江苏省南通市2018-2019年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质

2018-2019年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题6：函数的图象与性质 锦元数学工作室 编辑
一、选择题
1.（江苏省南通市2002年3分）抛物线y=2x 2
－4x ＋7的顶点坐标是【 】
A ．（－1，13）
B ．（－1，5）
C ．（1，9）
D ．（1，5） 【答案】D 。

【考点】二次函数的性质。

【分析】利用公式法或利用配方法可求出y=2x 2
－4x ＋7=2（x －1）2
+5的顶点的坐标（1，5）。

故选D 。

2. （江苏省南通市2003年3分）已知反比例函数k
y x
=
的图象如图所示，则二次函数22y 2kx x k =-+的图象大致为 【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 。

【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。

【分析】由反比例函数的图象得到k 的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致：
∵函数k
y x
=
的图象经过二、四象限，∴k＜0。

∴抛物线开口向下，对称轴b 1
x 02a 4k
=-
=＜，即对称轴在y 轴的左边。

故选D 。

3. （江苏省南通市2004年3分）抛物线21
y x x 44
=-+-的对称轴是【 】
A 、x ＝－2
B 、x ＝2
C 、x ＝－4
D 、x ＝4
【答案】B 。

【考点】二次函数的性质。

【分析】可以用配方法将抛物线的一般式写成顶点式，或者用对称轴公式b
x 2a
=-
求解： ∵抛物线()2
211y x x 4=x 2344
=-+----，
∴抛物线21
y x x 44
=-+-的对称轴是直线x=2。

故选B 。

4. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示, 若42,M a b c =++N a b c =-+,42P a b =+,则【 】
A 、0,0,0M N P >>>
B 、0,0,0M N P ><>
C 、0,0,0M N P <>>
D 、0,0,0M N P <><
【答案】D 。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】∵当 x =2时，420y a b c <=++，∴可以判断420M a b c <=++；
∵当x =－1时，0y a b c >=-+，∴可以判断0N a b c >=-+； ∵抛物线的开口向上，对称轴在x =1右侧，∴a ＞0，对称轴=12b
x >a
-
，即20a b <+。

∴可以判断()42=220P a b a b <=++。

故选D 。

5. （江苏省南通市课标卷2005年3分）已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是【 】
A ．－1＜x ＜4
B ．－1＜x ＜3
C ．x ＜－1或 x ＞4
D ．x ＜－1或 x ＞3
【答案】B 。

【考点】二次函数的图象。

【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x 轴的一个交点（－1，0），根据抛物线的对称性可知，另一交点为（3，0）。

因为抛物线开口向上，所以当y ＜0时，－1＜x ＜3。

故选B 。

6. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）已知二次函数y=2x 2
+9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1+x 2时的函数值与【 】 A 、x=1时的函数值相等
B 、x=0时的函数值相等
C 、x=
1
4时的函数值相等 D 、x=94
-时的函数值相等
【答案】B 。

【考点】抛物线与x 轴的交点，二次函数的对称性。

【分析】∵当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则以x 1、x 2为横坐标的两点关于直线x=94
-对称，
∴
12x x 9=24+-，所以129
x x =2
+-。

∵根据抛物线的对称性可知x=9
2
-与x=0时函数值相等。

故选B 。

7. （江苏省南通市课标卷2006年3分）如图，设直线y=kx （k ＜0）与双曲线5y x
=-相交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2－3x 2y 1的值为【 】
A ．－10
B ．－5
C ．5
D ．10 【答案】A 。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A 、B 两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：
由题意知，直线y=kx （k ＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线5
y=x
-
交于两点，则这两点关于原点对称，
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。

又∵点A、点B在双曲线
5
y=
x
上，∴x1y1=－5，x2y2=－5。

∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×（－5）+7×（－5）=－10。

故选A。

8. （江苏省南通市2007年4分）如图，把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB
经过点(m，
n)，且2m＋n＝6，则直线AB的解析式是【】．
A、y＝－2x－3
B、y＝－2x－6
C、y＝－2x＋3
D、y＝－2x＋6
【答案】D。

