2021届贵州省贵阳市高三调研考试数学试题(解析版)

2021届贵州省贵阳市高三调研考试数学试题
一、单选题
1．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或
a <【答案】C
【解析】试题分析：①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则
0a <；
若方程有两个负的实根，则必有102{001440
a a a
a >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得1
2
x =-
也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤．故答案为C
【解析】充要条件，一元二次方程根的分布
2．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3
π而得到.则21
arg(2z z -的值为（）
A ．
6
π
B ．
3
πC ．
23
πD ．
43
π【答案】C
【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3
π得到复数2z 的三角形式，从而求得
21
2
z z -的三角形式得解.【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,
1213(cos sin 3322
i
Z i O OZ ππ=+=+
21113
()2222
z z i --∴
=+
所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23
πθ∴=
故选：C
【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.3．关于x 的不等式22log log x x x x +<+的解为（）
A ．02x <<
B ．01
x <<C ．2
x <D ．1
x >【答案】B
【分析】由题意知0x >，不等式22log log x x x x +<+等价于2log 0x x ⋅<，从而得到2log 0x <，求得结果.
【详解】根据对数式有意义，可得0x >，
不等式22log log x x x x +<+等价于2log 0x x ⋅<，所以2log 0x <，解得01x <<，故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到2log 0x x ⋅<是解题的关键.
4．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（
）
A ．35(,)(,)244πππ
π B ．5(
,(,)424πππ
π C ．353(,)(,)2442
ππππ
D ．33(,(,)244
πππ
π 【答案】B
【分析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合[0,2]απ∈，求出角α的取值范围．
【详解】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：
sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，
当sin cos αα>，可得
52244
k k ππ
παπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k π
παπ<<
+或3222
k k πππαπ+<<+，k Z ∈．
∴
2242k k πππαπ+<<+或5224
k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，
42ππα<<或54
π
πα<<．02απ≤≤ ，
∴
42ππα<<或54
π
πα<<．故选：B ．
【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
5．已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{}
31,N x x n n Z ==+∈，
{}31,P x x n n ==-∈Z 且a M ∈，N b ∈，c P ∈，记d a b c =+-，则（
）
A ．()d M P ∈⋃
B ．d M
∈C ．d N
∈D ．d P
∈【答案】D
【分析】写出,,a b c 的表达形式，计算出d ，确定d 的形式，可得其所属集合．【详解】由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-，（123,,k k k Z ∈），
则1231233()23(1)1d a b c k k k k k k =+-=+-+=+-+-，而1231k k k Z +-+∈，∴d P ∈．故选：D ．
6．极坐标系中，若等边ABC 的两个顶点42,A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭、4
52,B π
⎛⎫
⎪⎝⎭
，那么顶点C 的极坐标可能是（）
A ．34π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．34,
4π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．()
π
D ．()
4,π【答案】A
【分析】由题意可知线段AB 的中点为极点O ，可计算出OC ，可得出OC AB ⊥，进而可求得顶点C 的极坐标.
【详解】由于等边ABC 的两个顶点42,A π⎛⎫ ⎪⎝
⎭、4
52,B π
⎛⎫
⎪⎝⎭
，则线段AB 的中点为极点O ，
由等腰三角形三线合一的性质可得OC AB ⊥，且3sin
432
OC AB π==⨯=3
424πππ+=
，37424πππ+=，因此，顶点C 的极坐标可能是34π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
故选：A.
