2022年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
C
1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】真子集个数为23－1=7,故选C.
2.函数f(x)=lg(x－1)的定义域是( )
B
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.[ 1,+∞)
D.[2,+∞)【解析】由题意得,x－1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.
B
3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,－3),若a⊥b,则实数x等于( )
A.－1
B.1
C.－9
D.9
【解析】a·b=3x－3=0,即x=1,故选B.
C
5.若复数(1+a i)(3－i)(i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,
B
则实数a=( )
【解析】(1+a i)(3－i)=3－i+3a i+a=(a+3)+(3a－1)i,由题意得a+3+3a－1=0,解得a=－ ,故选B.
6.某高中有三个年级,其中高一学生900人,高二学生860人,现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况,在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,则该高中的学生总人数应C
为( )
A.2600
B.2580
C.2540
D.2500
【解析】设高三学生n人,∵抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,∴⇒n=780;∴该高中的学生总人数应为:780+860+900=2540,故选C.
7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象( )C
8.下列说法不正确的是( )
D
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;
B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;
C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;
D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.
B
C
11.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为3 cm,将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水上升了0.5 cm,则玻璃球的半径为( )
A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.2.5 cm
B 【解析】由设玻璃球的体积为V 1,水上升的体积为V 2,则有V 1=V 2,设玻璃球的半径为
r
则玻璃球的半径为1.5 cm .故选B.
12.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是( )
C
【解析】由题意知0<a<1,故log2a<0,A错误;由0<a<1,0<b<1,故－1<－b<0.
D A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
C
15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速
D
度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则( )
【解析】设甲地到乙地的距离为s.
二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
－3 16.已知向量m=(a,－1),n=(－1,3),若m⊥n,则a= . 【解析】因为向量m=(a,－1),n=(－1,3),
且m⊥n,
所以m·n=－a－3=0,
解得a=－3.
故答案为－3.
17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是 .
【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P= .
19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于 .
【解析】因为2a sin B=b,由正弦定理有2sin A sin B=sin B.
三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;
(3)求四棱锥A-BCDE的体积.
【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.∵F,G分别是AD,AC的中点,
∴FG∥CD,且FG= DC=1.
∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,
∴EF∥BG.
又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,
∴EF∥平面ABC.
(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,∴BG⊥AC.又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,
∴DC⊥BG,
∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,
∴BG⊥平面ADC.
∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.
又∵EF⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.
(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.
22.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.
一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5
结算时间(分钟/
12345人)
已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)
【解】(1)由已知得25+y+5=40,x+30=60,解得x=30,y=10.该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”, A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为5分钟”,将频率视为概率得。