【考点】一次函数图象与平移变换。

【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可：
∵原直线的k=－2，向上平移后得到了新直线，∴新直线的k=－2。

∵直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，即n＝6－2 m，∴直线AB经过点（m，6－2 m）。

设新直线的解析式为y=－2x＋b1，
∴6－2 m =－2 m ＋b1，则b1=6。

∴直线AB的解析式是y=－2x＋6。

故选D。

9.（江苏省南通市2008年4分）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作
出相应的两个
一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【】
A．
20
3210
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
B．
210
3210
x y
x y
--=
⎧
⎨
--=
⎩
C．
210
3250
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
D．
20
210
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
【答案】D。

【考点】一次函数与二元一次方程（组），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；
分别求出图中两条直线的解析式为y=2x－1，y=－x+2，
因此所解的二元一次方程组是
20
210
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩。

故选D。

10. （江苏省南通市2019年3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y
轴上，△PQO
是等腰三角形，则满足条件的点Q共有【】
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B。

【考点】等腰三角形的判定，坐标与图形性质。

【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案，注意求解有关等腰三角形问题时一定要注意分情况讨论：
如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2 2 ）（0，-2 2 ）（0，4）。

故选B。

11. （江苏省南通市2019年3分）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B 两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【】
A ．甲的速度是4km/h
B ．乙的速度是10km/h
C ．乙比甲晚出发1h
D ．甲比乙晚到B 地3h 【答案】C 。

【考点】一次函数的图象。

【分析】根据所给的一次函数图象有：A.甲的速度是20
5/4
km h =，选项错误；B. 乙的速度是
20
20/1
km h =，选项错误；C ．乙比甲晚出发101h -=，选项正确；D ．甲比乙晚到B 地422h -=，选项错误。

故选C 。

12.（2018江苏南通3分）已知点A(－1，y 1)、B(2，y 2)都在双曲线y ＝ 3＋2m
x 上，且y 1
＞y 2，则m 的取值范围是【 】
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＞－ 3 2
D ．m ＜－ 3
2
【答案】D 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。

【分析】将A （－1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线y= 3＋2m
x ，求出 y 1与y 2的表
达式：
1232m
y 2m 3 y 2
+=--=
， 。

由y 1＞y 2得，2m
2m 32
3>
+--，解得m ＜－ 3 2。

故选D 。

13.（2018江苏南通3分）无论a 取什么实数，点P(a －1，2a －3)都在直线l 上，Q(m ，n)
是直线l 上的点，
则(2m －n ＋3)2
的值等于 ▲ ． 【答案】16。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【分析】∵由于a 不论为何值此点均在直线l 上，
∴令a=0，则P 1（－1，－3）；再令a=1，则P 2（0，－1）。

设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），
∴ k b 3
b 1
-+=-⎧⎨=-⎩ ，解得k 2 b 1=⎧⎨=-⎩ 。

∴直线l 的解析式为：y=2x －1。

∵Q（m ，n ）是直线l 上的点，∴2m－1=n ，即2m －n=1。

∴(2m－n ＋3)2
=（1+3）2=16。

二、填空题
1. （2001江苏南通2分）抛物线2y x 4x 5=-+的顶点坐标是 ▲ _。

【答案】（2，1）。

【考点】二次函数的性质。

【分析】将抛物线2y x 4x 5=-+变为项点式即可求出顶点坐标（或用公式计算）： ∵()2
2y x 4x 5x 21=-+=-+，∴抛物线2y x 4x 5=-+的顶点坐标是（2，1）。

2.（2001江苏南通3分）设点P 1（x 1，y 1）和P （x 2，y 2）都在反比例函数y=2
x
-的图象上，且x 1<x 2<0，则y 1 ▲ _y 2（填“＜”或“＞”。

