【教育专用】新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形 3.2.3

2.3两角和与差的正切函数
课时过关·能力提升
1.tan(-165°)的值是()
A.2
C.2
解析:原式=tan(-180°+15°)=tan 15°=tan(45°-30°)
答案:C
2.已知tan A tan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)的值是()
A.
解析:因为tan A tan B=tan A+tan B+1,
所以tan(A+B)
所以cos(A+B)=
答案:D
3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析:由题意,知tan A+tan B A tan B
∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=
△ABC为钝角三角形.答案:D
4.已知α∈
A.
解析:∵ta
∴tan α=
又α∈
∴sin αα=
∴sin α+cos α=
答案:A
5.已知M=sin 100°-cos
100°,N
A.M<N<P<Q
B.P<Q<M<N
C.N<M<Q<P
D.Q<P<N<M
解析:M=sin 100°-cos 100°
55°>1,
N46°cos 78°+cos 44°cos 12°)
44°cos 78°+cos 44°sin 78°)122°
58°>M.
P35°<1,
Q45°=1,
故P<Q<M<N.
答案:B
★6.已知tan θ和ta
A.p+q+1=0
B.p-q-1=0
C.p+q-1=0
D.p-q+1=0
解析:由题意,得tan
θ+taθ·ta ta1-q=-p,即p-q+1=0.
答案:D
7.已知α,β均为锐角,且tan β
解析:∵tan β
∴tan β=ta
∵α,β为锐角,∴β
即α+β
答案:1
8.(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)=.
解析:∵tan 45°=1,又若α+β=45°,则tan(α+β)
于是(1+tan 1°)(1+tan 44°)=(1+tan 2°)(1+tan 43°)=…=(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2.∴原式=222.答案:222
9.已知sin α
解析:∵sin α
∴cos α=
∴tan α
又tan(π-β)=-tan ββ=
∴tan(α-β)
答案:
10.
如图,三个相同的正方形相接,求α+β的大小.
解设正方形的边长为1,则tan α
故tan(α+β)
又0<α+β<π,故α+β
11.设关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tan α,tan β,求tan(α+β)的取值范围.解∵原方程为一元二次方程,∴m≠0.
又方程的两根为tan α,tan β,则Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0,解之,得m≤∈(-∞,0)∪
由根与系数的关系,得tan α+tan β=
tan αtan β
于是有tan(α+β)
∵2m-1≤22m-1≠-1,
∴tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪
★12.是否存在锐角α和β,使
同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
解由①
把条件②代入上式,得ta
由②③知,taβ是一元二次方程x2-(3.
解上述方程,
∵α是锐角,∴0
∴ta≠1,故taβ=1.
∵0<βtan β=1,得β①,得α.。