江苏省如皋市2016-2017学年高二下学期期末教学质量调研数学(理)试题-含答案

2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题
2017.7
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,6A B =-=，则A B = .
2. 复数122i
z i
+=
-（i 为虚数单位）的模为. 3.函数(
)f x =的定义域为 .
4.已知函数()()23,0
2,0
x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()9f -= .
5．已知函数()0x
x
f x e =
，设()1n f x +为()n f x 的导函数， ()()()()10211,2,,
x
x
x
f x f x e x f x f x e -'==
⎡⎤⎣⎦-'==⎡⎤⎣⎦ 根据以上结果，推断()2017f x = .
6.已知正实数,a b 满足2240a ab --=，则3a b -的最小值为 .
7.若指数函数()f x 的图象过点()2,4-，则不等式()()5
2
f x f x +-<的解集是 .
8.已知,x y 满足约束条件3020x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩，则2221z x y y =+++的最小值
是 .
9.已知函数()()21
ln 112
f x x ax a x =+-++在1x =处取得极小值，则实数a 的取
值范围是 .
10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0
f x xf x '-<
若
()221ln log 52,1log 5ln 2
f f f m n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
===
，则,,m n k 的大小关系为 .（用“<”连接）
11.已知函数()321
3
f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值
范围是 .
12.若不等式()22212ln 0tx t x x ⎡⎤--+≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数t 的
值 .
13.已知函数()21
,0ln ,0x x e
f x x x x
⎧--<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若关于x 的方程()f x t =有三个不同的解，其
中最小的解为a ，则
t
a
的取值范围为 . 14.已知函数()()11x f x a a =->的图象为曲线C,O 为坐标原点，若点P 为曲线C 上的任意一点，曲线C 上存在点Q,使得OP OQ ⊥，则实数a 的取值集合为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）已知命题p ：方程220x ax a ++=有解；命题q ：函数
()(
)12,0221,0
x
x f x a x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪-->⎩在R 上是单调函数. （1）当命题q 为真命题时，求实数a 的取值范围； （2）当p 为假命题，q 为真命题时，求实数a 的取值范围.
16.（本题满分14分）
已知集合()(){}|240,A x x m x m =+-+<其中m R ∈，集合1|
02x B x x -⎧⎫
=>⎨⎬+⎩⎭
. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.
17.（本题满分14分）已知函数()()323
1312
f x x k x kx =-
+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域；
（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.
18.（本题满分16分）
某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC,
,2AD AB AD BC ⊥==3AB =百米，广场入口P 在AB 上，且2AP BP =，根据规划，过点P 铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN （小路的宽度不计），点M,N 分别在边AD,BC 上（包含端点），PAM ∆区域拟建为跳舞健身广场，PBN ∆区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设APM θ∠=.
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PNM,PN 进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N 的位置，使得小路PM,PN 的美化总费用最低，并求出最小费用.
19.（本题满分16分） 已知函数()()x x a
f x e a R e
=+∈是定义在R 上的奇函数，其中e 为自然对数的底数.
（1）求实数a 的值；
（2）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()()220f x x f tx ++-<成立，求实数t 的取值范围； （3）若函数()221
2x x y e mf x e
=+-在(),m +∞上不存在最值，求实数m 的取值范围.
20.（本题满分16分）已知函数()2ln f x x ax ax =+-，其中.a R ∈ （1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（2）若函数()f x 在定义域上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围； （3）若对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.
2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
数学附加卷
21.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵12,101a c M N b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若1001MN ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦，求,,,a b c d 的值
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线():sin 0C a a ρθ=>，若直线:3
l π
θ=被曲线C 截得
的弦长为a 的值.
23.（本题满分10分）
已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- （1） 求函数()f x 的解析式；
（2） 当n N *∈时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
24.（本题满分10分）
已知函数()213
22
x f x e mx m +=--，其中,m R e ∈为自然对数的底数
（1） 讨论函数()f x 的单调性；
（2） 若不等式()f x n ≥对任意的x R ∈恒成立，求mn 的最大值。

