甘肃省张掖市临泽县第二中学北师大版八年级数学下册《1.4角平分线(2)》课件
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北师大版初中数学八年级下册1.4 角平分线(第2课时) 课件
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这 个结论吗？
探究新知
1.4 角平分线/
做一做：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观 察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢?
探究新知
1.4 角平分线/
结论证明：
A
点拨：要证明三角形的三条角平分线
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相 等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
巩固练习
1.4 角平分线/
变式训练
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.
（1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作
出这一点，并说明理由； 解：如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即 为符合要求的点. 作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC， 垂足分别为E、F、G. ∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG. ∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG. ∴PE＝PF＝PG；
巩固练习
1.4 角平分线/
（2）求这点到各边的距离.
解：连接BP.设PE＝PF＝PG＝x. ∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC， ∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x. ∴7×24＝（7＋24＋25）x. 解得x＝3. 即这点到各边的距离为3.
连接中考
1.4 角平分线/
例2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC 和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, ∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC, ∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R, 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, 由勾股定理得:AC=6,
八年级数学北师大版下册第一章1.4.2角平分线教学课件
A D
2.如图3所示，已知∠A＝90°，CD平分∠ACB， B DE⊥BC于点E，且AB=3 cm，BD=2 cm，
则DE=_____1___cm.
E
C
图3
A
3.如图4所示，BD，CE是△ABC的角平分线，
E
D
且BD，CE相交于点O，若∠ABC＝45°，
∠ACB＝56°，则∠BAO的大小为__2_2__._5_°_.
∴△BOD≌△COE（ASA）
∴OB=OC
五、分层作业的布置
2.如图12所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，
AE平分∠BAD.
A
求证：DE平分∠ADC.
证明：过点E作EF⊥AD于点F ∵AE平分∠BAD AB⊥BC，EF⊥AD ∴BE=EF ∵点E是BC的中点 ∴BE=EC ∴EF=EC ∵DC⊥BC，EF⊥AD ∴在Rt△CDE和Rt△FDE中 ∵DE=EC，DE=DE ∴Rt△CDE≌Rt△FDE（HL）
E
C
D
B
图6
B D D 2 B E 2 E 2 D 2 4 E 2 cm
∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm
三、重难点精讲
1.如图6，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
∴∠2=∠3 (1)P是∠AOB角平分线上的一点，
=15-6
∴CO平分∠ACB
∴∠1=∠3
=9
∴BD＝OD
同理可得CE=OE
三条角平分线
三 锐角三角形 交于三角形内一点
北师大版八年级数学下册课件4 角平分线 第2课时
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 猜想：这一点到三条边的距离相等.
证一证
定已理知:三：角如形图的,三设条△角A平BC分的线角相平交于分一线点B,M并,且CN这相一交点于到三点P,
边过的点距P离分相别等作. BC,AC,AB的垂线,垂足分别A是E,F,D. 如∵求B图M证,在,C：△N,A∠ABHBC分中A别C, 的是△平A分BC线的经过点P,且NPDDP=PE=MFPF.
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理 的灵活运用.
第一章 三角形的证明
4 角平分线 （第2课时）
学习目标
1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点 且这一点到三条边的距离相等.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运 用.
复习旧知
1. 角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
A
D
O
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E， ∴PD=PE.
1
P
2
C
EB
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上.
A D
O1
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, 且
2
P C
PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.
E B动一动讲授新课剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么?
求证: BD=2CD.
2. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE
的角平分线相交于点F.
求证: 点F在∠DAE的平分线上.
A
B C
D
F
八年级数学下册课件-----1.4 角平分线 (2)北师大2011课标版
运用新知 例2、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线. (1)如果CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
盘点收获
知
方
识
法
课后作业
作业布置： 必做：课本习题1.10 ：1、2、3、 选做：课本习题1.10 ：4
北师版八年级下册
1.4 角平分线 （2）
复习回顾
角平分线
角平分线性质定理
文字语言角平分线上的点到这个角 的两源自距离相等.角平分线判定定理
在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的 平分线上.