【答案】＜。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】结合已知条件和反比例函数的性质，画出函数图象，根据反比例函数图象上点的特性，即可看出y1与y2的大小关：
∵双曲线y=2
x
-
中k=－2＜0， ∴函数图象如图在第二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

∵点P 1（x 1，y 1）和P （x 2，y 2）都在反比例函数y=2
x
-
的图象上，且x 1<x 2<0， ∴P 1，P 2两点在第二象限的曲线上。

∴0＜y 1＜y 2。

故填＜。

3.（江苏省南通市2002年2分）写出具有性质“图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大”的一个反比例函数 ▲ ． 【答案】2
y x
=-
（答案不唯一）。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】对于反比例函数()k
y k 0 x
-
≠，当k ＞0时，图象是位于一、三象限；当k ＜0时，图象是位于二、四象限。

根据题意，所写函数只要k ＜0即可：如2
y x
=-
（答案不唯一）。

4. （江苏省南通市2004年3分）如图，如图，弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为 ▲ cm
【答案】12。

【考点】一次函数的应用，待定系数法。

【分析】设解析式为y=kx+b ，把（5，14.5），（20，22）代入得：
5k b 14.5 20k b 22+=⎧⎨+=⎩，解之
得
k 10.5 b 12=⎧⎨=⎩。

所以弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系为y=0.5x+12。

当x=0时，y=12．即弹簧不挂物体时的长度为12cm 。

5. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）如图, △P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2 在4
y (x 0)x
=
>的图象上,斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上,则点A 2的坐标是 ▲ .
【答案】（，0）。

【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。

【分析】如图，作P 1B⊥y 轴于点B ，P 1A⊥x 轴于点A ，P 2C⊥y 轴于点
C ，P 2D⊥x 轴于点
D 。

∵△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形， ∴AP 1=BP 1，A 1D=DA 2=DP 2， ∵点P 1在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OA•OB=4。

∴OA=OB=AA 1=2，OA 1=4。

设A 1D=x ， ∵点P 2在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OD•OC=4，即（4+x ）x=4。

解得12x 2x 2=-+=--x 0>，∴舍去）。

则2OA 42x 44=+=-+=2坐标为（，0）。

6. （江苏省南通市课标卷2005年3分）如图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数4
y (x 0)x
=
>的图象上，
斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ▲ ．
7. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线
4
y=
x
交于A（x1，
y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣7x2y1的值等于▲ ．
【答案】20。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数
图象上点的坐标特点解答即可：
由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线
4
y=
x
交于两点，
则这两点关于原点对称，
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。

又∵点A、点B在双曲线
4
y=
x
上，∴x1y1=4，x2y2=4。

∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20。

8. （江苏省南通市课标卷2006年3分）请写出一个二次函数y=ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=－2时，y＜0．答：▲ ．（答案不唯一）
【答案】y=－x2＋2x－3（答案不唯一）。

【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数的性质，
∵图象关于直线x=1对称，∴
b
1 2a
-=。

又∵当x=2时，y＞0；当x=－2时，y＜0，∴a＜0，c＞0，b2－4ac＞0。

∴与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且x1＜x2，－2＜x1＜0，2＜x2＜4。

∴可得较简单的一个为a=－1，b=2，x1=－1，x2=3，c=x1•x2=－3。

∴次函数y=ax2＋bx＋c可以为y=－x2＋2x－3。

9. （江苏省南通市2007年3分）如图，已知矩形OABC的面积为100
3
，它的对角线OB与双
曲线
k y=
x
相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝▲ ．
【答案】12。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值：
由题意，设点D的坐标为（x D，y D），则点B的坐标为（5
3
x D，
5
3
y D），
矩形OABC 的面积=|
53x D ·53y D |=1003
， ∵图象在第一象限，∴k=x D •y D =12。

