2009年三明市普通高中毕业班质量检查——理科数学

2009年三明市普通高中毕业班质量检查——理科数学
D
底面面积，h 为高
其中x 为样
本平均数 球的表面积、体积公式
柱体体积
公式
V Sh = 2344,3S R V R ππ== 其中S 为底面面积，
h 为高
其中R 为球的半径
第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，
共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答
题卡上。

1．复数11i i
-+等于 A ．i B ．
i - C ．1122i + D ．1122
i - 2．双曲线2
214x y -=的渐近线方程是
A ．40x y ±=
B ．40x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
3．在ABC ∆中，已知,.AB a AC b D ==为BC 的中点，则下
列向量与AD 同向的是
A ．||a b a b ++
B ．||||
a b a b + C ．||a b a b -- D ．||||
a a a
b -- 4．已知函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><的图象，（部分）如图所示，则()f x 的解析式是
A ．()2sin()()6f x x x R ππ=+∈
B ．()2sin(2)()6f x x x R ππ=+∈
C ．()2sin()()3
f x x x R ππ=+∈ D ．()2sin(2)()3
f x x x R ππ=+∈
5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的体积为
A ．12
π B ．π C ．2π D ．4π
6．某市教育部门通过调查10000名高中生参加
体育锻炼的状况，根据调查数据画出了样本
分布直方图（如上图），为了分析学生参加
体育锻炼与课程学习的关系，采用分层抽样
的方法从这10000人再抽出100人做进一步
调查，则在每周参加体育锻炼的时间落在
[7.5,8)小时内的学生中应抽出的人数为
A ．15
B ．20
C ．25
D ．50
7．已知函数()y f x =在定义
域[4,6]-内可导，其图
象如图，记()y f x =的导
函数为'()y f x =，则不
等式'()0f x ≥的解集为
A ．411[,1][,6]33
- B ．7[3,0]
[,5]3
- C ．411[4,][1,]33--
D ．[4,3][0,1][5,6]-
8．设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面，
有以下四个命题
①//////αββγαγ⎫⎬⎭； ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭； ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭
；④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭
其中正确的是命题是
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②④
9．若,a b R ∈，命题2:1p a b >-；命题:q 直线y ax b =+与
圆22
1x y +=相交，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必
要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既
不充分也不必要条件
10．如果两个位数相同的自然数恰好只有某一数
位上的数字不相同，则称这两个数为相邻数，例如：123与103、5555与5565分别是两个相邻数，若集合A 中的元素均为两位数，且任意两个数都不是相邻数，则A 中的元素最多有
A ．8个
B ．9个
C ．11
个 D ．12个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共
20分。

把答案填在答题卡相应位置。

11．若正数x 、y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩
则2x y +的最大值为____________。

12．在亚丁湾某海域有一执行任务的甲军舰获
悉，其正东方向距离20海里
处，有一艘货轮遇海盗袭击等
待营救，甲舰南偏西30°距
离10海里处有一艘乙舰，甲、
乙两舰共同实施救援行动，此
时乙舰与货轮的距离是
___________海里。

13．由曲线1,1,2,0y x x y x
====所围成的封闭图形的 面积为__________。

14．运行如图所示的程序流程图，则输出i 的值
为______
_______。

15．已知集合{2,3,4,6}A =，直线l 的斜率为n k m =，且
,m A n A ∈∈，令()0()k k Z k Z ξ∈⎧=⎨∉⎩则E ξ__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）
如图，过原点且倾斜角为
α的直线交单位圆于点
34(,),55
A C 是单位圆与x 轴正半轴的交点，
B 是
单位圆上第二象限的点，且AOB ∆为正三角形 （I ）求2
sin 2α与sin BOC ∠的值； （Ⅱ）现向单位圆内随机投掷一个点，求该点落在
BOC ∆内的概率。

17．（本小题满分13分）
某市为提高城市品位，计划对市内现有全部出租车进行更新换代，在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型，现决定2009年1月份
更新a 辆，以后每个月更新的车辆数比前一个月多a 辆，两年时间更新完毕。

（I ）问该市的出租车共有多少辆？
（Ⅱ）若从第二个月起，每个月以10%的增
长速度进行更新，至少需要多少个月才
能更新完毕？（参考数据：
353637381.128.10,1.130.91,1.134.00,1.137.40≈≈≈≈）
18．（本小题满分13分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
2,3AB BC ==，点P 在
侧面11CDD C 内，2,PD PC E ==、F 分别为CD 、
PD 的中点。

（I ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值； （Ⅲ）若1AA a =，当a 为何值时，//EF 面11A BD 。

19．（本小题满分13分）
已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =
的焦点，离心率5
e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且
()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；
（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴
上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三
点共线？若存在，求出定点N 的坐标，
若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分）
已知函数2()()f x Inx a x x =+=
（I ）若1a =-时，求()f x 的极值；
（Ⅱ）若()f x 存在的单调递减区间，求a 的取
值范围；
（Ⅲ）若()f x 图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <，AB
的中点为0(,0)C x ，
求证：0'()0f x ≠
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题
7分，请考生任选2题作答，满分14
分，如
果多做，则按所做的前两题记分。

