(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(含答案解析)(4)

一、选择题
1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为
4
5
，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．
112
125
B ．
80125
C ．
113
125
D ．
124
125
2．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A ．2800元
B ．2880元
C ．3500元
D ．3600元
3．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则
21p q
+的最小值为（ ） A ．
274
B ．
92
C ．3
D ．4
4．连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为（ ） A ．
112
B ．
572
C ．
115
D ．
5216
5．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）
[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100
B ．101
C ．102
D ．D ．103
6．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A ．
15
B ．
310
C ．
12
D ．
35
7．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于( ) A ．
6227
B ．
73
C ．
6427
D ．
6527
8．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量
11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩，则()D X =（ ）
A ．1
B ．(1)m m -
C ．4(1)
m m -
D ．4(1)(21)m m m --
9．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．
参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261
B ．341
C ．477
D ．683
10．设随机变量ξ的概率分布列为1()()3
k
P k a ξ==，其中0,1,2k =，那么a 的值为
（ ） A ．
35
B ．
2713
C ．
919
D ．
913
11．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
12．设样本x 1,x 2,…,x 10数据的平均值和方差分别为3和5,若y i =x i +a(a 为非零实数,i=1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A ．3，5
B ．3+a ，5
C ．3+a ，5+a
D ．3，5+a
二、填空题
13．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A |C )＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P (C )＝0.005，则P (C |A )＝______．(精确到0.001)
14．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.
15．已知某人每次投篮投中的概率均为1
3
，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是__________.
16．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球3次的得分ξ的均值为______.
17．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天
能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：
*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，
该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.
18．随机变量ξ的分布列如下：
若()3
E ξ=
，则()D ξ=__________. 19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=1
2
,且甲比乙投中次数多的概率为
7
36
,则q 的值为____. 20．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=300-300
12C ?33k
k
k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(k=0,1,2,…,300),则E (ξ)=____.
三、解答题
21．甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为
3
4
，乙每轮答对的概率为45.在每轮答题
中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率； （2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率. 22．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
1
2和25
，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率
23．2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP 抽样调查了非一线城市M 和一线城市N 各100名用户的日使用时
长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.
（1）请填写以下22
⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户不活跃用户合计
城市M
城市N
合计
临界值表：
()
2
≥0.0500.010
P K k
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. （2）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
24．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和3
5
，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B 研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．
25．从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示：
（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+．用所求回归方程预测2020年（5t =）方便面在该城市的年销量；
（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．
参考公式：回归方程：y bt a =+，其中1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑∑，a y bt =-．
参考数据：
4
1
()()135.5i
i
i t t y y =--=-∑．
26．某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选
项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x （1）求55x =的概率； （2）求x 的分布列和数学期望.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】
解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为4
5
，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125
P C =+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【分析】
设检测机器所需检测费为X ，则X 的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值. 【详解】
设检测机器所需检测费为X ，则X 的可能取值为1600，2400，3200，
211
(1600)5410
P X ==⨯=，
2313213213
(2400)54354354310P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
133(3200)110105
P X ==-
-=， 则133
()160024003200280010105
E X =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.
3．B
解析：B 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可
求得21
p q
+的最小值.
【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布(),X
B n p ,且2EX =,DX q =
由二项分布的均值与方差公式可得()21np
q np p =⎧⎨
=-⎩, 化简可得22p q +=,即12q
p +=
由基本不等式化简可得21
p q +
221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝
⎝⎭⎭
25259
22q p p q ≥+=
++= 即
21p q +的最小值为92
故选:B 【点睛】
本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于10包含的基本事
件有6个，由此能求出一次出现向上的点数之和不小于10的概率，再结合独立重复试验的概率公式求解即可． 【详解】
连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子1次， 基本事件总数n ＝6×6＝36，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有6个， ∴每次投掷，两骰子点数之和不小于10的概率为16
， 又投掷3次，相当于3次独立重复试验，
故恰有两次点数之和不小于10的概率为2
23
1556672
C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】
本题考查独立重复试验的概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．C
解析：C 【分析】 由
()()
0.13222
59P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称
性，即可求解. 【详解】
由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则
()()
220.95440.6826
2
0.13592
P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-=
=，
所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】
本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6．A
解析：A 【分析】
由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，由此能求出已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率． 【详解】
由题意设这个班有100人，
则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格，
∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为31
155
p ==，故选A ． 【点睛】
本题主要考查概率的求法，设这个班有100人可使得该问题更加直观明了，属于基础题.
