2018年数学同步优化指导湘教版必修3练习：7-5 空间直角坐标系 活页作业24 含解析 精品

活页作业(二十四)空间直角坐标系
一、选择题
1．(2016·吉安高二期中)在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点坐标为()
A．(4,0,6)B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)
解析：∵在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y，－z)，
∴点M(4,7,6)关于y轴的对称点的坐标为Q(－4,7，－6)．
答案：B
2．已知点B是A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于()
A．10 B．10
C.38 D．38
解析：点B坐标为(2，－3，－5)，
∴|AB|＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.
答案：A
3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()
A. 2 B．2
C. 3 D．3
解析：A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，BC中点坐标为(1,1,0)，由空间两点间距离公式得12＋12＋12＝ 3.
答案：C
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是()
A．3 3 B．3 6
C．2 3 D．2 6
解析：|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2＝5a2＋10a＋59＝5(a＋1)2＋54.
∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.
∴|AB |min ＝54＝3 6. 答案：B 二、填空题
5.如图，三棱锥A -BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为________．
解析：如图建立空间直角坐标系，因为AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD 且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，
点E 为CD 的中点，
则A (0,0,1)，C (1,0,0)，D (1,2,0)，E (1，1,0)，所以|AE |＝ 3. 答案： 3
6．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，以正方体的三条棱DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，若点P 在正方体的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则下列点P 的坐标：①(1,1,1)，②(0,1,0)，③(1,1,0)，④(0,1,1)，⑤⎝⎛⎭⎫12
，1，1
2中，正确的是________________．(填序号)
解析：∵点P 在正方体的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，BD 1是定线段，AP ⊥BD 1，∴直线AP 在与直线BD 1垂直的平面内运动．连接AB 1，AC 得平面ACB 1，与平面BCC 1B 1的交线为CB 1，易知BD 1⊥平面ACB 1，∴点P 的轨迹是线段CB 1.故正确的结论有①②⑤.
答案：①②⑤ 三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．
解：根据已知条件可得|A 1C 1|＝22， 由|MC 1|＝2|A 1M |，可得|A 1M |＝
22
3
，如图所示，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫
23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1的中点可得N (1,2,2)．
∴|MN |＝
⎝⎛⎭⎫1－232＋⎝⎛⎭⎫2－232＋(2－4)2＝533
.
8．在正四棱锥S -ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长也为a ，以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P 点在侧棱SC 上，Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上，试求P ，Q 两点间的最小距离．
解：由于S -ABCD 是正四棱锥，所以P 点在底面上的射影R 在OC 上，又底面边长为a ，所以OC ＝
2
2
a .而侧棱长也为a ，所以SO ＝OC .于是PR ＝RC .故可设P 点的坐标为⎝⎛⎭
⎫－x ，x ，22a －2x (x >0)．又Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上，所以可设Q 点的坐标为
(y ，y,0)．因此P ，Q 两点间的距离
|PQ |＝
(－x －y )2＋(x －y )2＋⎝⎛
⎭
⎫22a －2x 2
＝
4⎝⎛⎭⎫x －a 42＋2y 2＋a 2
4，显然当x ＝a 4，y ＝0时，|PQ |取得最小值，|PQ |的最小值等于a 2
，这时，点P 为SC 的中点，点Q 为底面的中心．
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点共有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．无数个
解析：满足条件的x 轴上的点的坐标可设为(a,0,0)，则有(a －4)2＋(0－1)2＋(0－2)2＝30，即(a －4)2＝25，
解得a ＝9或a ＝－1，所以满足条件的点为(9,0,0)或(－1,0,0)．故选C. 答案：C
2．(2015·湖北省天门市高考模拟)一个几何体的三视图如图所示，正视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)则第五个顶点的坐标可能为( )
A ．(1,1,1)
B ．(1,1，2)
C ．(1,1，3)
D ．(2,2，3)
解析：由三视图可知该几何体为正四棱锥，
该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，
设A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)， 则AB ＝2，BC ＝2，CD ＝2，DA ＝2，
∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标， 设顶点为P (a ，b ，c )，
则P 点在xOy 面的射影为底面正方形的中心O ′(1,1,0)， 即a ＝1，b ＝1，
由正视图是正三角形，∴四棱锥侧面的斜高为2，则四棱锥的高为3， 即c ＝3，
∴P 点的坐标为(1,1，3)，
故第五个顶点的坐标为(1,1，3)，故选C. 答案：C 二、填空题
3．(2015·苏州高一检测)已知x ，y ，z 满足方程C ：(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2，则x 2
＋y 2＋z 2的最小值是________．
解析：
x 2＋y 2＋z 2变形为
(x －0)2＋(y －0)2＋(z －0)2，它表示(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2上的动点(x ，y ，z )到原点(0,0,0)的距离，点(3,4，－5)到(0,0,0)的距离为
32＋42＋(－5)2＝52，
∴动点(x ，y ，z )到原点的最小值为52－2＝42， ∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为32. 答案：32
4.如图所示，为一个正方体裁下的一角P -ABC .|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .则△ABC 的重心G 的坐标为________．
解析：△ABC 的重心G 在xOy 平面上的射影G ′是△P AB 的重心，其坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，0， 而|G ′G |＝1
3|PC |，∴G ⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3. 答案：⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3 三、解答题
5．已知点A (1,1,0)，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得P A ⊥AB 成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由．
解：如图，若P A ⊥AB 成立，则AB ⊥平面POA .所以AB ⊥OA .
设B (0，y,0)，则有 OA ＝2，|OB |＝y ， |AB |＝1＋(y －1)2.
由OB 2＝OA 2＋AB 2，得y 2＝2＋1＋(y －1)2， 解得y ＝2.
所以存在这样的点B ，当点B 为(0,2,0)时，P A ⊥AB 成立．
6．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，
求：(1)MN 的长；
(2)a 为何值时，MN 的长最小． 解：(1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，
面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD . ∴AB 、BC 、BE 两两垂直． ∴以B 为坐标原点，
以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M ⎝⎛
⎭⎫22a ，0，1－22a 、N
⎝⎛⎭
⎫22a ，22a ，0. ∴|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭
⎫1－22a －02 ＝
a 2－2a ＋1＝
⎝
⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)．
(2)∵|MN |＝ ⎝
⎛⎭⎫a －222＋12，
故当a ＝
22时，|MN |min ＝2
2
.。