2016～2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题参考答案及评分标准
Ⅰ卷
一、填空题
1.{}2,0
2.1
3.(]
e ,0 4.2 5.
x
e
x -2017 6.4 7.)1,1(- 8.29
9.1>a 10.k m n << 11.1≥a 12.1- 13.)0,1
(2e
- 14.{}e 二、解答题
15．（本题共14分，其中卷面分1分）
解：（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧⋅-≥-<-0)2(2)2
1(0
20
a a ，得2>a .……………………………6分 （2）命题p 为真命题时实数a 满足024:2≥⋅-=∆a a ，得0,8≤≥a a ，
(9)
分
若p 为假命题，q 为假命题时，则实数a 满足 ⎩
⎨⎧><<28
0a a ，得82<<a 。

(13)
分
16．（本题共14分，其中卷面分1分） 解：（1）集合{}12021<<-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+-=x x x x x
B ……………………………2分
方法一：（1）当∅=A 时，3
4
=m ，不符合题意。

……………………………3分
（2）当∅≠A 时，3
4≠
m . ①当42-<-m m ，即3
4
>
m 时，{}42-<-=m m x A 又因为A B ⊆
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤->142234m m m ，即⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≥>5134m m m ，所以5≥m ………………5分
②当42->-m m ，即3
4
<
m 时，{}m m x A 24-<-= 又因为A B ⊆
所以⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-≤-≥-<241234m m m ，即⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤<22134m m m ，所以21-≤m
综上所述：实数m 的取值范围为：5≥m 或2
1
-≤m …………7分
方法二：因为A B ⊆，所以对于{}
12<<-=∈∀x x B x ，
0)4)(2(<+-+m x m x 恒成立.
令)4)(2()(+-+=m x m x x f 则⎩
⎨⎧≤+--+-=-≤+-+=0)42)(22()2(0
)41)(12()1(m m f m m f
得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-
≤≥1
2215orm m orm m 所以实数m 的取值范围为：5≥m 或2
1
-
≤m …………7分 （2）方法一：（1）当∅=A 时，34
=m ，符合题意。

…………9分 （2）当∅≠A 时，3
4≠
m .
①当42-<-m m ，即3
4
>
m 时，{}42-<<-=m x m x A 又因为∅=⋂B A
所以12≥-m 或者 24-≤-m ，
即2
1
-≤m 或者2≤m ， 所以
23
4
≤<m …………11分
②当42->-m m ，即3
4
<
m 时，{}m x m x A 24-<<-= 又因为∅=⋂B A
所以14≥-m 或者 22-≤-m ， 即5≥m 或者1≥m ， 所以3
41<
≤m 综上所述：实数m 的取值范围为：21≤≤m …………13分 方法（二）令)4)(2()(+-+=m x m x x f 由∅=⋂B A 得
①⎩
⎨⎧≥-≥-1412m m 即
⎪⎩⎪⎨⎧≥-
≤5
21m m 所以∅∈m …………10分
②⎩⎨⎧-≤--≤-242
2m m 即
⎩
⎨⎧≤≥21
m m 所以21≤≤m 综上所述：实数m 的取值范围为：21≤≤m …………13分
17. （本题共14分，其中卷面分1分） （1）解：3=k 时，196)(2
3
++-=x x x x f
则)3)(1(39123)(2
'
--=+-=x x x x x f
令0)('
=x f 得3,121==x x 列表
6分 （2）方法一：))(1(33)1(33)(2
'
k x x k x k x x f --=++-=
①当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递
增
所以313)1(2
3
1)1()(min =+++-==k k f x f 即3
5
=
k （舍） …………8分 ②当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减
所以3
123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f
符合题意 …………10分
③当21<<k 时,
当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减 当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增 所以313)1(2
3
)()(223min =+++-
==k k k k k f x f 化简得：04323=+-k k 即0)2)(1(2
=-+k k
所以1-=k 或2=k （舍） 注：也可令43)(2
3
+-=k k k g
则)2(363)(2
'
-=-=k k k k k g
对0)(),2,1('
≤∈∀k g k
43)(23+-=k k k g 在)2,1(∈k 单调递减
所以2)(0<<k g 不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2≥k …………13分
方法二：))(1(33)1(33)(2
'
k x x k x k x x f --=++-=
①当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减
所以3123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f
符合题意
(8)
分
②当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递增
所以3
)2()(min =<f x f
不符合题意 (10)
分
③当21<<k 时,
当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减 当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增 所以3
)2()()(min =<=f k f x f
不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2≥k (13)
分
18. （本题共16分，其中卷面分1分） 解：（1）在PMA Rt ∆中，
θtan =AP
AM
，得θtan 2=AM ， 所以θθtan 2tan 222
1
=⋅⋅=∆PMA S 由
π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2
,π
θ=
∠=∠MPN APM
在PNB Rt ∆中，θtan =BN BP ，得θ
tan 1
=
BN ， 所以θ
θtan 21
tan 1121=
⋅⋅=
∆PMA S
所以绿化草坪面积PBN PAM S S AB BC AD S ∆∆--⋅+=)(2
1
θθt a n 1
21t a n 23)332(21-
-⋅+=
)t a n 121t a n 2(239θθ+-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππθ (4)
分
又因为2tan 1
21tan 22tan 121tan 2=⋅≥⋅+
θθθθ 当且当θθtan 21tan 2=
，即21tan =θ。