10. （江苏省南通市2008年3分）一次函数y (2m 6)x 5=-+中，y 随x 增大而减小，则m
的取值范围是 ▲ ． 【答案】m ＜3。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】因为y 随x 增大而减小，所以k ＜0，即2m －6＜0，从而得m 的取值范围：m ＜3。

11. （江苏省2009年3分）反比例函数1
y x
=-的图象在第 ▲ 象限． 【答案】二、四。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数()=
0k
y k x
≠的性质：当0k ＞时，图象分别位于第一、三象限；当0k <时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数1
y x
=-的系数=10k <-，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

12. （江苏省南通市2019年3分）如果正比例函数y=kx 的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于 ▲ ． 【答案】2。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】由于正比例函数y=kx 的图象经过点（1，－2），于是点（1，－2）满足y ＝kx ，进而利用待定系数法求解：
∵图象经过点（1，－2），∴1×k=－2，解得：k=－2。

三、解答题
1. （2001江苏南通9分）已知抛物线22y x 5mx 4m =-+ (m 为常数) （1）求证：此抛物线与x 轴一定有交点；
（2）是否存在正数m ，使已知抛物线与x 两个交点的距离等于
6
m 1
-？若存在，求出m 的值；若不存在， 说明理由。

2.（2001江苏南通9分）改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇年国民生产总值为5亿元时，可达到小康水平。

（1）若从1996年开始，该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇经过几年可
达到小康水平？
（2）设以2001年为第1年，该镇第x 年的国民生产总值为y 亿元，y 与x 之间的关系是
212
y x x 5(x 0)93
=++≥该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到
1995年的年国民生产总值的4倍）？
【答案】解：（1）设经过x 年可达到小康水平，则根据题意，得
2+0.6x=5，解得x=5。

答：该镇通过5年可达到小康水平。

（2）依题意，将y=5×4＝20代入21
2
y x x 593
=+
+并化简得2x 6x 1350+-=，
解得x=9或－15（舍去）. 又∵2001为第一年，
∴2009年国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值的4倍）。

【考点】二次函数的应用，解一元一、二次方程。

【分析】（1）依题意可列出一元一方程，解出即可。

（2）依题意可列出一元二方程，解出即可。

3.（2001江苏南通12分）已知m、n是x
的方程2x(22t0
++=
的两个根，且2
m mn4
+=+过点Q（m,n）的直线L1交于点A（0，t），直线L1、L2分别与x轴的负半轴交于点B、C（如图）ΔABC为等腰三角形。

（1）求m、n、t的值；
（2）求直线L1与直线L2的解析式；
（3）若P为直线L2上的点，且ΔABO与ΔABP相似，求点P的坐标。

（4）
【答案】解：（1）∵m、n是x
的方程2x(22t0
++=的两个根，
且2
m mn4
+=+
∴
(
2
m n=2
m n=2t
m mn4
⎧+-
⎪⎪
⋅
⎨
⎪
+=+
⎪⎩
，解得
m=2
n=
t
-
⎧
⎪
-
⎨
⎪
=
⎩
（2）由（1）得点
Q (2,--，
A (0,。

设直线L1的解析式为
11
y=k x+b
，则11
1
2k+b
⎧-
⎪
，解得1
1
k
b
⎧⎪
⎨
⎪⎩
∴直线L1
的解析式为
令0，得x1
=-。

∴B（－1,0）。

OB=1，AB=2。

∵ΔABC为等腰三角形，∴BC=AB=2。

∴OC=3，点C的坐标为（－3，0）。

设直线L 1的解析式为22y=k x+b
，则222
0=3k +b -⎧⎪
，解得22
k b ⎧⎪⎨⎪⎩
∴直线L 1
的解析式为 （3）由点A 、B 、C 的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300。

∴要使ΔABO 与ΔABP 相似只要∠APB=900
或∠ABP=900。

∵点P 在直线L 2上，∴设P
（p
OB=1，
∴AB=2，
2
222
4AP p +p 3==⎝， (
)2
2
22
4BP p+1+p +4p+43==⎝。

