2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1，2} C ．﹣1 D ．{﹣1}
2．复数z =1−i
2+i
（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．15
B ．35
C ．−35
D ．35
i
3．已知向量a →
=(m ，2)，b →
=(4，−8)，若a →
=λb →
，则实数m 的值是（ ） A ．﹣4
B ．﹣1
C ．1
D ．4
4．函数y =(12
)x 2
−2x+1的单调道减区间为（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[1，+∞）
C ．(−∞，√2]
D ．[√2，+∞)
5．已知直线 l 1：ax ﹣3y ﹣3＝0，l 2：3x ﹣ay +1＝0，则“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足AP →=35AB →+13AD →+14
AA 1→
，则点P 到直线AB
的距离为（ ） A ．
25
144
B ．
5
12
C ．
1320
D ．
√105
15
8．设m ∈R ，若过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点p （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值是（ ） A ．52
B ．.2
C ．.3
D ．.5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知A （﹣1，﹣2），B （2，4）两点到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值可能为（ ） A ．﹣4
B ．3
C ．﹣2
D ．1
10．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．得分在[40，60）之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）之间的概率为0.5
C．估计得分的众数为55
D．这100名参赛者得分的中位数为65
11．已知a＞b＞0，且ab＝1，则下列式子正确的有（）
A．log2a+log2b＞0B．log2a•log2b＜0
C．2a+2b＞4D．b2−1
a
＞0
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别为B1C1，A1D1，CD的中点，O，P分别为BE，CC1上的动点，作平面α∥BE截正方体的截面为β，则下列说法中正确的是（）
A．β不可能是六边形
B．存在点P，使得BE⊥FP
C．当α经过点F，P时，点D到平面α的距离的最大值为2√6 3
D．OP+PG的最小值为6√5 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u→=（﹣2，0，5），v→=（t，3，2），则t值是．
14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为．
15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y＝x上的概率为．
16．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax3+bx．若
f（0）+f（3）＝6，则f(2023
4
)=．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知A （2，3），B （﹣4，1），C （0，﹣3）． （1）求直线AB 和AC 的斜率；
（2）若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．
18．（12分）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足
ON →=2NM →，点P 满足AP →=23
AN →
．
（1）用向量 OA →，OB →，OC → 表示OP →
； （2）求|OP →
|．
19．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线x ﹣2y +5＝0垂直；②过点（2，﹣3）；③与直线2x +y +2＝0平行． 问题：已知直线l 过点P （1，﹣1），且_____． （1）求直线l 的一般式方程；
（2）已知M （3，﹣1），O 为坐标原点，在直线l 上求点N 坐标，使得|MN |﹣|ON |最大．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝3，AB ＝4，BC ＝5，点D 是线段BC 的中点． （1）求证：AB ⊥A 1C ；
（2）求D 点到平面A 1B 1C 的距离．
21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是一个矩形，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，AB ＝AE ＝2，AD ＝4，∠BAE ＝120°． （1）求证：AE ∥平面BFD ；
（2）若平面EAB ⊥平面ABCD ，求平面EAB 与平面FCD 的夹角的余弦值．
22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1． （1）求B ；
（2）若AB →
⋅AC →
＜1
2，求1a +1c
的取值范围．
