝32，椭圆C 的标准方程为x 2
16
＋y 2
4
＝1.(6分) (2)由(1)知M (4,0)，N (0,2)，设椭圆上任一点T (x 0，y 0)(x 0≠±4且x 0≠0)，则
14
1620
20=+y x . 直线TM ：y ＝y 0
x 0－4(x －4)，令x ＝0，得y P ＝－4y 0x 0－4，(8分)
∴|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4.(10分) 直线TN ：y ＝
y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0，得x Q ＝－2x 0
y 0－2
， ∴|QM |＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2.(12分)
|PN |·|QM |＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4·
⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2 ＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8x 0－4·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2x 0＋4y 0－8y 0－2 ＝4⎪⎪
⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－8x 0－16y 0＋16x 0y 0－2x 0－4y 0＋8，由14
162
020=+y x 可得1642
020=+y x ，代入上式得|PN |·|QM |＝16，故|PN |·|QM |为定值．(15分)
20．解：(1)因为f ′(x )＝x －a
x (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以f (2)＝2－a ln 2＝2＋b ，f ′(2)＝2－a
2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(3
分)
(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)内恒大于0，此时方程无解．(5分) 当a ＜0时，f ′(x )＝x －a
x ＞0在区间(0，＋∞)内恒成立，所以f (x )在定义域
内为增函数．
因为f(1)＝1
2＞0，f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
e
1
a＝
1
2e
2
a－1＜0，所以方程有唯一解．(7分)
当a＞0时，f′(x)＝x2－a
x.当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0，a)
内为减函数，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(a，＋∞)内为增函
数，所以当x＝a时，取得最小值f(a)＝1
2a(1－ln a)．(9分)
当a∈(0，e)时，f(a)＝1
2a(1－ln a)＞0，方程无解；(10分)
当a＝e时，f(a)＝1
2a(1－ln a)＝0，方程有唯一解；(11分)
当a∈(e，＋∞)时，f(a)＝1
2a(1－ln a)＜0，因为f(1)＝
1
2＞0，且a＞1，所
以方程f(x)＝0在区间(0，a)内有唯一解，当x＞1时，设g(x)＝x－ln x，g′(x)
＝1－1
x＞0，所以g(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，又g(1)＝1，所以x－ln x＞0，
即ln x＜x，故f(x)＝1
2x
2－a ln x＞
1
2x
2－ax.因为2a＞a＞1，所以f(2a)＞
1
2(2a)
2
－2a2＝0.
所以方程f(x)＝0在区间(a，＋∞)内有唯一解，所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)内有两解，综上所述，当a∈[0，e)时，方程无解，当a＜0或a＝e时，方程有唯一解，当a＞e时，方程有两解．(15分)。