若∠APB=900
，
则222AB AP BP =+，即22
444p p +4p+433=+。

解得，p=0（舍去）或3p=2
-。

32⎛⎫- ⎪⎝⎭。

∴P（32-，）。

【注：此时实际上两三角形全等】
若∠ABP=900
，
则222AP AB BP =+，即2244p 4p +4p+433
=+。

解得， p=2-。

(
)2-
∴P（2-）。

综上所述，点P 的坐标为（32-，
）或（2-
【考点】一次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，直线上点的坐标与
方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解方程和方程组。

【分析】（1）由m 、n 是x 的方程2x (22t 0++=的两个根，且2m mn 4+=+根据一元二次方程根与系数的关系，可得三元方程组，解之即得m 、n 、t 的值。

（2）由（1）可得点A 、Q 的坐标，用待定系数法，可求得直线L 1的解析式。

由ΔABC 为等腰三角形可求得点C 的坐标，从而由点A 、C 的坐标，用待定系数法，可求得直线L 2的解析式。

（3）由点A 、B 、C 的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300
，所以要使ΔABO 与ΔABP 相似只要∠APB=900
或∠ABP=900。

因此分∠APB=900
或∠ABP=900两种情况分别求解即可。

4.（江苏省南通市2002年10分） 某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期共投入固定成本200万元，每生产1台这种新家电，还需要生产成本0.3万元，已知每台新家电的售价为0.5万元．
（1）分别求总成本y 1（万元）和总利润y 2（万元）关于新家电的总产量x （台）的函数关系式；
（2）当x=900（台）时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请你利用第（1）小题中y 2与x 的函数关系式，分析该公司的盈亏情况． （注：总成本=固定成本＋生产成本，总利润=总产值－总成本）
【答案】解：（1）根据题意，y 1=0.3x ＋200，y 2=0.5x －（0.3x ＋200）=0.2x －200。

（2）把x=900代入y 2中，可得y 2=0.2×900－2018-2019，
∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元。

（3）根据题意，
当0.2x －200＜0时，解得x ＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会
亏损；
当0.2x －200＞0时，解得x ＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会
盈利；
当0.2x －200=0时，解得x=1000，说明总产量等于1000台时，公司不亏
不盈。

【考点】一次函数的性质和应用。

【分析】（1）根据题意可直接列出两个函数解析式。

（2）再把x=900代入y 2中可求出盈利额，负则说明亏损，正则说明盈利。

（3）利用y 2的解析式，让y 2＞0则可算出生产多少会盈利，y 2=0不亏损也不盈利，
y 2＜0则会亏。

5. （江苏省南通市2002年12分）设抛物线 y=ax 2
＋bx ＋c 经过A （－1，2），B （2，－1）
两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求的点中，有一个点也在抛物线y=ax2＋bx＋c上，试判断直线 AM 和x轴的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，
∴
a b c2
4a2b c1
-+=
⎧
⎨
++=-
⎩
，解得
b a1
c12a
=--
⎧
⎨
=-
⎩。

（2）由（1）得，抛物线y=ax2－bx＋c－1的解析式是y=ax2＋（a＋1）x－2a，∵物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等，
∴ax2＋（a＋1）x－2a=x，即ax2＋ax－2a=0。

∵a是抛物线解析式的二次项系数，∴a≠0。

∴方程的解是x1=1，x2=－2，
∴抛物线y=ax2－bx＋c－1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（－2，－2）。

（3）由（1）得抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是y=ax2－（a＋1）x＋1－2a。

①当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有a－（a＋1）＋1－2a=1，
解得
1
a
2
=-。

这时抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是2
11
y x x2
22
=--+，它与y轴的
交点是M（0，2）。

∵点A（－1，2），M（0，2）两点的纵坐标相等，
∴直线AM平行于x轴。

②当P2（－2，－2）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有4a＋2（a＋1）＋1－2a=－2，
解得
5
a
4
=-。