7．D
解析：D 【分析】
本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可． 【详解】
()()()2132221343242344
1141,2327327C C C A C C C P X P X +======, ()234344
339
C A P X ===
列表：
所以数学期望1232727927
EX =⋅+⋅+⋅=，故选D ． 【点睛】
本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．
8．C
解析：C 【分析】
根据随机试验的结果只有A 和A ，P （A ）=m ，使得随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生
发生
，得到随机
变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果． 【详解】
∵由题意知一随机试验的结果只有A 和A ，
且P （A ）=m ，随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩
发生
发生
∴X 服从两点分布，
∴EX=1(1)(1)21m m m ⨯+-⨯-=-,
∴DX=4m （1-m ）． 故选C ．
【点睛】
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
9．B
解析：B 【解析】
分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是
(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为
1
10000.682?63412
⨯⨯≈人. 故选B .
点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
10．D
解析：D 【解析】
分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于
a 的等量关系式，最后求得结果.
详解：根据分布列的性质可得，
()()()012
1110121333P P P a a a ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
解得9
13
a =
，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a 所满足的等量关系式，最后求得结果.
11．C
解析：C 【解析】
∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，
P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝
1
2
P (0<ξ<4)＝0.3 12．B
解析：B 【解析】
根据题意,样本x 1,x 2,…,x 10数据的平均值和方差分别为3和5， 则有x =1
10
(x 1+x 2+…+x 10)=3， S 2x =
1
10
[(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2]=5， 对于y i =x i +a ； 则有y =1
10
(x 1+a +x 2+a +…+x 10+a )=(x 1+x 2+…+x 10+10a )=3+a ， S 2y =
1
10
[(y 1-3-a )2+(y 2-3-a )2+…+(y 10-3-a )2]=5， 本题选择B 选项.
二、填空题
13．087【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果【详解】因为所以因为所以所以由全概率公式可得因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键
解析：087 【分析】
根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】
因为()|0.95P A C =，所以()
|1P A C =-()
|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，
所以由全概率公式可得()()()()()
||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以
()
|P C A ()()()|()
0.950.00519
0.0870.950.0050.050.995218
|()|()
P A C P C P A C P C P A C P C ⨯=
=
=≈⨯+⨯+．
故答案为：0.087． 【点睛】
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．
14．【分析】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件计算出利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为【详解】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件则当且仅当事件或事件发生时系统正常工作当且仅当 解析：242r r -
【分析】
记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，计算出()P A 、()P B ，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为()()
1P A P B -. 【详解】
记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，则()()2
P A P B r ==，
当且仅当事件A 或事件B 发生时，系统正常工作， 当且仅当事件A 和事件B 都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为()()
(
)
2
2241112P P A P B r r r =-=--=-.
故答案为：242r r -. 【点睛】
关键点点睛：本题考查事件概率的计算，解本题的关键就是确定事件“系统正常运行”的对立事件为“两条线路都不工作”，进而可利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式来进行求解.
15．【分析】第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中根据独立重复试验的知识处理即可【详解】解：依题意恰好在第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中所以概率为：故答案为：【点睛】本题考查独立重复试 解析：
881
【分析】
第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的知识处理即可． 【详解】
解：依题意，恰好在第五次结束投篮， 则前四次有两次投中，且第五次投中， 所以概率为：2
2241118()(1)33381
p C =⨯⨯-⨯=．
故答案为：8
81
． 【点睛】
本题考查独立重复试验的知识，利用了二项分布求概率的公式．
16．1【分析】结合题意可知得分的取值为分别计算出每一种情况的概率最后运用数学期望公式求出结果【详解】由题意罚球3次的得分的取值情况为罚球命中的概率为07则罚球不中的概率为则有:所以故答案为:【点睛】本题
解析：1 【分析】
结合题意可知得分ξ的取值为0,1,2,3,分别计算出每一种情况的概率,最后运用数学期望公式求出结果.