2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}
B ．{0，1，2}
C ．﹣1
D ．{﹣1}
解：∵集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≥0}＝{x |x ≥3，或x ≤﹣1}，∴M ∩N ＝{﹣1}． 故选：D ． 2．复数z =1−i
2+i
（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1
5
B ．35
C ．−35
D ．35
i
解：化简可得z =1−i 2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−i−2i+i 222−i 2
=1−3i 5=15−35i ，∴复数的虚部为：−3
5 故选：C ．
3．已知向量a →
=(m ，2)，b →
=(4，−8)，若a →
=λb →
，则实数m 的值是（ ） A ．﹣4
B ．﹣1
C ．1
D ．4
解：a →
=λb →
，b →=(4，−8)，则a →
，b →
共线，
a →
=(m ，2)，b →
=(4，−8)，则﹣8m ＝2×4，解得m ＝﹣1． 故选：B ．
4．函数y =(12
)x 2
−2x+1的单调道减区间为（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[1，+∞）
C ．(−∞，√2]
D ．[√2，+∞)
解：根据题意，函数y =(12
)x 2
−2x+1，
设t ＝x 2﹣2x +1，则y ＝（1
2
）t ，
t ＝x 2﹣2x +1在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， 而y ＝（1
2
）t 在R 上为减函数，
故函数y =(12
)x 2
−2x+1的单调减区间为（1，+∞）．
故选：B ．
5．已知直线 l 1：ax ﹣3y ﹣3＝0，l 2：3x ﹣ay +1＝0，则“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：直线 l 1：ax ﹣3y ﹣3＝0，l 2：3x ﹣ay +1＝0，当l 1∥l 2时， a 2＝9，解得a ＝±3；当a ＝±3时，两直线不重合． 故“a ＝3”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 故选：A ．
6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解：如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ， 则ON ∥CD ，MN ∥AB ，∴∠ONM 或其补角即为所求的角．
∵平面ABC 垂直于平面ACD ，BO ⊥AC ，∴BO ⊥平面ACD ，得BO ⊥OD ． 设正方形边长为2，OB ＝OD =√2，∴BD ＝2，则OM =1
2
BD =1．
∴ON ＝MN ＝OM ＝1．则△OMN 是等边三角形，得∠ONM ＝60°． ∴直线AB 与CD 所成的角为60°． 故选：B ．
7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足AP →
=35AB →+13AD →+14
AA 1→
，则点P 到直线AB
的距离为（ ） A ．
25
144 B ．
5
12
C ．
1320
D ．
√105
15
解：如图，过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM ⊥AB 于点N ，连接PN ，则PN 即为所求， 因为满足AP →
=35AB →+13AD →+14AA 1→，所以AN =35，MN =13，MP =14，所以PN =√MN 2+MP 2=5
12
，
故选：B ．
8．设m ∈R ，若过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点p （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值是（ ） A ．5
2
B ．.2
C ．.3
D ．.5
解：由题意得A （0，0），B （1，2），
当m ≠0时，动直线x +my ＝0的斜率为−1m ，动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0的斜率为m ，且m •（−1m
）＝﹣1，
故P A ⊥PB ，
当m ＝0时，x ＝0与y ＝2显然垂直，即P A ⊥PB ， 则|P A |2+|PB |2＝|AB |2＝5，
所以|P A |•|PB |≤|PA|2+|PB|2
2=5
2，当且仅当|P A |＝|PB |=√102
时取等号．
故选：A ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知A （﹣1，﹣2），B （2，4）两点到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值可能为（ ） A ．﹣4
B ．3
C ．﹣2
D ．1
解：A （﹣1，﹣2），B （2，4）两点到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等， 则
√a 2+1
=
√a 2+1
，解得a ＝﹣2或﹣4．
故选：AC ．
10．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．得分在[40，60）之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）之间的概率为0.5
