广东省东莞市北京师范大学石竹附属学校2022年高一上数学期末学业水平测试试题含解析

16．以边长为 2 的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为__________ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x . （1）求出函数 f x 在 R 上 解析式； （2）若 y f x 与 y m有 3 个交点，求实数 m 的取值范围. 18．已知函数 f x mx2 2mx nm 0在区间0,3 上的最大值为 5，最小值为 1
选项 B 中，函数 y xsinx 为偶函数，不合题意
选项 C 中，函数 y x x 1 为奇函数，但无最小值，故不合题意
选项
D
中，函数
y
cos
x
2
sinx
，为奇函数，且有最小值
1，符合题意
选D
2、B
【解析】不妨设 a b c d ， f x 的图像如图所示，
则 a b 4， log2 c log2 d ， 其中 1 b 0, 1 c 1,1 d 2 ，
设
f
A
sin
A 2cos
A tan
A 1，则
f
A
在
0,
2
单调递增，
f 0 sin 0 2cos0 tan 0 1 3 0 ，
在
0,
2
取
x
4
，得
f
4
sin
4
2 cos
4
tan
4
1
2 0， 2
f
3
sin
3
2
cos
3
tan
3
1
3
34 0， 2
因为
f
4
x
,x 1, x
0
0
，若函数
y
f (x) m 有四个零点 a,b,c,d
，则 abcd 的取值范围是
A.[0, 2)
B. [0, 3)
C. [1, 2)
D. [2, 3)
3． “ ”是“ sin 1 ”的（ ）
6
2
A.充分非必要条件 C.充要条件
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
，
再将得到的图象向右平移
π 4
个单位得
y=2
sin
2
x
4
6
2
sin
2x
π 3
故答案为：
y
2sin
2x
π 3
13、 208 ## 208 π
3
3
【解析】先根据面面垂直，取△ PAD 的外接圆圆心 G，梯形 ABCD 的外接圆圆心 F，分别过两点作对应平面的垂线， 找到交点为外接球球心 O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 【详解】如图，取 AD 的中点 E ， BC 的中点 F ，连 EF ， PE ，在 PE 上取点 G ，使得 PG 2GE ， 由 △PAD 是边长为 4 的等边三角形，四边形 ABCD 是等腰梯形， AB AD 1 BC ，
a
故选：A 10、B 【解析】由全称命题的否定即可得解. 【详解】因为命题“xR，exx10”为全称命题， 所以该命题的否定为：xR，exx10. 故选：B.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11、②③
【解析】由于 f x
3 sin 2x
cos 2x
为非奇非偶函数,
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
2 故 log2 c log2 d ，也就是 cd 1， 则 abcd ab b(4 b) (b 2)2 4 ，
因 1 b 0 ，故 abcd 0,3 .
故选：B.
【点睛】函数 y f x m有四个不同零点可以转化为 y f x 的图像与动直线 y m有四个不同的交点，注意函
（1）求 m ， n 的值； （2）若正实数 a ， b 满足 na mb 2 ，求 1 1 的最小值
a 4b 19．某行业计划从新的一年 2020 年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为 x(0 x 1) ，设 n 年后（2020 年记为
第 1 年）年产量为 2019 年的 a 倍. （1）请用 a，n 表示 x.
f
3
0
，所以
f
A
sin
A 2cos
A
tan
A
1的零点位于区间
π 4
,
π 3
，
即满足
sin
A
2
cos
A
tan
A
1的角
A
π 4
,
π 3
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令 f A sin A 2cos A tan A 1，根据零点存在定理判断函数的零点
所在的区间. 5、C
x
且 f e 1 3 0 ， f 3 ln3 1 0 ，所以 f e f 3 0
e
所以 f x ln x 3 的零点所在的大致区间是 e,3 x
故选： C
9、A
【解析】根据一元二次不等式与解集之间的关系可得
x1
x2
a
1 a
、
x1x2
1 ，结合
(x2 x1)2 (x1 x2 )2 4x1x2 计算即可.
【解析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2， AD 2 2 ，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边
长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴ AD 2 2 ，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为 2，下底为 4，高为 4 2 的直角梯形，
为（）
A. 3 2 2
C.12 2
6．已知函数
B. 3 2
D. 6 2 对任意 都有
，则 等于
A.2 或 0 C.0
B.-2 或 0 D.-2 或 2
7．已知 为锐角， 为钝角， cos 1 ,sin 3 ，则 cos( ) （）
3
5
A. 4 6 2 15
B. 7 15
C. 4 6 2 15
函
数的对称轴为 a，
函数的对称中心为（a,0）.
7、C 【解析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.
【详解】因为 为锐角， 为钝角， cos 1 ,sin 3 ，
3
5
所以 sin 1 cos2 1 1 2 2 ， 93
cos 1 sin2 1 9 4 ， 25 5
4．在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知 A 为锐
角 ABC 的内角，满足 sin A 2cos A tan A 1，则 A（ ）
A.