【详解】
由题意罚球3次的得分ξ的取值情况为0,1,2,3,罚球命中的概率为0.7,则罚球不中的概率为
10.70.3-=,则有: 3327
(0)()101000P ξ===,
21337189
(1)()()10101000P C ξ===,
22337441
(2)()()10101000P C ξ===,
37343
(3)()101000
P ξ===,
所以27189441343
()0123 2.11000100010001000
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为:2.1 【点睛】
本题考查了求均值问题,在求解过程中不要遗漏可能出现的情况,并能正确求出各情况的结果,需要掌握解题方法.
17．25【分析】先根据条件求出分布列和期望再根据购进17份比购进18份的利润的期望值大即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜表示当天的利润（单位：元）那么的分布列为 65 75 85
解析：25 【分析】
先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】
解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为
1Y 的数学期望()16575100100E Y =⨯
+⨯83001085100100
x x
--+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为
2Y 的数学期望()26070100100E Y =⨯
+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100
x
-=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴
830010854020100100
x x
-->，且30x <，
解得2430x <<，又*x ∈N ， ∴
x 的最小值为25，
故答案为：25． 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概
解析：59
【分析】
利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出
()D ξ的值．
【详解】
由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
，解得16
12a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
因此，()222
11111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59． 【点睛】
本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．
19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投
解析：2
3
【分析】
由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】
甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
20．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则
解析：【解析】
分析：由二项分布的期望公式计算． 详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
,所以E (ξ)=3001
3
⨯
=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，
(1)D np p ξ=-．
三、解答题
21．（1）3
8；（2）2150
【分析】
（1）两轮中答对一道题的情形为：
第一种情况：甲第一轮答对1题，第二轮答错1题； 第二种情况：甲第一轮答错1题，第二轮答对1题； 然后，根据以上情况，列式求解即可 （2）答对三道题目的情况有：
第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题； 第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题； 然后，根据以上情况，列式求解即可 【详解】
（1）设0A 表示甲每轮答错1道题目的事件，1A 表示甲每轮答对1道题目的事件，则
01()4P A =
，13
()4
P A =，两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题，故概率为
01103
()()()()8
P P A P A P A P A =+=
； （2）设2A 表示甲答对0B 表示乙每轮答错1道题目的事件，1B 表示乙每轮答对1道题目的
事件，则
01()5P B =
，14
()5
P B =，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有： 第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题：
11101101()()()()()()()()P A P A P B P B P A P A P B P B +2
2
341314945545550
⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题：
01111011()()()()()()()()P A P A P B P B P A P A P B P B +22
134314644544525
⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为9621502550
+= 【点睛】
解题关键在于把情况进行分类，通过分情况再列相关式子求解即可，难度属于中档题 22．（1）3132
；（2）320．
【分析】
（1）至少1次击中目标的对立事件是5次都未击中目标，由对立事件概率公式计算可得； （2）甲恰好比乙多击中目标2次分为两个互斥事件：甲击中2次乙击中0次，甲击中3次乙击中1次，由此可计算出概率． 【详解】
（1）甲射击5次，1次都未击中的概率为5
111232
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴甲至少1次未击中目标的概
率为13113232
P =-
=； （2）各射击3次，甲击中2次乙击中0次的概率是2
3
213212121335125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，甲击中3次乙击中1次的概率为3
2
1
23122271255500P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为1227312550020
+=． 【点睛】
本题考查n 次独立重复试验的概率计算公式，考查互斥事件的概率公式，解题关键是把一个事件拆成两个互斥事件的和．
23．（1）填表见解析；有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关；（2）分布列见解析；期望为2. 【分析】
（1）根据频率分布直方图分别求出城市M 、N 中的活跃用户与不活跃用户，即可得出列
联表.