7．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则球面积是（
）
A ．
16
9
πB ．83π
C ．
649
πD ．4π
【答案】C
【解析】∵D 是正△ABC 的中心，∴AD 是△ABC 的外接圆半径.∵AD ＝
23
2sin 603
AB =
︒，
又OD ＝12R ＝1
2OA ，OA ＝OD ＋AD ，∴R ＝21344R +，
∴R ＝649，∴球的表面积S ＝4πR ＝
64
9
π.故选C
8．将半径为R 的圆剪去如图所示的阴影部分(AC ，BD 为圆的直径)，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值是（
）
A ．
33
-B 2
C ．
223
3
D ．
3
2
233-【答案】A
【分析】根据题中条件，得到折成的正三棱锥的侧面是顶角为
6
π
的等腰
；求出底面边长，以及底面三角形的高，与侧面三角形的高，结合二面角的概念，由余弦定理，即可求出结果.【详解】由题意，在圆中，2
BAD π∠=
，()2
222AB AD R +=，AB AD =，则AB AD ==
，
所以折成的正三棱锥的侧面是顶角为6
π
的等腰三角形，即三棱锥的侧棱
；
所以底面边长为
562cos
cos cos 21246AB π
ππππ-
⎛⎫
⋅=⋅=⋅+ ⎪
⎝
⎭
)
62
14
R =⋅
=-，
画出该三棱锥的直观图如下：
记点A 在底面的投影为O ，根据正三棱锥的特征可得，点O 即为底面正三角形的重心，又侧面上的高AE BN ⊥，底面三角形中ME BN ⊥，所以AEM ∠即为正三棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，
又)33
1sin 32
ME R R π-=
-⋅=，
312AE R +=
=，
所以
22
2
2
2
2
42312632344cos 233331
22
R R R AE EM AM AEM AE EM +-+-+-∠===⋅.
故选：A.
【点睛】思路点睛：
求解二面角时，可根据二面角的定义，通过作辅助线，得出二面角的平面角，再由题中数据，通过解三角形，即可求出结果.
9．函数121log 1(1)1y x x x ⎛⎫
=++>
⎪-⎝
⎭的最大值是（）
A ．2-
B ．2
C ．3
-D ．3
【答案】A 【分析】令1111211t x x x x =+
+=-++--，用双勾函数的性质求得其最小值，再利用12
log y t =单调性求解.
【详解】令11
11211
t x x x x =+
+=-++--，由双勾函数知：t 在()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以当2x =时，t 取得最小值，最小值为4，又因为12
log y t =，在[4,)+∞上递减，
所以其最小值为min 12
log 42y ==-，
所以121log 1(1)1y x x x ⎛⎫
=++> ⎪-⎝
⎭
的最小值为2-.故选：A
【点睛】本题主要考查复合函数求最值以及对数函数和双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知()1
a x
f x x a -=--的反函数1()f x -的图象的对称中心是(1,3)-，则实数a 等于
（）
A ．2
B ．3
C ．–2
D ．–4
【答案】A
【分析】由已知求得原函数的对称中心得解.
【详解】因为()1a x
f x x a -=--的反函数1()f x -的图象的对称中心是(1,3)-，
所以函数()1a x
f x x a -=--的图象的对称中心是(3,1)-，
(1)11
()1111
a x x a f x x a x a x a ------===-+------对称中心为(1,1)
a +-所以132a a +=⇒=故选：A
【点睛】原函数与反函数关于y x =对称是解题关键.属于基础题.11
．在24+的展开式中，有理项共有（
）
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
【答案】C
【分析】由题意可得二项展开式共有25项，要求展开式中的有理项，只要在通项
24
7256
12r r
r r T C x
-+=⋅中，让
7256
r
-为整数，求解符合条件的r 即可.
【详解】由题意可得二项展开式的通项725246
24
214
2r
r r
r r r
r T C C x --+==⋅根据题意可得，
7256
r
-为整数时，展开式的项为有理项，则r ＝0，6，12，18，24，共有5项，故选：C.
【点睛】关键点点睛：该题主要考查了二项展开式的通项，找出符合条件的项是解题的关键．
12．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为8n
，则此人应选（）
A ．1楼
B ．2楼
C ．3楼
D ．4楼
【答案】C
【分析】根据题意，可知总的不满意度8
n n
=+，利用基本不等式求得其最小值，即可得到答案.
【详解】由题意，可得总的不满意度为：8n n +≥=，当且仅当8n n =，
即3n =≈时等号成立，所以选三楼.故选：C.
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，其中解答中认真审题，得出总的不满意度的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
二、填空题
13．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z =_________________；【答案】2i
+【分析】先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .
【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i
z i i
+=
=-+,即2.z i =+【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实
部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.
