高等数学 6-4平面弧长的积分

积分变量为 x ，在 [ a, b] 上任取小区间 [ x, x + dx ] ，以对应小切线段的长代替小弧 段的长
y
} dy
o
a
x
x + dx
2
b
2
x
小切线段的长 ( dx ) + ( dy ) 弧长元素 ds = 1 + y′ dx
2
= 1 + y′2 dx
弧长 s =
∫
b
a
1 + y′2 dx.
π
0
1 + a 2 cos 2 x dx,
设椭圆的周长为 s2 四、极坐标情形 曲线弧为 r = r (θ ) (α ≤ θ ≤ β ) ，其中 ϕ (θ ) 在 [α , β ] 上具有连续导数.
x = r (θ ) cos θ Q (α ≤ θ ≤ β ) y = r (θ ) sin θ
解：Q r ′ = a,
4
∴ s=∫
=
β
a 2π 1 + 4π 2 + ln(2π + 1 + 4π 2 ) . 2
[
α
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ = ∫
2π
0
]
a 2θ 2 + a 2 dθ = a ∫
2π
0
θ 2 + 1dθ
五、小结 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 求弧长的公式：直角坐标系下；参数方程情形下；极坐标系下
a
b
x n
例 2 计算曲线 y = 解： y′ = n sin
∫
0
n sin θ dθ 的弧长 (0 ≤ x ≤ nπ ) .
x 1 x ⋅ = sin , n n n
nπ
s=∫
= ; y′2 dx = ∫
2
0
x 1 + sin dx n
2
x = nt
∫
π
0
1 + sin t ⋅ ndt
0
π
例 4 证明正弦线 y = a sin x (0 ≤ x ≤ 2π ) 的弧长等于椭圆
x = cos t y = 1 + a 2 sin t
(0 ≤ t ≤ 2π ) 的周长.
3
解：设正弦线的弧长等于 s1
s1 = ∫
2π
0
1 + y′2 dx = ∫
2π
0
1 + a 2 cos 2 x dx = 2∫
章 节 题 目
第四节、平面弧长的积分 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 弧长的计算
内 容 提 要
直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长的计算公式 重 点 分 析
直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长元素的确定 难 点 分 析
习 题 布 置
P356 ：1、4、6、8、9
备 注
1
教
学
内
容
一、平面曲线弧长的概念 设 A 、 B 是 曲 线 弧 上 的 两 个 端 点 ， 在 弧 上 插 入 分 点
A = M 0 , M 1 , L M i , L , M n −1 , M n = B 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分
点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长.
y
M2 M1 M n −1 B = Mn
∑| M
i =1
n
i −1
M i | 的极限存
∴ ds = (dx) 2 + (dy ) 2 = r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ ,
弧长 s =
∫α
β
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ .
3
θ 例 5 求极坐标系下曲线 r = a sin 的长. ( a > 0) 3
(0 ≤ θ ≤ 3π )
θ 1 θ θ θ 解：Q r ′ = 3a sin ⋅ cos ⋅ = a sin ⋅ cos , 3 3 3 3 3
A = M0 o x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向 一点时，此折线的长 此 二、直角坐标情形 设曲线弧为 y = f (x )
∑| M
i =1
n
i −1
M i | 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长.
(a ≤ x ≤ b) ，其中 f (x) 在 [a, b] 上有一阶连续导数，取
3 x = a cos t 解：星形线的参数方程为 (0 ≤ t ≤ 2π ) y = a sin 3 t
根据对称性 s = 4s1 （第一象限部分的弧长 4 倍）
s = 4s1 = 4 ∫ 2
0
π
(x′)2 + ( y′)2 dt
= 4 ∫ 2 3a sin t cos tdt = 6a.
ds = (dx) 2 + (dy ) 2 = [ϕ ′ 2 (t ) + ψ ′2 (t )](dt ) 2 = ϕ ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt
弧长 s =
∫α
β
ϕ ′ 2 (t ) +ψ ′2 (t )dt.
2 3 2 3 2 3
例 3 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长.
思考题 闭区间 [ a, b] 上的连续曲线 y = f (x ) 是否一定可求长？ 思考题解答 不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
5
2 3 x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度. 3
2
例 1 计算曲线 y =
Q y′ = x 2 , ∴ ds = 1 + ( x 2 ) 2 dx = 1 + x dx,
1
1
所求弧长为 s =
∫
b
a
3 3 2 1 + x dx = [(1 + b) 2 − (1 + a ) 2 ]. 3
2 2
∴ s=∫
=∫
3π
β
α
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
6 4
0
θ θ a 2 sin + a 2 sin 3 3
3 θ sin dθ = πa. 2 3
2
θ cos dθ 3
2
= a∫
3π
0
例 6 求阿基米德螺线 r = aθ ( a > 0) 上相应于 θ 从 0 到 2π 的弧长.
π
0
π t t t t t t sin + cos + 2 sin cos dt = n ∫0 sin + cos dt = 4n. 2 2 2 2 2 2
三、参数方程情形 曲线弧为
x = ϕ (t ) , (α ≤ t ≤ β ) ，其中 ϕ (t ), ψ (t ) 在 [α , β ] 上具有连续导数. y = ψ (t )