上海市初三数学二模虹口区学年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学考试及评分标准

上海市初三数学二模虹口区学年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学考试及评分标准
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试
初三数学 试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
2018.04
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．下列实数中，有理数是 A ．3； B ．39； C ．π； D ．0．
2．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
A ．1k <；
B ．10k k <≠且；
C ．1k >；
D ．10k k >≠且.
3．如果将抛物线2
y x =向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．2
1y x =+；
B ．2
1y x =-；
C ．2(1)y x =+；
D ．2
(1)y x =-.
4．如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为 A ．0.4；
B ．0.36；
C ．0.3；
D ．0.24.
5．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在△AOB （OA <OB ）边OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使得OD=OE ；
（2）分别以点D 、E 为圆心，以大于1
2
DE 为半径作弧，两弧交于△AOB 内的一点C ；
（3）作射线OC 交AB 边于点P ．
那么小明所求作的线段OP 是△AOB 的 A ．一条中线；
B ．一条高；
C ．一条角平分线；
D ．不确定．
6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果AB =6，BC =4，那么分别以
AD 、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是 A ．外离；
B ．外切；
C ．相交；
D ．内切．
人数 出行方式 0
乘车 步行 骑车 12 20 第4
A
O B D
E
C
P 第5
A C
D B
第6
E
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：2
6
a a ÷= ▲ .
8. 某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 ▲ 毫米.
9．不等式组1,2 4.x x ->⎧⎨<⎩
的解集是 ▲ .
10．方程2x x -+=的解为 ▲ ． 11．已知反比例函数3a
y x
-=
，如果当0x >时，y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 ▲ ．
12．请写出一个图像的对称轴为y 轴，开口向下，且经过点（1，-2）的二次函数解析式，这
个二次函数的解析式可以是 ▲ ． 13. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ▲ ．
14. 在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植
树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是 ▲ 株．
15．如果正六边形的两条平行边间的距离是23,那么这个正六边形的边长为 ▲ ． 16．如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AC a =，BD b =，那么用向
量a 、b 表示向量AB 是 ▲ ．
17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB=10，sin A =
3
5
，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．如果⊙B 与中线CD 有且只有一个公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围为 ▲ ．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC=8，tan B 3
2
=，点D 是AB 的中点，如果把△BCD 沿直
线CD 翻折，使得点B 落在同一平面内的B ′处，联结A B ′，那么A B ′的长为 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
先化简，再求值：2344
(1)11
a a a a a -+--÷++，其中3a =．
植树株数（株） 5 6 7 小组个数
3
4
3
A C D
第17B
A
B C
第18D
A C
O
第
16B D
① ②
E
G
第23
C
A
B
D F
x （小
y （千O 60
4
第22题
A
B
20．（本题满分10分）
解方程组：22444,
2 6.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
21．（本题满分10分）
如图，在△ABC 中，4
sin 5
B =
，点F 在BC 上，AB=AF=5，过点F 作EF ⊥CB 交AC 于点E ，且:3:5AE EC =，求BF 的长与sin C 的值．
22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达． （1）求甲车原计划的速度； （2）如图是甲车行驶的路程y （千米）与时间x （小时） 的不完整函数图像，那么点A 的坐标为 ▲ ， 点B 的坐标为 ▲ ，4小时后的y 与x 的函数关 系式为 ▲ （不要求写定义域）．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅．
C
第21题
B
F
E
第25
C
A B
D
M G 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与直线1
32
y x =-
+分别交于x 轴、y 轴上的B 、C 两点，抛物线的顶点为点D ，联结CD 交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式以及点D 的坐标； （2）求tan ∠BCD ；
（3）点P 在直线BC 上，若∠PEB=∠BCD ，求点P 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，DC =5，以CD 为半径的⊙C 与以AB 为半径的⊙B 相交于点E 、F ，且点E 在BD 上，联结EF 交BC 于点G ． （1）设BC 与⊙C 相交于点M ，当BM=AD 时，求⊙B 的半径；
（2）设BC= x ，EF=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BC =10时，点P 为平面内一点，若⊙P 与⊙C 相交于点D 、E ，且以A 、E 、P 、D 为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P 的面积．（结果保留π）
第24
x
B y O
C D
E
虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试
初三数学评分参考建议
2018.4
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B