C．估计得分的众数为55
D．这100名参赛者得分的中位数为65
解：根据频率和为1，所以（a+0.035+0.030+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.005，
得分在[40，60）的频率是0.40，估计得分在[40，60）的有100×0.40＝40人，A正确；
得分在[60，80）的须率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60，80）的概率为0.5，B正确；
根据须率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50+60
2
=55，即估计众数为55，C正确；
因为0.05+0.35＝0.4＜0.5，0.05+0.35+0.3＝0.7＞0.5，所以中位数落在区间[60，70）内，设其为m，
则0.4+（m﹣60）×0.03＝0.5，解得m=190
3
，故D错误．
故选：ABC．
11．已知a＞b＞0，且ab＝1，则下列式子正确的有（）A．log2a+log2b＞0B．log2a•log2b＜0
C．2a+2b＞4D．b2−1
a
＞0解：对于A，log2a+log2b＝log2ab＝log21＝0，错误；
对于B，因为a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1，0＜b＜1，
故log2a⋅log2b=log2a⋅log21
a
=−(log2a)2＜0，正确；
对于C，因为a＞b＞0，且ab＝1，则a+b＞2√ab=2，所以2a+2b＞2√2a⋅2b=2√2a+b＞2√22=4，正确；
对于D，b2−1
a
=b2−b=(b−
1
2
)2−
1
4
，而0＜b＜1，
结合二次函数性质可知−1
4
≤(b−
1
2
)2−
1
4
＜0，故D错误．
故选：BC．
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别为B1C1，A1D1，CD的中点，O，P分别为BE，CC1上的动点，作平面α∥BE截正方体的截面为β，则下列说法中正确的是（）
A．β不可能是六边形
B．存在点P，使得BE⊥FP
C．当α经过点F，P时，点D到平面α的距离的最大值为2√6 3
D．OP+PG的最小值为6√5 5
解：如图，
对于A，取A1F的中点H，A1A的中点I，C1C的中点L，
在线段AB上取点J，使得4AJ＝AB，
在线段BC上取点K，使得4CK＝BC，
在线段C1D1上取点M，使得4C1M＝C1D1，
易知HM∥IL∥JK，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，所以H，I，J，K，L，M六点共面，
又因为BE∥KL，所以BE∥平面HIJKLM，故A错误；
对于B，当4C1P＝C1C时，在△BEP中结合勾股定理可知BE⊥EP，因为BE⊥EF，EF∩EP＝E，所以BE⊥平面EFP，
又FP⊂平面EFP，所以BE⊥FP，故B正确；
对于C，当α经过点F，P时，α为平面AFP，
因为V P−ADF=1
3
×2×
1
2
×2×2=
4
3
是定值，
所以要使得点D到平面α的距离最大，那么△AFP的面积最小，由AF为定值，得P到AF的距离最小，
由于EF ⊥平面BCC 1B 1，且AF ∥BE ， 只需求P 到BE 的最小距离即可， 当P 运动到C 1时距离最小，
则P 到BE 的最小距离为C 1E sin ∠BEB 1=1×25
=2√55，
即P 到AF 的最小距离为√22+(2√55)2=√24
5
， 此时S △AFP =
12×√5×√24
5
=√6， 则点D 到平面α的距离的最大值为3V P−ADF S △AFP
=
√6
=
2√6
3
，故C 正确； 对于D ，延长BC 至BG '，使得CG '＝CG ＝1，则PG ＝PG '， 当且仅当O ，P ，G ′三点共线且垂直于BE 时，OP +PG 取最小值， 最小值为BG 'sin ∠OBG '=BG ′sin ∠BEB 1=32√5
=6√55，故D 正确．
故选：BCD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u →
=（﹣2，0，5），v →
=（t ，3，2），则t 值是 5 ．
解：∵平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u →
=（﹣2，0，5），v →
=（t ，3，2）， ∴u →
⋅v →
=−2t +10＝0，解得t ＝5． 故答案为：5．
14．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为 √6
4
． 解：取AC 的中点O ，连接OB ，过点O 作Oz ∥AA 1，
在正三角形ABC 中，BO ⊥AC ，AA 1⊥底面ABC ，所以Oz ⊥底面ABC ， 建立以O 为原点的空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示：
则A(0，−1
2
，0)，D(√3
2
，0，1)，∴AD
→
=(√
3
2
，1
2
，1)，
又平面AA1C1C的法向量可以为n→=(1，0，0)，
设AD与平面AA1C1C所成的角为θ，故sinθ=
|AD
→
⋅n→|
|AD
→
|⋅|n→|
=
√3
2
2
=√
6
4
，
即AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为√6 4
，
故答案为：√6 4
．