此时⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππθ
(6)
分
所以绿化草坪面积的最大值为)22
3
9(
-平方百米. (7)
分
（2）方法一：在PMA Rt ∆中，
θcos =PM AP ，得θ
cos 2
=
PM ， 由
π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2
,π
θ=
∠=∠MPN APM
在PNB Rt ∆中，
θsin =PN BP ，得θ
sin 1
=
PN ， 所以总美化费用为]3
,6[,sin 2cos 2π
πθθθ∈+=
y (10)
分
θ
θθθθθθθ2
23322'
cos sin )
cos (sin 2sin cos 2cos sin 2-=-=y θ
θθθθθθθ2
222c o s s i n )c o s c o s s i n )(s i n c o s (s i n 2++-=
令0'
=y 得4
π
θ=
列表如下
所以当4
θ=
时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万元。

(15)
分
方法二：在PMA Rt ∆中，
θcos =PM AP ，得θ
cos 2
=
PM ， 由
π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2
,π
θ=
∠=∠MPN APM
在PNB Rt ∆中，
θsin =PN BP ，得θ
sin 1
=
PN ， 所以总美化费用为]3
,6[,sin 2cos 2π
πθθθ∈+=
y (10)
分
θ
θθθθθcos sin )
cos (sin 2sin 2cos 2+=
+=
y 令⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∈+=2,231,cos sin t t θθ得21cos sin 2-=
t θθ 所以142-=t t y ，0)
1(442
22'
<-+-=t t y 所以142
-=
t t
y 在,2,231⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∈t 上是单调递减
所以当2=t ，4
π
θ=
时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万
元。

(15)
分
19. （本题共16分，其中卷面分1分） （1）解：因为s x e
a
e x
f +
=)(在定义域R 上是奇函数， 所以0)()(,x
x
x x e a e e a e x f x f R x +++=+-∈∀-- 即0)1
)(1(=+
+x x e
e a 恒成立， 所以1-=a ，此时x x e
e x
f 1
)(-= …………3分 （2） 因为0)2()(2
<-++tx f x x f
所以)2()(2
tx f x x f --<+
又因为s x e
a
e x
f +
=)(在定义域R 上是奇函数， 所以)2()(2
-<+tx f x x f
又因为01
)('>+
=x x e
e x
f 恒成立 所以x x e
e x
f 1
)(-
=在定义域R 上是单调增函数 所以存在),0(+∞∈x ，使不等式0)2()(2
<-++tx f x x f 成立 等价于存在),0(+∞∈x ，22-<+tx x x 成立 …………7分
所以存在),0(+∞∈x ，使2)1(2
+>-x x t ，即x
x t 21+
>- 又因为222
≥+
x
x ，当且仅当2=x 时取等号 所以221≥-t ，即122+≥t …………9分
注：也可令2)1()(2
+--=x t x x g
①对称轴02
1
0≤-=
t x 时，即1≤t 2)1()(2
+--=x t x x g 在),0(+∞∈x 是单调增函数的。