-a bi 14．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校1人，则有________种支教方案.【答案】720
【分析】首先分析题意，得到从三所学校中总共抽调5名教师，且每所学校至少抽调1人，有两种方案抽取，一是三所学校中有一所学校抽调3人，其余两所学校各抽调1人，二是三所学校中有一所学校抽调1人，其余两所学校各抽调2人，之后5人全排，求得结果.
【详解】根据题意可知从三所学校中总共抽调5名教师，且每所学校至少抽调1人，有两种方案抽取，
一是三所学校中有一所学校抽调3人，其余两所学校各抽调1人，有1
3C 种选择方案，二是三所学校中有一所学校抽调1人，其余两所学校各抽调2人，有13C 种选择方案，之后将5人安排到5所学校支援，共有1
1
5
335()720C C A +⋅=种支教方案，故答案为：720.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合的综合问题，该题解题思路如下：（1）首先根据题意，找出5人的选取方案；（2）之后往各个学校分配的时候全排即可；（3）解决排列组合的综合问题时，要注意先选后排.15．过双曲线
()
()
2
2
3212
6
y x -+-
=的一个焦点作垂直于实轴的直线，与双曲线的两
条渐近线分别交于A 、B .则线段AB 的长为________.
【答案】【分析】作代换3y y '=-，2x x '=+，可得出双曲线的方程为22126y x ''-=，求出双
曲线22
126
y x ''-=的焦点坐标与渐近线方程，进而可求得线段AB 的长.
【详解】作代换3y y '=-，2x x '=+，在平面直角坐标系x O y '''中，双曲线的方程为
22
126
y x ''-=，
其中a '=
，b '=c '=，双曲线的渐近线方程为3
3
a y x x
b ''''=±
=±'，
过双曲线22
126
y x ''-=的焦点(0,且与实轴垂直的直线的方程为y '=，
将y '=代入直线方程3
y x ''=
，可得x '=，
因此，线段AB 的长为2x '=.
故答案为：.
16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面对角线1AB ，那么另外三条线段可以是________.(只需写出一种情况即可)
【答案】1BC ，CD ，11A D （或1CC ，11A D ，DB 或1A D ，BC ，11C D 或1DD ，BC ，
11A C 等）
【分析】结合图形，利用异面直线的概念，把与1AB 成异面直线的面对角线写出一条，正方体的棱写出两条即得答案.
【详解】在在正方体1111ABCD A B C D -中，与1AB 成异面直线的面对角线可以是1BC ，正方体的棱可以是CD ，11A D ，
与1AB 成异面直线的面对角线可以是1CC ，正方体的棱可以是11A D ，DB ，与1AB 成异面直线的面对角线可以是1A D ，正方体的棱可以是BC ，11C D ，与1AB 成异面直线的面对角线可以是11A C ，正方体的棱可以是1DD ，BC ，
故答案为：1BC ，CD ，11A D （或1CC ，11A D ，DB 或1A D ，BC ，11C D 或1DD ，BC ，
11A C 等）
【点睛】关键点点睛：该题考查的是异面直线的定义以及判断方法，在解题的过程中，关键是要掌握正方体的结果特征，可以结合图形来判断.三、解答题
17．如图，在多面体中，BA ⊥平面ACD ，ED ⊥平面ACD .2AC AD CD ===，
ED =
，AB =，F 为CE 的中点.
（1）求证：BF ⊥平面CDE ；（2）求该多面体的体积；
（3）求平面BCE 与平面ACD 所成的锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）3
π
.【分析】（1）由已知可证12AB DE
，取CD 的中点H ，1
2
FH DE ，所以//BF AH ，再由AH CD ⊥，AH ED ⊥证明，AH ⊥平面CDE ，进而可证明BF ⊥平面CDE ；（2）ABCDE B ACD B CDE V V V --=+，求出两个三棱锥的体积即可求解.