15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，
此点正好在直线y＝x上的概率为1
6
．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是横纵坐标都在A＝{0，1，2，3，4，5}内任取一个点，
共有6×6＝36种结果，
满足条件的事件是点正好在直线y＝x上，可以列举出共有（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）共有6种结果，
∴要求的概率是P=
6
36
=
1
6
，
故答案为：1 6
16．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax3+bx．若
f（0）+f（3）＝6，则f(2023
4)=−
231
64
．
解：∵f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，
∴f（1）＝0，且f（﹣x+1）+f（x+1）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x+2）①，
又f（x+2）为偶函数，
∴f（﹣x+2）＝f（x+2），∴f（﹣x）＝f（x+4）②，
由①②得f（x+4）＝﹣f（x+2），∴f（x+2）＝﹣f（x）③，
∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）的周期T＝4，
由③及f（1）＝0知f（0）＝﹣f（2），f（3）＝﹣f（1）＝0，
又f（0）+f（3）＝6，∴﹣f（2）+0＝6，∴f（2）＝﹣6，又f（1）＝0，且当x∈[1，2]时，f（x）＝ax3+bx，
∴{f(2)=8a+2b=−6
f(1)=a+b=0
，解得a＝﹣1，b＝1，
∴当 x ∈[1，2]时，f （x ）＝﹣x 3+x ，
∴f （74
）=−(74)3+74=−23164，又f （x ）的周期T ＝4， ∴f(20234)=f （126×4+74）＝f （74
）=−23164． 故答案为：−
23164． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知A （2，3），B （﹣4，1），C （0，﹣3）．
（1）求直线AB 和AC 的斜率；
（2）若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．
解：（1）A （2，3），B （﹣4，1），C （0，﹣3），
则k AB =3−12−(−4)=13，k AC =3−(−3)2−0
=3； （2）当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，
故直线AD 的斜率的变化范围为[13
，3]． 18．（12分）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足
ON →=2NM →，点P 满足AP →
=23AN →． （1）用向量 OA →，OB →，OC → 表示OP →
；
（2）求|OP →|．
解：（1）因为M 是棱BC 的中点，点N 满足ON →=2NM →，点P 满足AP →=23
AN →， 所以OP →=OA →+AP →=OA →
+23AN →=OA →+23(ON →−OA →)=13OA →+23
ON → =13OA →+23×23OM →=13OA →+49×12(OB →+OC →)=13OA →+29OB →+29OC →； （2）因为四面体OABC 是棱长为1的正四面体，
所以|OA →|=|OB →|=|OC →|=1，OA →⋅OB →=OA →⋅OC →=OB →⋅OC →=12
， 所以OP →
2
=(13OA →+29OB →+29OC →)2
=19OA →2+481OB →2+481OC →2+427OA →⋅OB →+427OA →⋅OC →+881
OB →⋅OC → =19+481+481+227+227+481=1127
， 所以|OP →|=√339．
19．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线x ﹣2y +5＝0垂直；②过点（2，﹣3）；③与直线2x +y +2＝0平行．
问题：已知直线l 过点P （1，﹣1），且_____．
（1）求直线l 的一般式方程；
（2）已知M （3，﹣1），O 为坐标原点，在直线l 上求点N 坐标，使得|MN |﹣|ON |最大．
解：（1）选择①与直线x ﹣2y +5＝0垂直，则直线l 的斜率k ×12
=−1， 解得k ＝﹣2，又其过点P （1，﹣1），则直线l 的方程为：y +1＝﹣2（x ﹣1），
整理得：2x +y ﹣1＝0；
选择②过点（2，3），又直线l 过点P （1，﹣1），则直线l 的斜率k =
−3+12−1
=−2， 则直线l 的方程为：y +1＝﹣2（x ﹣1），整理得：2x +y ﹣1＝0；
选择③与直线2x +y +2＝0平行，则直线l 的斜率k ＝﹣2，
又其过点P （1，﹣1），则直线l 的方程为：y +1＝﹣2（x ﹣1），整理得：2x +y ﹣1＝0；
综上所述，不论选择哪个条件，直线l 的方程均为：2x +y ﹣1＝0．
（2）根据（1）中所求，可得直线l 的方程为：2x +y ﹣1＝0，又M （3，﹣1），
设点O 关于直线l 的对称点为Q （x ，y ），则y x
×(−2)=−1， 且2×x 2+y 2−1=0，解得Q(45，25)， 显然|MN |﹣|ON ||＝|MN |﹣|QN |≤|QM |，
当且仅当Q ，N ，M 三点共线时得等号，