这时抛物线的解析式为2
517
y x x
442
=-++，它与y轴的交点是M（0，
7
2
）。

∵A、M两点的纵坐标不相等，
∴直线AM与x轴相交。

综上所述，当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，直线AM平行x轴；
当P 2（－2，－2）在抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 上时，直线AM 与x
轴相交。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）把A （－1，2），B （2，－1）两点分别代入抛物线y=ax 2
＋bx ＋c ，即可用a 表示出b 、c 的值。

（2）把（1）中所求b 、c 的值及x=y 代入抛物线y=ax 2
－bx ＋c －1，即可求出符合
条件的点的坐标。

（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，
从而求出其解析式，根据其解析式可求出函数图象与y 轴的交点坐标，根据其纵坐标于A 点纵坐标的关系即可判断出直线AM 与x 轴的关系。

6. （江苏省南通市2003年8分）已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A （1，－4），B （－1、0），C （－2，5）三点．
（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；
（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标．
【答案】解：（1）依题意有：
a b c 4 a b c 04a 2b c 5++=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得a 1 b 2c 3=⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩。

∴抛物线的解析式为y=x 2
－2x －3。

描点作图如下：
（2）（1，－4），（2，－3）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】本题的关键是求出二次函数的解析式，已知了抛物线所经过的A、B、C三点，可用待定系数法求出抛物线的解析式。

经过描点、连线得出函数的图象后即可得出第四象限内抛物线上所有整点的坐标。

7.（江苏省南通市2003年10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点．
（1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；
（3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．
【答案】解：（1）证明：∵AB2+BD2=32+42=52=AD2
∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD。

∵x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，∴点D在y轴上。

（2）由旋转的性质知，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB。

过Q 点作QH⊥BD，垂足为H 。

在Rt △PQH 中，
QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×312
=
55
， PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×416
=55
， BH=PB －PH=169
5=55
- 。

∴Q（12
5
-
，95 ）。

∵直线y=kx+b 过P 、Q 两点．
∴ b 5 129 k b 55=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得4k 3b 5
⎧
=⎪⎨
⎪=⎩。

∴直线PQ 的解析式为4
y x 53
=
+。

（3）设B′T′与AB 交于点M ，Q′T′交AB 于点E ，交AD 于点F 。

∵0＜m≤3，∴BB M BDFE S S S ∆'=梯形－。

由（2）可知，BE=QH=12
5
． ∴AE=AB－BE=4－
128=55。

∴EF=AE•tan∠DAB=836
=
545
⋅。

∴BDFE 1
1 6 12126
S EF BD BE 3225525
=+⋅=⋅+⋅=
梯形（）（）。

又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB． ∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB= 3
4
m 。

∴2BB'M 1133
S BM BB m m m 2248
∆=⋅⋅'=⋅⋅=。

∴2
1263S m 0m 325 8
=
-≤（＜）。

【考点】一次函数综合题，勾股定理的逆定理，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，平行的性质，三角形和梯形面积。

【分析】（1）根据AB 、BD 、AD 的长，不难得出三角形ABD 为直角三角形．由于A 、B 在x 轴上，且B 为原点，因此D 必在y 轴上。

（2）点P 的坐标易求出，关键是求出Q 点的坐标，可过Q 作QH⊥y 轴于H ，那么可
在直角三角形PQH 中，根据PQ 的长和∠QPB 的三角函数值（∠QPB=∠DAB），求出PH ，QH 的长，即可得出Q 点的坐标，然后用待定系数法求出直线PQ 的解析式。

（3）当0＜m≤3，B'在线段BD 上，此时重合部分是个五边形．设TB'与x 轴的交点为M ，AD 与Q'T 的交点为F ，那么重合部分的面积可用梯形EFDB 的面积-三角形EBB'的面积来求得。