二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．4
a
8．56.810
-⨯
9．1x <- 10．1x =
11．3a > 12． 2
1y x =-- 等（答案不唯一） 13．1
2 14．6
15．2
16．1122a b - 17．
56r <≤或245r =
18．
2
55
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式=22
131
144a a a a a --+⋅+-+ ………………………………………………………（3分） 2(2)(2)1
1(2)a a a a a +-+=⋅
+- ………………………………………………………（3分）
22
a a +=-…………………………………………………………………………… （2分） 当3a =
时, 原式=3274332
+=---
…………………………………………… （2分）
．
20．解：由①得，
22x y -=或22x y -=-……………………………………………（2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得： ,
262;2x x y y ⎧⎨
+=-=⎩
22,
2 6.y y x x ⎧⎨
+=-=-⎩
……………………………………………………（4分）
分别解这两个方程组， 得原方程组的解为114,1;x y =⎧⎨=⎩ 22
2,
2.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）
（代入消元法参照给分）
21．解：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为点D
∵4sin 5B =
∴3cos 5B =
……………………………………………………（1分） 在Rt △ABD 中，3
cos 535BD AB B =⋅=⨯=
…………………………………（2分）
∵AB=AF AD ⊥CB ∴BF =2BD =6 ………………………………………（1分）
∵EF ⊥CB AD ⊥CB ∴EF ∥AD ∴DF AE
CF EC
= …………………（2分）
∵:3:5AE EC = DF=BD=3 ∴CF=5 ∴CD=8………………………（1分）
在Rt △ABD 中，4
sin 545AD AB B =⋅=⨯=
……………………………………（1分）
在Rt △ACD 中，2245AC AD CD =+= ……………………………………（1分）
∴5
sin 5AD C AC ==
………………………………………………………………（1分）
22．解：（1）设甲车原计划的速度为x 千米/小时
由题意得600600
210x x -=-…………………………………………………………（3分）
解得150x =- 260
x = 经检验，1
50x =- 2
60x =
都是原方程的解，但1
50x =-不符合题意，舍去 ∴60x = ……………………………………………………………………………（2分）
答：甲车原计划的速度为60千米/小时．………………………………………（1分） （2）（4，240） （12，600） …………………………………………………（1分，1分）
4560y x =+…………………………………………………………………………
（2分）
23．（1）证明：联结BD …………………………………………………………………（1分）
∵EB =ED ∴∠EBD =∠EDB …………………………………………………（2分） ∵∠ABE =∠ADE ∴∠ABD =∠ADB …………………………………………（1分） ∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是矩形 ∴四边形ABCD 是正方形………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC ∴EF EC
DE EA =
………………………………………………（2分）
同理 DC EC AG EA =
……………………………………………………………（2分）
∵DE=BE
∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=DC …………………………………………（1分） ∴EF BC BE AG =
∴EF AG BC BE ⋅=⋅ ……………………………………………………………（1分）
24．解：（1）由题意得B （6，0） C （0，3） ………………………………………（1分） 把B （6，0） C （0，3）代入22y ax x c =-+
得03612,3.a c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,43.a c ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ ∴21
234
y x x =-+……………………………………………………………（2分）
∴D （4，-1） ………………………………………………………………（1分）
（2）可得点E （3,0） ………………………………………………………………（1分）
OE=OC=3，∠OEC =45°
过点B 作BF ⊥CD ，垂足为点F
在Rt △OEC 中，32cos OE EC CEO ==∠
在Rt △BEF 中，3sin 22BF BE BEF =∠= ……………………………………（1分）
同理，322EF =∴39322222CF =+=……………………………………·（1分）
在Rt △CBF 中，1tan 3BF BCD CF ∠==
…………………………………………（1分）
（3）设点P （m ，132
m -+）
∵∠PEB=∠BCD ∴tan ∠PEB= tan ∠BCD 13
=
①点P 在x 轴上方
∴1
3
1233m m -+=
-
解得245m = ………………………………………………（1分） ∴点P 243(,)55 ………………………………………………………………………（1分）
②点P 在x 轴下方 ∴1
3
1233m m -=
- 解得12m =
…………………………………………………（1分） ∴点P (12,3)- ………………………………………………………………………（1分）
综上所述，点P 243(,)55或(12,3)-
25．（1）联结DM
在Rt △DCM 中，2252DM DC CM =+= …………………………………（2分）
∵AD ∥BC BM =AD ∴四边形ABMD 为平行四边形……………………（1分） ∴AB= DM =52
即⊙B 的半径为52……………………………………………………………（1分） （2）过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H
在Rt △BCD 中，22225BD BC CD x =+=+
∴25sin 25DBC x ∠=
+
可得∠DCH =∠DBC ∴2
5sin 25
DCH x ∠=
+
在Rt △DCH 中，225sin 25
DH DC DCH x =⋅∠=+…………………………（1分）
∵CH ⊥BD ∴2
50225
DE DH x ==+…………………………………………（1分） ∴22
2
2
50252525
25
x BE x x x -=+-
=
++ ………………………………………（1分）
∵⊙C 与⊙B 相交于点E 、F ∴EF=2EG BC ⊥EF
在Rt △EBG 中，225125
sin 25
x EG BE DBC x -=⋅∠=+ …………………………（1分）
∴221025025
x y x -=+（53x >）…………………………………………（1分，1分）
（3）25
4
π或(2985)π-或(75+305)π
………………………………………（做对一个得2分，其余1分一个）。