又直线QM 的斜率k =−711，故其方程为：y +1=−711(x −3)，即y =−711x +1011
， 联立2x +y ﹣1＝0，可得点N 的坐标为(
115，1315) 时，使得|MN |﹣|ON |最大． 20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝3，AB ＝4，BC ＝5，点D 是线段BC 的中点．
（1）求证：AB ⊥A 1C ；
（2）求D 点到平面A 1B 1C 的距离．
解：（1）证明：因为在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝5，
所以AB ⊥AC ，
在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，
所以AA 1⊥AB ，
又AA 1∩AC ＝A ，AC ⊂面ACC 1A 1，AA 1⊂面ACC 1A 1，
所以AB ⊥面ACC 1A 1，A 1C ⊂面ACC 1A 1，
所以AB ⊥A 1C ．
（2）由（1）知，AA 1⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，AC ⊂面ABC ，
所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，
又AB ⊥AC ，
如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ：
则D （32
，2，0，），A 1（0，0，3），B 1（0，4，3），C （3，0，0），A 1C →=（3，0，﹣3），A 1B 1→=（0，4，0），
设平面A 1B 1C 的一个法向量为n →
=（x ，y ，z ），
则{n →⋅A 1C →=3x −3z =0n →⋅A 1B 1→=4y =0，解得x ＝z ，y ＝0，令z ＝1，则x ＝1，y ＝0，所以n →=（1，0，1）， 又CD →
=（−32
，2，0）， 设点D 到平面A 1B 1C 的距离为d ，则d =|CD →⋅n →||n →|=322=34√2． 21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是一个矩形，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，AB ＝AE ＝2，AD ＝4，∠BAE ＝120°．
（1）求证：AE ∥平面BFD ；
（2）若平面EAB ⊥平面ABCD ，求平面EAB 与平面FCD 的夹角的余弦值．
（1）证明：设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，
由于EF ∥AO ，EF ＝AO ，所以四边形EFOA 是平行四边形，
所以AE ∥OF ，
由于AE ⊄平面BFD ，OF ⊂平面BFD ，
所以AE ∥平面BFD ；
（2）解：依题意，面EAB ⊥面ABCD ，∠BAE ＝120°，
以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面EAB 的法向量为m →
=(0，1，0)，
E(−1，0，√3)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，
AF →=AE →+EF →=AE →+12AC →=(0，2，√3)，DC →=(2，0，0)，DF →=(0，−2，√3)， 设平面FCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，
则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DF →=−2y +√3z =0
，故可设n →
=(0，√3，2)，
设平面EAB 与平面FCD 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →
|m →|⋅|n →||=√37=√217． 22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1．
（1）求B ；
（2）若AB →⋅AC →
＜12，求1a +1c 的取值范围． 解：（1）∵cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B ，
则1﹣sin 2A +1﹣sin 2C ＝1+1﹣sin 2B ，
∴sin 2A +sin 2C ＝sin 2B ，
在△ABC 中，由正弦定理得a 2+c 2＝b 2，
∴△ABC 为直角三角形，且B =π2
； （2）AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cosA =|AB →
|2=c 2＜12，解得0＜c ＜√22， 又a 2+c 2＝1，
∴设c =sinθ，a =cosθ，θ∈(0，π4
)， ∴1a +1c =1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ
， 令t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4
)，t ∈(1，√2)， 又t 2＝（sin θ+cos θ）2
＝1+2sin θcos θ，则sinθcosθ=t 2−12， ∴1a +1c =2t t 2−1
，t ∈(1，√2)， 令y =2t t 2−1=2t−1t
，t ∈(1，√2)， ∵t −1t
在t ∈(1，√2)上单调递增， ∴y =2t−1t 在t ∈(1，√2)上单调递减，即y 22−12=2√2， ∴1a +1c
的取值范围为(2√2，+∞)．。