（3）建立空间直角坐标系，写出,,,D B C E 四点的坐标，求出平面BCE 的一个法向量，
平面ACD 的法向量(0,0,DE =
，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为BA ⊥平面ACD ，ED ⊥平面ACD ，ED =，AB =，
所以1
2
AB DE
取CD 的中点H ，连接AH ，FH ，因为F 为CE 的中点，所以1
2
FH DE
，所以AB FH ，所以四边形ABFH 为平行四边形，所以//BF AH
因为2AC AD CD ===，H 为CD 的中点，所以AH CD ⊥，
因为ED ⊥平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，所以AH ED ⊥，
因为CD ED D = ，所以AH ⊥平面CDE ，
因为//BF AH ，所以BF ⊥平面CDE .
（2）2113231334B ACD ACD V S BA -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ，由（1）知3BF AH ==
，BF ⊥平面CDE ，11122332332
B CDE CDE V S BF -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，所以123
ABCDE B ACD B CDE V V V --=+=+=（3）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D (3B ，()
3,0C ，(0,0,23E ，设平面BCE 的一个法向量为(),,n x y z = ，
(3,3BC =- ，(3BE =- ，由330230
n BC x y z n BE x z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3x =2z =，3y =，所以)
3,3,2n = 因为ED ⊥平面ACD ，所以平面ACD 的法向量(0,0,3DE = ，所以231cos ,2
423n DE n DE n DE ⋅==⨯⨯ ，
因为0,n DE π≤≤ ，
,3
n DE π= 所以平面BCE 与平面ACD 所成的锐二面角为
3π.【点睛】方法点睛：求二面角的方法总结
（1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角（2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两个交线所成的角；
（3）三垂线法：过一个半平面内的一点A 作另一个半平面的一条垂线，过垂足B 作棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则ACB ∠即为二面角的平面角；
（4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角.18．国际上常用恩格尔系数(记作n )来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：100%n =⨯食品消费支出总额消费支出总额
，各种类型家庭的n 如下表所示：家庭
类型贫困
温饱小康富裕最富裕
n 60%n >50%60%n <≤40%50%n <≤30%40%n <≤30%n ≤根据某市城区家庭抽样调查统计，1996年至2001年年间，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元.
（1）若1996年该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为8600元，问2001年能否达到富裕？请说明理由.
（2）若2001年比1996年的消费支出总额增加34%，而其中食品消费支出总额增加10%，问从哪一年起能达到富裕？请说明理由.
【答案】（1）2001年能达到富裕；答案见解析；（2）到2002年达到富裕；答案见解析.
【分析】（1）根据题中条件，求出食品消费支出总额，再由计算公式，计算2001年的恩格尔系数2001n ，即可得出结果；
（2）设1996年的消费支出总额为a 元，其中食品消费支出总额为b 元，根据题中条件，求出10000,5000.
a b ==【详解】（1）∵食品消费支出总额为860050%4300⨯=元，
200143001005480040%8600680512000
n +⨯∴===+⨯，
∴2001年能达到富裕.
（2）设1996年的消费支出总额为a 元，其中食品消费支出总额为b 元，则
(134%)5680a a +=+⨯，(110%)5100b b +=+⨯，
∴10000a =，5000b =，
而经过5年，20015100550041%568013400b n a +⨯=
=≈+⨯，经过6年，20026100560039.8%668014080
b n a +⨯==≈+⨯，故到2002年达到富裕.
19．解不等式2log (1)log (1)(1)a a x ax a +≥+>.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】利用对数函数单调性化简不等式，再分类讨论得解
【详解】原不等式2101110(1)(1)[(2)]0(1)1
x x ax a x a a x x a x ax +>⎧⎪>-⎧⎪⎪⎪⎪⇔+>>⇒>->⇒⎨⎨⎪⎪--≥⎪⎪⎩⎪+≥+⎩[]1(1)(2)0(1)x a a x x a a ⎧>->⎪⎨⎪--≥>⎩
①∴2a =时，不等式的解为1;x a >-②2a >时，20a ->故原不等式解为10x a
-<≤或2x a ≥-③当12a <<时，20a -<，2
1(1)(2)()0a a a a
----=> ∴原不等式解为12x a a
-<≤-或0x ≥【点睛】解不等式时，分类讨论标准是方程根的大小，注意要讨论完整.