（1）（本小题满分7分）选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵1214A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，向量74α⎛⎫= ⎪⎝⎭
（I ）求矩阵A 的特征值1λ、
2λ和特征向量1α、2
α；
（Ⅱ）求5
A α的值。

（2）（本小题满分7分）选修4—4；坐标系与参数方程
以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立
平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位1
O 的极坐标方程为4cos ρθ=，2
O
的参数方程为2cos 22sin x y θ
θ
=⎧⎨
=-+⎩
（为参数），求1
O 、2
O 的公共弦的长度。

（3）（本小题满分7分）选修4—5；不等式
选讲
若函数|7||34|
()2x x f x +--=的最小值为2，求自变
量x 的取值范围
2009年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，
共50分。

1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C
8．C 9．A 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共
20分。

11．5 12
． 13．2In 14．7
15．11
16 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

16．解：（I ）由三角函数的定义可知43
sin ,cos 55αα==
23
11cos 15sin 2225
αα-
-∴===
又AOB ∆为正三角形，
sin sin()sin cos cos sin 333
BOC πππ
ααα∴∠=+=+
413
5
25
=⨯+=
（Ⅱ）
1144||||sin 11221020
BOC
S OB OC BOC ∆++=∠=⨯⨯⨯= 圆的面积为π。

∴该点落在BOC ∆
内的概率420BOC
S P π
∆+==圆的面积17．解：（I ）依题意，每个月更新的车辆数构成
一个首项为a ，公差为a 的等差数列，设第
n 个月更新的车辆数为(124)n
a n ≤≤，则n
a na = ∴该市的出租车总数
24(24)
23243002
a a S a a a a a +=++++==…（辆） （Ⅱ）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为a ，公比为1.1的等比数列，则第n
个月更新的车辆数1
1.1(124)n n
b a n -=≤≤，设至少需要x 个月才能更新完毕，
∴x 个月更新的车辆总数(1
1.1)
3001 1.1
x
a T a -=≥-， 即1.1
31
x
≥，由参数数据可得36
1.1
30.9131 1.1,36
x x ≈<≤>
故以此速度进行更新，至少需要37个月才
能更新完该市所有的出租车
18．解（I ）2,2PD PC CD AB ====，PCD ∴∆为等腰直
角三角形，
1111111111,PD PC
ABCD A B C D BC CC D D P CDD C PD CC D D BC PD
PD PBC
∴⊥-∴⊥⊂∴⊥∴⊥为长方体，面，又点在侧面内面平面
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(3,2,0),(0,2,0),(0,1,1),A B C P
(3,1,1),(3,1,1)PA PB ∴=--=-
设平面PAB 的一个法向量
为1
1
1
(,,1)n x y =， 则有1
1
1
111310
310
PA n x y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨
⋅=+-=⎪⎩ 得11130
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
∴平面PAB 的一个法向量1
1
(,0,1)3
n = 而PCD 的一个法向量(3,0,0)CB =
1
1
110
cos ,10||||
10
39
n CB n CB n CB ⋅∴<>===⋅⨯
∴平面PAB 与平面PCD 所成的角的余弦值10
10
（Ⅲ）1111
(3,0,),(0,0,),(0,1,0),(0,,)
22A a D a E F ，
1111
(0,2,).(3,2,),(0,,)
22
A B a D B a EF ∴=-=-=-
设平面1
1
A BD 的法向量为2
22(,,1)
n
x y =，则有
122122220320
A B n y a D B n x y a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
∴平面1
1
A BD 的一个法向量为2
(0,,1)
2
a
n
=
若要使得//EF 面1
1
A BD ，则要2
EF n ⊥，即
2
1
042
a EF n ⋅=-+= 解得2a =， ∴当2a =时， //EF 面1
AB D
19．解法一：
（I ）设椭圆方程为22
22
1(0)x y a b a b
+=>>，由题意知1b =
2
5a =⇒=
故椭圆方程为
2
215
x y +=
（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方
程为(2)y k x =-（0k ≠）
代入2
2
15x y +=，得2
2
2
2
(51)202050k x k x k +-+-=
设1
1
2
2
(,),(,),A x y B x y 则
2212122220205
,5151
k k x x x x k k -+==
++ 1
2
1
2
1
2
1
2
(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-
1
1
2
2
1
2
122121(,)(,)(2,),
(,)
MA MB x m y x m y x x
m y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--
1221211222222(),
()0,
(2)()()()0
20420,(85)05151
MA MB AB MA MB AB x x m x x y y y y k k m m k m k k +⊥∴+⋅=∴+--+-+=∴--=∴--=++
由
280,0855
m k m m =>∴<<
-，
∴当
8
05
m <<
时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点
5
(,0)
2
N ，使得C 、B 、N
三点共线。