梯形的上底可用AE 的长和∠DAB 的正切值求出（AE 的长为A 点横坐标绝对值与Q 点横坐标绝对值的差），同理可在直角三角形BB′M 中求出BM 的长，由此可求出S 、m 的函数关系式。

8.（江苏省南通市2004年6分）已知，二氧化碳的密度ρ（kg/m 3
）与体积V （m 3
）的函数关系式是ρV
9.9
=
⑴求当V=5 m 3
时二氧化碳的密度ρ
⑵请写出二氧化碳的密度ρ随V 的增大（或减小）而变化的情况。

【答案】解：（1）当V=5m 3
时，ρ9.95
=
=1.98（kg/m 3
）。

（2）密度ρ随体积V 的增大而减小。

【考点】反比例函数的应用。

【分析】（1）把V 的具体值代入所给的函数解析式即可得出结果。

（2）由比例系数大于0，得ρ随V 的增大而减小。

9. （江苏省南通市2004年7分） 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．
10. （江苏省南通市2004年10分）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC＝2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P 与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E ，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y＝2x＋1
⑴求BC、AP1的长；
⑵设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
⑶以点E为圆心作⊙E与x轴相切
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关
系如何？并说
明理由。

【答案】解：（1）在y＝2x＋1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1）。

∵A的坐标为（0，3），∴在y＝2x＋1中，，令y=3，得x=1，∴P1（1，
3）。

∴AB=3－1=2 ，BC=2AB=4，AP 1=1。

（2）过点D 作DG∥PE 交BC 于点G ，
则由△DCG≌△BA P 1，得CG=A P 1=1
∵1≤m＜4，
∴PD=4－m ，EC=4－m ＋1=5－m ，CD=2， ∴1S 4m 5m 292m 1m 42=-+-⨯=-≤（）（＜）。

（3）①⊙P 和⊙E 的位置关系有相交、外切和相离，理由如下：
在Rt△ABP 1中，
∵AB=2，AP 1=1，∴BP 1
∴PE= BP 1
在Rt△ABC 中，
∵AB=2 ，BC=4
∵Rt△APF∽Rt△ACD， ∴AP PF =
AC CD ，即P F 2，
∴。

如图，过点E 作EH⊥x 轴于点H ，则EH=OB=1。

设AP ＝m ，
∴当⊙P 和⊙E 相切时，EF=EH =1，解得m=5
当⊙P 和⊙E 相交时，1≤m＜4，且EF ＜EH ＜1，解得
5m 4<。

当⊙P 和⊙E 相离时，1≤m＜4，且EF ＞EH ＞1，解得
1m 5<≤。

∴当1AP 5<≤和⊙E 相离；
当AP=5P 和⊙E 相切；
当5AP 4<时，⊙P 和⊙E 相交。

②外离或相交．理由如下：
∵矩形ABCD 的面积是8，且直线L 把矩形ABCD 分成两部分的面积之
比值为3：5，
∴PECD S 5=四形边或者PECD S 3=四形边。

当PECD S 5=四形边时，9－2m=5，m=2，即AP=2，
∴1AP 5<≤。

∴此时两圆外离。

当PECD S 3=四形边时，9－2m=3，m=3，即AP=3，
∴5AP 4<。

∴此时两圆相交。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理，梯形的面积，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）求BC 、AP 1的长，因为BC=2AB ，可以根据直线的解析式是y=2x+1，确定B 、P 1的坐标，得出AB 的距离，从而求出BC 、AP 1的长。

（2）根据梯形PECD 的面积公式求出PD 、EC 、CD 的长，从而求出S 与m 之间的函数关系式，及自变量m 的取值范围。

（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP 相应的取值范围，确定⊙P 和⊙E 的位置关系。

11. （江苏省南通市大纲卷2005年8分）已知抛物线2y ax bx c =++ 经过（－1,0）,（0,－3）,（2,－3）三点.
⑴求这条抛物线的解析式;
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】解：（1）把（－1,0）,（0,－3）,（2,－3）代入2y ax bx c =++，
得： 03 420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ ， 解得： 12 3a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩。