20．如图：A 、B 是两个定点，且2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为
3.（1）建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程；
（2）求证：点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比为定值；
（3）若点P 到A 、B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求P 点的坐标.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）证明见解析；（3）点P 的坐标是：或(0,.【分析】（1）以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，可得P 点的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出其方程；
（2）由椭圆的第二定义可得；
（3）由基本不等式可得PA PB =时，m 最大，这时点P 在y 轴上，即可求出坐标.
【详解】（1）解：以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则点A ，B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-，
l 为MB 的垂直平分线，
,4PM PB PA PB PA PM ∴=+=+=.
P ∴点的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：22143
x y +=.（2）证明：∵椭圆的右准线方程是4x =恰为直线k 的方程.
根据椭圆的定义知点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比为离心率12e =
；（3）解：2
()44PA PB m PA PB +=⋅≤=，当且仅当PA PB =时，m 最大，这
时点P 在y 轴上，故点P 的坐标是：或(0,.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义和性质的应用，解题的关键是由椭圆的定义得出P 点的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，由此可容易求得第二问和第三问.
21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列.
（1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围；
（2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式；
（3）若12n n S b b b =+++ ，求1lim →∞n n
S .【答案】（1
）102q +<<；（2）13n n b q -=；（3）0,11lim 1,013
n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩.【分析】（1）根据等比数列的定义，由题中条件，得到112n n n a a q -+⋅=，解11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先得到{}n b 是首项为13b =，公比为q 的等比数列，进而可求出n b ；
（3）由等比数列的求和公式，分别讨论1q =，1q >，01q <<三种情况，由无穷等比数列的极限，即可得出结果.
【详解】（1）{}1n n a a +⋅ 是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=1
12n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)
n n n q q q q -++>>210q q ∴--<解得15
02
q <<（2）121n n n n a a q a a +++= ，2n n
a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n
b a a -=+ ，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n n n n n n n
b a a qa qa q b a a a a +++---++===++{}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，1
3n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n
→∞→∞==；当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，111
11lim lim lim 03(1)131n n n n n n n n q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
当01q <<时，1111lim
3lim 31n n n n q S S q →∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=.综上，0,11lim 1,013
n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩.【点睛】思路点睛：
求无穷等比数列前n 项和的极限时，一般需要利用分类讨论的方法，讨论公比的范围，根据等比数列的求和公式，以及极限的运算法则，即可求出结果.
22．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，当a ，[]1,1b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b
+>+.（1）判断函数()f x 的单调性，并给以证明；
（2）若(1)1f =且2()21f x m bm ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()f x 在[]1,1-上为增函数；证明见解析；（2）2m ≤-或2m ≥或0m =.
【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明；
（2）根据单调性求出[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值，即2max ()21f x m bm ≤-+对任意
的[]1,1b ∈-恒成立，只需()()22120120g m m g m m ⎧-=+≥⎪⎨=-+≥⎪⎩
，解不等式组即可求解.【详解】（1）证明：设[]
12,1,1,x x ∈-且12x x <，()()()()()()()2121212121f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=
⨯--，因为[]11,1x ∈-，所以[]11,1x -∈-，
所以()()
21210f x f x x x +->-，210x x ->，
所以()()()()
()212121210f x f x f x f x x x x x +--=
⨯->-，即()()
21f x f x >即()f x 在[]1,1-上为增函数.
（2）(1)1f = 且()f x 在[]1,1-上为增函数.对[]1,1x ∈-，有()(1) 1.f x f ≤=由题意，对所有的[][]2
1,1,1,1,()21x b f x m bm ∈-∈-≤-+恒成立，应有2221120.
m bm m bm -+≥⇒-≥记2()2,g b mb m =-+对所有[]
1,1,()0b g b ∈-≥成立.所以()()22120120
g m m g m m ⎧-=+≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得：2m ≤-或2m ≥或0m =，所以实数m 的取值范围为2m ≤-或2m ≥或0m =.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；
（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.。