课件2：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

[误区突破] 当心“角”下陷阱 已知 a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设 a 与 b 的夹角为 θ，要使为锐角， 求 λ 的取值范围． 【错解】 因为 θ 为锐角，所以 cos θ＞0，由 a·b＝|a||b|cos θ 知， 只需 a·b＞0，即 1×2＋3λ＞0，即 λ＞－23. 【错因分析】 本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角等价于 a·b＞0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝ 1＞0，对于非零向量a与b有a·b＞0.两非零向量a与b的夹角为锐角 的等价条件是a·b＞0且a不平行于b.
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2．对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时，则可得|a|2＝x21＋y12； (2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，所以|A→B| ＝ x2－x12＋y2－y12，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线 段 AB 的长度，这也是模的几何意义.
余弦值——
由公式cos θ＝ x21yx121x2x＋2xy21＋y2y2y2直接求出cos θ 的值.
角——在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
变式训练
3．(1)已知 a，b 为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则 a，b 夹
角的余弦值等于( )
8 A.65
B．－685
(2)①∵a 与 b 同向，且 b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． ②∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0×b＝0.
[规律方法] (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、 函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思想：一种是纯向量式，另一种是坐 标式，两者互相补充.
[规律方法] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2， 于是有|a|＝ x2＋y2.
变式训练
2．(1)已知平面向量 a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若 c＝a－(a·b)b，
题型二 平面向量的模
【例 2】 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则
|3a＋b|等于( )
A. 5
B. 6
C. 17
D. 26
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且 a·b＝10，则 a 的坐标为________．
解析： (1)因为 a∥b，所以 1·y－2×(－2)＝0， 解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. (2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0， 即xx＋2＋2yy2＝＝1100，0， 解得xy＝＝100，， 或xy＝＝－8，6， 所以 a＝(10,0)或 a＝(－6,8)． 答案： (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
则|c|等于( )
A．4 2
B．2 5
C．8
D.8 2
(2)已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，向量 b＝(3,0)，则|2a－b|的最
大值和最小值分别是( )
A．4 2，0
B．4,2 2
C．25,1
D.5,1
解析： (1)易得 a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以 c＝(2,4)－6(－1,2) ＝(8，－8)，所以|c|＝ 82＋－82＝8 2. (2)由 于 |2a － b|2 ＝ 4|a|2 ＋ |b|2 － 4a·b ＝ 13 － 12cos θ ，又 － 1≤cos θ≤1，易知 1≤13－12cos θ≤25，故|2a－b|的最大值和最小值分别 是 5,1，故选 D. 答案： (1)D (2)D
题型三 平面向量的夹角(垂直) 【例 3】已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量因为 a∥b，所以 3x＝4×9，所以 x＝12. 因为 a⊥c，所以 3×4＋4y＝0，所以 y＝－3， 所以 b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设 m、n 的夹角为 θ，
变式训练 1．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)． 求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)； (3)(a·b)·c；(4)a·(b·c)． 解： (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)， 2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17)． (4)a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．
【正解】 由 θ 为锐角，得 cos θ＞0 且 θ≠0，由 ab＝|a||b|·cos θ，而 |a|、|b|恒大于 0，所以 a·b＞0，即 1×2＋3λ＞0，即 λ＞－23；若 a∥b， 则 1×λ－2×3＝0，即 λ＝6，但若 a∥b，则 θ＝0 或 θ＝π，这与 θ 为锐角相矛盾，所以 λ≠6.综上，λ＞－23且 λ≠6. 【点评】 本题的陷阱是忽视了向量夹角的范围为[0，π]，其中θ＝0也能 使a·b＞0，故应从中将其剔除，如果不注意这一点很容易出现上述错误．
答案： C
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D.12
解析： 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得
(2,1)·(5,2－k)＝0，即10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案： D
4．若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则b的坐标为____________．
【基础自测】
1．若向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数 m 的值为( )
A．－32
3 B.2
C．2
D.6
解析： 依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
答案： D
2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D.2
解析： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
16 C.65
D.－1665
(2)已知 A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC 的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D.等边三角形
解析： (1)设 a，b 的夹角为 θ，b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6 ＋y)＝(3,18)，所以86＋ ＋xy＝ ＝318，， 解得xy＝＝－125，， 故 b＝(－5,12)， 所以 cos θ＝|aa|·|bb|＝1665.故选 C. (2)由题设知A→B＝(8，－4)，A→C＝(2,4)，B→C＝(－6,8)，所以A→B·A→C ＝2×8＋(－4)×4＝0，即A→B⊥A→C.所以∠BAC＝90°.故△ABC 是 直角三角形． 答案： (1)C (2)A
则 cos θ＝|mm|·|nn|＝
－3×7＋－4×1 －32＋－42× 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
2 2.
因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝34π，
即 m，n 的夹角为34π.
[规律方法] 利用数量积求两向量夹角的步骤 利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两 数量积—— 个向量的数量积. 模—— 利用|a|＝ x2＋―y―2计→算出这两个向量的模.
解析： 设 b＝(x，y)，
则4，－3·x，y＝5， x2＋y2＝1，
解得yx＝＝－45，35.
答案： 45，－35
【题型探究】
题型一 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)； (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解： (1)法一：∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2 ＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54. 法二：∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【目标导航】
1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
【新知初探】
知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积 两个向量的数量积等于它们___对__应__坐__标__的__乘__积___的和，
即 a·b＝__x_1_x_2_＋__y1_y_2__
两个向 量垂直
a⊥b⇔_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝___0_
知识点二 三个重要公式
[思维启迪] 1．对数量积的坐标表示的理解 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； (2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐 标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；