（2）由统计数据可知，城市M 中活跃用户占
35
，城市N 中活跃用户占4
5，设从M 城市
中任选的2名用户中活跃用户数为X ，3~2,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设从N 城市中任选的1名用户中
活跃用户数为Y ，Y 服从两点分布，0,1,2,3ξ=，利用二项分布求出概率即可得出分布
列，再利用期望公式即可求解. 【详解】
由已知可得以下22⨯列联表：
计算()2
2200602080402009.524 6.6351001001406021
⨯⨯-⨯==≈≥⨯⨯⨯K ， 所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.
（2）由统计数据可知，城市M 中活跃用户占35
，城市N 中活跃用户占4
5，
设从M 城市中任选的2名用户中活跃用户数为X ，则3~2,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
设从N 城市中任选的1名用户中活跃用户数为Y ，则Y 服从两点分布， 其中()4
15
==
P Y .故0,1,2,3ξ=， ()()()2
0221400055125
ξ⎛⎫===⋅==⋅= ⎪
⎝⎭P P X P Y C ； ()()()()()10110P P X P Y P X P Y ξ===⋅=+=⋅= 2
12
2243212855
555125C C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅=
⎪⎝⎭； ()()()()()21120P P X P Y P X P Y ξ===⋅=+=⋅= 2
1222234315755555125
C C ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅=
⎪⎝⎭； ()()()2
22
343632155125
ξ⎛⎫===⋅==⋅=
⎪⎝⎭P P X P Y C . 故所求ξ的分布列为
()01232125125125125
ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=E . 【点睛】
本题考查了列联表、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了考生的数据处理能力、分析问题的能力，属于中档题. 24．（1）9
20
；（2）见解析，121.5万元． 【分析】
（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P （A ）；
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220．利用相互独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，列出分布列，算出期望即可. 【详解】
解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，则 P （A ）＝（134-
）33
54⨯+⨯（135
）9
20=；
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220． 由独立试验的概率计算公式可得，P （ξ＝0）＝（13
4
-）（135
）110=，
P （ξ＝50）333
14520
⎛
⎫=-⨯=
⎪⎝⎭， P （ξ＝80）33314510⎛⎫=
⨯-= ⎪⎝⎭， P （ξ＝220）3394520
=
⨯=， ∴ξ的分布列如下：
则数学期望E （ξ）9010=-⨯+50802010⨯+⨯+22020
⨯=121.5万元． 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列与均值的计算，考查了学生的运算求解能力.
25．（1）27.1491.5y t =-+，356万包；（2）分布列详见解析，9()10
E ξ=． 【分析】
（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.
（2）ξ的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】 （1） 2.5t =，462444404385
423.754
y +++=
=，
()()()()4
2
2
2
2
21
()1 2.52 2.53 2.54 2.55i i t t =-=-+-+-+-=∑，
135.5
27.15
b -=
=-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+. 当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=.
（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，
所以37310C 7(0)C 24P ξ===；1237
310C C 21(1)C 40P ξ===； 21
373
10C C 7(2)C 40
P ξ===； 33310C 1
(3)C 120
P ξ===，
故分布列为：
()012324404012010
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）13.（2）分布列答案见解析，数学期望1553
. 【分析】
（1）选对一道能排除2个选项的概率1
()2
P A =
，选对一道能排除1个选项的概率1
()3
P B =
，考生得55分时可以A 对2道，B 对0道或者A 对1道，B 对1道，再由相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）该考生所得分数45,50,55,60x =，分别求出其概率，即可列出分布列，并求出期望. 【详解】
（1）能排除2个选项的试题记为A 类试题；设选对一道A 类试题为A ，则1()2
P A =， 能排除1个选项的试题记为B 类试题；设选对一道B 类试题为B ，则1()3
P B =， 该考生选择题得55分可以为：
①A 对2道，B 对0道，则概率为22
2122()2312C ⨯=；
②A 对1道，B 对1道，则概率为12
2112()2312
C ⨯=；
则221
(55)12123
P x ==
+=； （2）该考生所得分数45,50,55,60x =
02
2121(45)()236
P x C ==⨯=；
1202
2212115(50)()()232312P x C C ==⨯+⨯=；
02
2111(60)()2312
P x C ==⨯=；
∴X 的分布列为：
1155455055606123123
Ex =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查概率的求法、离散型随机变量分布列和数学期望的求法，考查学生分析和计算能力，属于中档题.。