0,
π 6
B.
π 6
,
π 4
C.
π 4
,
π 3D.π 3 Nhomakorabea,
π 2
5．用斜二测画法画一个水平放置 平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中 BC=AB=2，则原平面图形的面积
数的图像有局部对称性，而且 c, d 还是倒数关系.
3、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】当 时， sin sin 1 ，
6
62
当 sin 1 时， 2k 或 5 2k , k Z ，
2
6
6
所以“ ”是“ sin 1 ”的充分非必要条件，
6
2
故选：A 4、C
的图象的一部分如图所示：
（1）求函数 （2）求函数
的解析式； 图象的对称轴方程及对称中心
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解析】选项 A 中，函数 y x 1 为奇函数，但无最小值，故满足题意 x
则 cos cos cos sin sin
1 3
4 5
3 5
22 3
4
6 15
2.
故选：C.
8、C
【解析】由题意，函数 f (x) lnx 3 在 (0, ) 上连续且单调递增，计算 f e ， f 3 ，根据零点存在性定理判断即 x 可
【详解】解：函数 f (x) lnx 3 在 (0, ) 上连续且单调递增，
A.3
B.
2
2
C.2
D.
3
10． “xR，exx10”的否定是（）
A.xR，exx10
B.xR，exx10
C.xR，exx10
D.xR，exx10
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．已知函数 f x 3sin2x cos2x ,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数；
【详解】由不等式 ax2 (a2 1)x a 0 的解集为{x x1 x x2} ，
得 a 0 ，不等式对应的一元二次方程为 ax2 (a2 1)x a 0 ，
方程的解为
x1、x2
，由韦达定理，得
x1
x2
a2 1 a
a
1 a
，
x1x2
1，
因为 x2 x1 1 ，所以 (x2 x1)2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 ， 即 (a 1 )2 4 1，整理，得 a2 a2 3 .
6
6
3 3 0 ,故④正确.当 2x 3π
2
2
时,
f
3π 4
3
2 1.732 0.707 1,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③. 2
12、
y
2sin
2
x
π 3
【解析】根据三角函数图象的变换可得答案.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍，得
y
2
sin
2x
π 6
②
4
,
6
是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为 ；
④该函数的图像关于点
7 12
,
0
对称；
⑤该函数的值域为1, 2.
其中正确命题的编号为 ______
12．已知函数
f
x
2
sin
x
π 6
，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向
右平移 π 个单位，得到函数的解析式______ 4
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是
A. y x 1 x
C. y x( x 1)
B. y x sin x D. y cos(x )
2
2．已知函数
f
(x)
|
log2 x2
（2）若 x 10% ，则至少要到哪一年才能使年产量不超过 2019 年的 25%？
参考数据： lg 2 0.301， lg 3 0.477 . 20．已知函数 f (x) x 1 ，
x
（1）证明 f (x) 在1, 上是增函数；
（2）求 f (x) 在1, 4上的最大值及最小值.
21．已知函数
①错误. x
π 4
,
π 6
,
2x
π, 2
π 3
,此时
f x
3 sin 2x cos 2x
2
sin
2x
π 6
,其在
π 4
,
π 6
上为增函数,
②正确.由于
f x π 3 sin 2x cos 2x f x ,所以函数最小正周期为 π ,③正确.由于
f
7π 12
3 sin 7π cos 7π
∴该平面图形 面积为 2 4 4 2 1 12 2 .
2
故选：C 6、D 【解析】分析：由条件可得，函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 f（ ）等于函数的最值，从而得出结论
详解：由题意可得，函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 f（ ）=±2，
故答案为±2
点睛：本题考查了函数 f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般
13．如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，△PAD 是边长为 4 的等边三角形，四边形 ABCD 是 等腰梯形， AB AD 1 BC ，则四棱锥 P ABCD 外接球的表面积是____________.
2
14．若 sin 3sin 2 ，则 2 tan( ) tan 的值为______ 15．已知偶函数 f x 在0, 单调递减， f 2 0 .若 f x 1 0 ，则 x 的取值范围是__________.
【解析】设设
f
A
sin
A 2cos
A
tan
A 1，则
f
A
在
0,
2
单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数
f A 的零点所在的区间，也即是方程 sin A 2cos A tan A 1的根所在的区间.
【详解】因为 A 为锐角 ABC 的内角，满足 sin A 2cos A tan A 1，
D. 3 8 2 15
8．函数 f x ln x 3 的零点所在的大致区间是（ ） x
A. 1, 2
B. 2, e
C. e,3
D. e,
9．关于 x 的不等式 ax2 a2 1 x a 0 的解集为x | x1 x x2 ，且 x2 x1 1 ，则 a2 a2 （）
3