符号语言
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任 意一点，PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE.
结论:三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。
探究新知
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
例1、已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交 于点P，求证：点P在∠BAC的角平分线上．
总结：遇到角平分线时，可以向角两边做垂线解 决问题。
探究新知
角平分线的性质定理
文字语言 符号语言
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一 点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA, PE⊥OB,PD=PE,
∴OP平分∠AOB.
2021年北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(2)》公开课课件
w2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相 交于点F. w求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
D
F
E
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.
独立作业 3
w3.已知:如图,P是∠AOB平分线上
的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别
C,D.
w求证:
O
w(1)OC=OD;
w(2)OP是CD的垂直平分线.
1.证明三角形的三条角平分线交于一点。 2.应用角平分线定理解决数学问题。
角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等).
A D
1
2
PC
E B
在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长; C
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
B
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的 点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一 边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
三角形一个内角和与它不相邻的两个外 角的平分线交于一点, 这个的点叫做三 角形的傍心.这样点有三个.
小结 O
拓展
A D
1P
2
C
E B
独立作业 1
习题1.9
w1.已知:如图,∠C=900,
∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分
A
B
C
D
F
E
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.
独立作业 3
w3.已知:如图,P是∠AOB平分线上
的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别
C,D.
w求证:
O
w(1)OC=OD;
w(2)OP是CD的垂直平分线.
1.证明三角形的三条角平分线交于一点。 2.应用角平分线定理解决数学问题。
角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等).
A D
1
2
PC
E B
在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长; C
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
B
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的 点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一 边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
三角形一个内角和与它不相邻的两个外 角的平分线交于一点, 这个的点叫做三 角形的傍心.这样点有三个.
小结 O
拓展
A D
1P
2
C
E B
独立作业 1
习题1.9
w1.已知:如图,∠C=900,
∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分
北师大版数学八年级下册1.4角平分线教学课件
FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点
P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,
A
∠C=90°, AD是△ABC的角平分
E
线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD.
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
B
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平
在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
4 角平分线第2课时三角形的内角平分线
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∴点F在∠DAE的平分线上.
在等腰直角三角形BDE中，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BD= AB,∠BDE=90°.
∴
BE平分∠ABC.
∴BC=BD.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM;
(2)连接CD;
(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即
P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,
A
∠C=90°, AD是△ABC的角平分
E
线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD.
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
B
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平
在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
4 角平分线第2课时三角形的内角平分线
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
∴点F在∠DAE的平分线上.
在等腰直角三角形BDE中，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BD= AB,∠BDE=90°.
∴
BE平分∠ABC.
∴BC=BD.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM;
(2)连接CD;
(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即
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三条角平分线
三角 形
交于三角形内 钝角三角形 交于三角形外一点 一点 直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点 到三角形三边 的距离相等 的距离相等
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距 离相等，则可选择的地址有几处？
满足条件共4个
用心想一想，马到功成
习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线，你发现了什么?
学科网
发现：三角形的三个内角 的角平分线交于一点．这一点 到三角形三边的距离相等．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的 角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同 样的结论?与同伴交流．
A
D
N
M F P E
C
B
用心想一想，马到功成
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
Z.x.x. K
A
N
D P
E
F
M
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
课堂小结, 畅谈收获：
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证 明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三 角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的 性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A P B l3
C
l1
l2 P 1
用心想一想，马到功成
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． A
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
E
(2)求证：AB=AC+CD．
B C D (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) 1 ∵∠C=90°，∴∠B= 2 ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 BD 2DE2 4 2cm (勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm．
用心想一想，马到功成
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． A (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE．
C D E B
同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
B
C
三角形角平分线的性质定理
定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等．
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 锐角三角形 交于三角形内一点
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A
D B
O
E C