由02)0(>=g 不符合题意
②对称轴02
1
0>-=
t x 时，即1>t 此时只需08)1(2
≥--=∆t 得221-≤t 或者221+≥t
所以221+≥t
综上所述：实数t 的取值范围为221+≥t .
(3)函数2)1(2)1()1(21222+---=--+=x
x
x x x x x x e e m e e e e m e e y 令m
m
x x e e t e e t 1,1->-= 则)(21
22x mf e
e y x x -+
=在),(+∞∈m x 不存在最值等价于 函数,222
+-=mt t y 在),1
(+∞-∈m
m e e t 上不存在最值 …………11分
由函数,222
+-=mt t y 的对称轴为m t =0得：m e e m
m >-
1
成立 令m e
e m g m m --
=1
)( 由011211
)('>=-≥-+=m m e
e m g 所以m e
e m g m m --
=1
)(在R m ∈上是单调增函数 又因为0)0(=g ，所以实数m 的取值范围为：0>m …………15分 20. （本题共16分，其中卷面分1分） （1）当x x f a ln )(,0==则0)1(=f
又,1
)('x
x f =
则切线的斜率1=k ， 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1-=x y ． …………3分
（2）()2ln f x x ax ax =+-，0x >，则x
ax ax x f 1
2)(2'
+-=，
令()221t x ax ax =-+， ①若0a =，则()22110
t x ax ax =-+=>，故
()'0
f x >，函数
()
f x 在
()0+∞，
上单调递增，
所以函数
()
f x 在
()0+∞，
上无极值点，故0a =不符题意，舍去；
…………4分
②若0a <，
()()
2
2
1
1212148t x ax ax a x a =-+=-
+-，该二次函数开口向下，对称轴
1
4x =
，()
11
1048t
a =->，
所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根0x =，故()0'0f x =，
且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，
上单调递增； 当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，
上单调递减；
所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点0x ，
符合题
意； …………6分
③若0a >，
()()
2
2
1
1212148t x ax ax a x a =-+=-
+-，该二次函数开口向上，对称轴1
4x =
．
（ⅰ）若()
111048t
a =-≥，即08a <≤，()()
1
04
t x t ≥≥，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不
符题意，舍
去； …………7分
（ⅱ）若()
11
1048
t
a =-<，
即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，
上有两根1x =2x =，故()()12''0f x f x ==，且
当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，
上单调递增； 当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，
上单调递减； 当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x +∞，
上单调递增； 所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去，
综上所述，实数a 的取值范围是0a <． …………9分 （3）由（2）可知，
①当08a ≤≤时，函数()f x 在()0+∞，
上单调递增，所以当[)1x ∈+∞，时， ()()10f x f =≥，符合题意， …………10分
②当0a <时，()11t a =+，
（ⅰ）若()110t a =+≤，即1a -≤，函数()f x 在[)1+∞，上单调递减，故()()10f x f =≤，不符题意，舍去，
（ⅱ）若()110t a =+>，即10a -<<，故函数()f x 在()01x ，上单调递增，在()0x +∞，
上单调递减，
当()1x a ∈-+∞，时，()()()
221
ln 110f x x ax ax x ax ax a x x a
=+--+-=-+<≤（事
实上，令()ln 1x x x ϕ=-+，1x ≥，则()11'10x
x x x
ϕ-=
-=≤，函数()x ϕ在[)1+∞，
上单调递减，所以()()10x ϕϕ=≤，即ln 1x x -≤对任意[)1x ∈+∞，恒成立．）
所以存在()
1
x a
∈-+∞，，使得()0f x <，故10a -<<不符题意，舍去；
(14)
分
③当8a >时，()110t a =+>，函数()f x 在[)1+∞，
上单调递增，所以当[)1x ∈+∞，时，()()10f x f =≥，符合题意．
综上所述，实数a 的取值范围是0a ≥． …………15分
Ⅱ卷
21．（本题满分10分）
由⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=1001220211d b bc ad c d c b a MN 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=1
20021d b bc ad c 所以1,1,0,2===-=d c b a …………10分
22．（本题满分10分）
方法一：由⎪⎩
⎪
⎨⎧==3sin πθθρa 得3sin 3πa =，所以2=a .
方法二：极坐标的极点为坐标原点，以极轴为x 建立直角坐标系。