依题意知1
1
(,)C x y -，直线BC 的方程为
21
11
21
()y y
y y x x x x
++=--， 令0y =，则1
2
1
12
21
1
2
1
21
()y x x y x
y x x x y y y
y -+=+=++ l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上， 11221
2
2112121212(2),(2)
(1)(1)22()
()4()4y k x y k x k x x
k x x kx x k x x x k x x k k x x k
∴=-=--+--+∴==
+-+-
222
2
22205202255151202451
k k k k k k k k k k -⋅-⋅++=
=-+
∴在x 轴上存在定点
5
(,0)
2
N ，使得C 、B 、N 三
点共线。

解法二：（I ）同解法一。

（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤。

设l 的方程为(2)(0),y k x k =-≠
代入2
2
15x y +=，得2
2
2
2
(51)202050k x k k +-+-=
设1122(,),(,),A x y B x y 则
2212122220205
,5151k k x x x x k k -+==
++
1212121224(4),()
51
k
y y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+
11212121222212(),||||,
((2)()()()0
(1)()240,(85)0
MA MB AB MA MB x m x x m x x y y y y k x x m k m k m +⊥∴=-=∴+--++-=++--=∴--= 2222
888
)0,05155(51k m k k k k ∴==-≠∴>++
8
05
m ∴<<
∴当
8
05
m <<
时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N
三点共线。

设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线，则//CB CN ， 1
2
2
1
1
1
(,),(,)CB x x y y CN t x y =-+=-， 2
1
1
1
1
2
()()()0x x y t x y y ∴---+=
即2
1
1
1
1
2
()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=
12
1
2
2(2)()40x x t x x t ∴-+++=
22
22
20
5202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，5
2
t ∴=。

所以，存在5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线。

20．解：（I ）2121
'()2ax ax f x ax a x x
-+=+-=
当1
a =-时，
221(21)(1)'()x x x x f x x x
-++-+--=
由
1
'()0,,
f x x =∴=-或1
x =。

1x ∴=时，()0f x =极大
，无极小值。

（Ⅱ）()f x 存在单调递减区间，2
21'()ax
ax f x x
-+=
'()0f x ∴<在(0,)+∞内有解，即2
210ax ax -+<在(0,)+∞内
有解。

若0a =，则1'()0f x x
=>，()f x 在(0,)+∞单调递增，不存在单调递减区间；
若0a >，则函数2
21y ax ax =++的图象是开口向上
的抛物线，且恒过点（0，1），要
使2
210
ax
ax -+<在(0,)+∞内有解，则应有
280
022a a a
a
⎧∆=->⎪
⎨--
>⎪⨯⎩
a ∴<或8a >，由于0a >，8a ∴>；
若0a <，则函数2
21y ax ax =-+的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1）， 2
210ax ax -+<在(0,)+∞内一定有解。

综上，0a <或8a >。

（Ⅲ）依题意：120
2x x x +=，假设结论不成立，
则有
21111
2
2222000()()0()()01
'()20f x Inx a x x f x Inx a x x f x ax a x ⎧
⎪=+-=⎪⎪=+-=⎨⎪⎪=+-=⎪⎩
①
②③
①—②，得
22112122
()()0x In a x x a x x x +---=
1
1212122
()()()0x In
a x x x x a x x x ∴++---=
由③得，1
2
1
2
2
()0()a x x a x x ++-=+ 112212
2()0x x x In
x x x -∴-=+即
1
1212
2
22
1x x x In x x x ⋅
--=+
设12
(01)
x
t t x
=<<，则22
01
t Int t ⋅--=+， 令22
()(01)1t u t Int t t -=-<<+ 22
(1)'()0(1)
t u t t t -∴=>+，()u t ∴在（0，1）上为增函数。

()(1)0u t u ∴<=，即22
01
t Int t ⋅--<+，与④式矛盾 ∴
假设不成立，0
'()0f x ∴≠
21．解：（I ）矩阵A 的特镇多项式为
2
12()5614
f λλλλλ--==-+-
令()0f λ=，得1
2
2,3λλ==，
当1
2λ=时，得1
21
α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；当2
3
λ=时，得2
11α
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由1
2
m n αα
α=+得
274
m n m n +=⎧⎨
+=⎩，得3,1m n ==
55
551212
3)3()A A A A ααααα∴=+=+（
55
5511
2
2
214353()32311399λαλα
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）解：由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=
2
2
1
:40O x y x ∴+-=， 由2cos 22sin x y θθ
=⎧⎨
=-+⎩
（θ为参数） 消去参数得2
2
2
:40O x y y ++= 由222
2
4040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得11
00x y =⎧⎨=⎩
或22
22
x y
=⎧⎨
=-⎩
即
12
,O O 交于点（0，0）和（2，-2）
1
O ∴、2
O
的公共弦的长度为 （3）解：依题意，|7||34|
22x x +--≥ |7||34|1x x ∴+--≥， 当43
x >时，不等式为7(34)1x x +--≥ 解得5,x ≤即453
x <≤ 当473
x -≤≤时，不等式为7(34)1x x ++-≥ 解得1,2x ≥-即1423
x -≤≤； 当7x <-时，不等式为7(34)1x x --+-≥， 解得 6x ≥，与7x <-矛盾
∴自变量x 的取值范围为1
52x -≤≤。