∴抛物线的解析式为223y x x =--。

（2）∵()2223=14y x x x =----，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x =1，顶点坐标为（1，－4）。

【考点】待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】⑴已知了抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式。

⑵根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）。

12. （江苏省南通市大纲卷2005年12分）在平面直角坐标系中，直
线11y k x m (k )22
=+-≤≤经过点A
（,4），且与y 轴相交于点C ，点B 在y 轴上，O
为为坐标原点,且B O OA 7=+-ABC ∆的面积为S.
（1）求m 的取值范围;
（2）求S 关于m 的函数关系式;
（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时,将ABC ∆沿AC 折叠得到AB C '∆,求点B '的坐标.
【答案】解：（1）∵直线11y m(k )22=
+-≤≤经过点A （ ，4），
∴4m =+，∴1k=1m 4
-。

∵1
1k 22
-≤≤ ，∴1111m 242-≤-≤，解得2≤m≤6。

（2）∵A 的坐标是（ ，4），∴OA=
又∵OB OA 7=+- ，∴OB=7。

∴B 点的坐标为（0，7）或（0，－7）。

直线11y m(k )22
=+-≤≤与y 轴的交点为C （0，m ）。

①当点B 的坐标是（0，7）时，由于C （0，m ），2≤m≤6，故BC=7－m 。

∴1S BC 7m 2
=⋅=-）。

②当点B 的坐标是（0，－7）时，由于C （0，m ），2≤m≤6，故BC=7+m 。

∴1S BC 7m 2
=⋅+）。

（3）当m=2时，一次函数S =，这时C （0，2）。

如图，分别过点A 、B′作y 轴的垂线AD 、B′E，垂足为D 、E 。

则AD= ，CD=4－2=2。

在Rt△ACD 中，AD tan ACD CD ∠=
= ∴∠ACD=60°。

由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，
∴∠B′CE=180°－∠B′CB=60°。

在Rt△B′CE 中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=52 ∴OE=CE－OC=
12。

∴点，－12 ）。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，解不等式组，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据点在直线上的意义可知4m =
+．由11k 22
-≤≤即可求出m 的取值范围。

（2）根据题意求出B 点的坐标（0，7）或（0，－7）。

分两种情况求出S 关于m 的函数关系式。

（3）分别过点A 、B′作y 轴的垂线AD 、B′E，垂足为D 、E ．利用Rt△ACD 中的关系：
AD
tan ACD CD ∠=C B′=BC=7－2=5，所以∠B′CE=180°－∠B′CB=60°．再利用Rt△B'CE 中的线段之间的关系可求得，CE=52 ，
．故OE=CE －OC=12．所以点，－12 ）。

13. （江苏省南通市课标卷2005年9分）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图所示关系．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：
该班学生集体改
饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a 至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有
何感想（不超
过30字）？
【答案】解：（1）设y kx b =+，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320．
∴4004k b 3205k b =+⎧⎨=+⎩ ，解之，得k 80b 720
=-⎧⎨=⎩ 。

∴y 与x 的函数关系式为y 80x 720=-+。

（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），
当y ＝380时，38080720x =-+，得 x ＝4.25,
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝
2395(元)。

显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少。

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则
W ＝xy ＝x （－80x+720）＝2980(x )16202
--+， ∴当 x ＝92
时，W 最大值＝1620。

要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a ≥W
最大值+780，即
50a ≥1620+780，
解之，得 a ≥48。

所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。

由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯。

【考点】一次和二次函数的应用，待定系数法， 曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】（1）设y=kx+b ，根据题意得出k ，b 的值即可求出y 与x 的函数关系式。

（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得。

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，解出二次函数求出W 的最大值可求解。

14. （江苏省南通市大纲卷2006年8分）已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x ＜0时的图象；
（3）利用抛物线y=ax 2+bx+c ，写出x 为何值时，y ＞0．。