由曲线：θρsin a =即θρρsin 2
a =得02
2
=-+ay y x
即4
)2(2
22
a a y x =-+
由直线3
:π
θ=
l 得0=-y x
圆心到直线的距离4
)3(12
2
2a a
d =
+-
=
所以4
43)4(2
2a a =+ 解得2=a （负舍） (10)
分
23. （本题满分10分）
（1）令x t 3log =，则t x 3=，
所以t t f t
23)(-=，故函数()f x 的解析式为()32x f x x =-． (3)
分
（2）当1=n 时，()11f =，13
=n ，此时 3)1(n f =；
当2=n 时，()25f =，83
=n ，此时 3)1(n f <； 当3=n 时，21)3(=f ，273
=n ，此时 3
)3(n f <；
当4=n 时，73)4(=f ，643
=n ，此时 3
)4(n f >；
猜想：当4n ≥，*n ∈R ，都有()3f n n >． …………5分
要证明：当4n ≥，*n ∈R ，都有()3f n n >， 即要证：当4n ≥，*n ∈R ，332n n n ->， 即要证：当4n ≥，*n ∈R ，332n n n >+．
证明：①当4n =时，381n =，3272n n +=，显然，332n n n >+成立； ②假设当n k =时，332k k k >+成立，
那么，当1n k =+时，()
1333333236k k k k k k +=⨯>⨯+=+，又当4k ≥时，
()
()()3
3
322236121233233k
k k k k k k k k k k ⎡⎤+-+++=-+-=⋅-+-⎣⎦
2224233530k k k k k ⋅-+-=+->≥，
故()()3
336121k k k k +>+++，
所以1n k =+时，()()3
13336121k k k k k +>+>+++结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当4n ≥，*n ∈R ，都有()3f n n >． …………10分
24．（本题满分10分）
解：（1）()213
e 22
x f x mx m +=--，x ∈R ，()21'2e 2x f x m +=-，
①当0m ≤时，()'0f x ≥，()f x 在R 上单调递增； ②当0m >时，令()'0f x =，得ln 1
2
m x -=
，
综上所述，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在()
ln 1
2
m --∞，上单
调递减，在(
)
ln 1
2
m -+∞，上单调递增． …………4分
（2）由（1）可知，若0m ≤，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 在R 上无最小值，与
题意矛盾，舍去；
所以0m >，()f x 在()ln 12m --∞，上单调递减，在()
ln 1
2
m -+∞，上单调递增，()f x 在R
上的最小值为(
)
ln 1ln 1312ln 2222
m m f
m m m m m m --=-⋅-=-． 因为不等式()f x n ≥对任意x ∈R 都成立， 所以1
ln 2n m m m -≤，其中0m >，
故221
ln 2
m n m m m ⋅-≤，0m >，
令()221ln 2m m m m ϕ=-，0m >，()21
'2ln 2ln m m m m m m m m
ϕ=--⋅=-，
令()'0m ϕ=，解得1m =，
所以()()12m ϕϕ=
≤，故()2m n m ϕ⋅≤≤， 即m n ⋅的最大值为12
．。