九年级数学上册25直线与圆的位置关系3学案苏科

2.5 直线与圆的位置关系（3）
学习目标：会综合利用切线的性质和判定解题
学习重点：直线与圆相切的判定方法与圆的切线的性质的应用．
学习难点：直线与圆相切的判定方法与圆的切线的性质的应用．
学习过程
一.【情境创设】
切线的判定定理：经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线于经过切点的半径。

判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法？
证明切线的一般方法简单表述为：
（1）确定唯一公共点，证切线
（2）无交点，作垂直，证半径
（3）有交点，连半径，证垂直
已知直线与圆相切，通常连圆心和切点，得到直角。

二.【问题探究】
如图，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O
为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线
如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，
过D点作DF⊥AC于F，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）如果AC与⊙O相切于点P，⊙O的半径为3，CF=1，
求AC的长。

三.【拓展提升】
如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长.
(2)求证：ED是⊙O的切线.
四.【课堂小结】
五.【反馈练习】
如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
课题：2.5直线和圆的关系（3）班级____________ 姓名_______________
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
如图所示，
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判
断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，-
2
2k
-
=
1
k
>0，∴二次函数的图象开口向
下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-
2
2k
-
=
1
k
<0，，∴二次函数的图象开口向
上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-
2
2k
-
=
1
k
<0，，∴二次函数的图象开口向
上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此
外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．
3．如图，等腰直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径重合，点D 是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD 交AB 于点E ，则∠CEB 的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
【答案】D
【解析】解：连接OD
∵∠AOD=60°，
∴ACD=30°.
∵∠CEB 是△ACE 的外角，
∴△CEB ＝∠ACD+∠CAO=30°+45°=75°
故选：D
4．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 外
C ．点P 在⊙O 上
D ．无法判断
【答案】B
【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.
【详解】r 5=，d OP 6==，
d r ∴>，
∴点P 在O 外，
故选B ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<.
5．下列叙述，错误的是( )
A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．
【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D 选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．
6．已知：如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点G 、D ，若△AGC 的周长为31cm ，AB=20cm ，则△ABC 的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【答案】C
【解析】∵DG是AB边的垂直平分线，
∴GA=GB，
△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，
故选C.
7．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）
A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2
【答案】D
【解析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和
△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出
5
3
DE
BF
=，即
5
3
EF
BF
=，设BF=3a，表示
出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，
∴∠B=∠AED，
∵∠ADE=∠EFB=90°，
∴△ADE∽△EFB，
∴
105
63 DE AE
BF BE
===，
∴
5
3 EF
BF
=，
设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，
AC=8a×5
3
=
40
3
a，
在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，
即（40
3
a）1+（8a）1=（10+6）1，
解得a1=18 17
，
红、蓝两张纸片的面积之和=1
2
×
40
3
a×8a-（5a）1，
=160
3
a1-15a1，
=85
3
a1，
=85
3
×
18
17
，
=30cm1．
故选D．
【点睛】
本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.
8．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）
A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体
【答案】D
【解析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．
【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．
故选D．
【点睛】
此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．
9．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()
A．70°B．60°C．55°D．50°
【答案】A
【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．
考点：平行线的性质．
10．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A．
720720
5
4848
x
-=
+
B．
720720
5
4848x
+=
+
C．720720
5
48x
-=D．
720720
5
4848x
-=
+
【答案】D
【解析】因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：
720
48x
+
，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间720
48
减去提前完成时间
720
48x
+
，
可以列出方程：720720
5 4848x
-=
+
．
故选D．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，P（m，m）是反比例函数
9
y
x
=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作
等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．
【答案】933
2
+
．
【解析】如图，过点P作PH⊥OB于点H，
∵点P（m，m）是反比例函数y=9
x
在第一象限内的图象上的一个点，
∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3. ∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.
∴根据锐角三角函数，得3∴3
∴S△POB=1
2
933
+
.
12．如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，
AC＝4，BC＝3，则AE＝_____．
【答案】1
【解析】试题分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=4，
∴AE=5﹣4=1.
考点：全等三角形的性质；勾股定理
13．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．
【答案】2:1
【解析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=
2
2
R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=1
2
∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=1
2
R，
∴OQ：OH=（
2
2
R）：（
1
2
R）=2：1，
故答案为2：1．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为
【答案】
【解析】试题解析：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴
考点：平行线分线段成比例．
15．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF 的高度为_____ m．
【答案】7.5
【解析】试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，
∵最小值3m，
∴AB=3m，
∵影长最大时，木杆与光线垂直，
即AC=5m，
∴BC=4，
又可得△CAB∽△CFE，
∴BC AB EC EF
=，
∵AE=5m，
∴
43
10EF
=，
解得：EF=7.5m.
故答案为7.5.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.
16．如图，点A为函数y＝9
x
(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝
1
x
(x＞0)的图象于
点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______. 【答案】6.
【解析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=9
2
, S△BOE=
1
2
，再证明
△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．
【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴
2
2
BOE
AOD
S OB
S OA
=，
∵OA=AC，∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=1
2
S△AOC，
∵点A为函数y=9
x
（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=9
2
，
同理得：S△BOE=1
2
，
∴
1
1
2
99
2
BOE
AOD
S
S
==，
∴
1
3 OB
OA
=，
∴
2
3 AB
OA
=，
∴
2
3
ABC
AOC
S
S
=，
∴
29
6
3
ABC
S
⨯
==，
故答案为6.
17．地球上的海洋面积约为361000000km1，则科学记数法可表示为_______km1．
【答案】3.61×2
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将361 000 000用科学记数法表示为3.61×2．
故答案为3.61×2．
18．请写出一个比2大且比4小的无理数：________.
【答案】π
【解析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可
【详解】<<所以x的取值在4~16之间都可，
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）必然，不可能；（2）3
5
；（3）此游戏不公平．
【解析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：3
5
；
故答案为3
5
；
（3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82 205
；
则选择乙的概率为：3
5
，
故此游戏不公平．
【点睛】
此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
20．为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔
作图）
【答案】解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
【解析】易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH＝．
【解析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．
【详解】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OC∥BD，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，，
∴，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴4×3＝5BH，
∴BH＝．
【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．
22．在等边三角形ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ．求证：△ABP ≌△CAQ ；请判断△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【答案】 (1)证明见解析；(2) △APQ 是等边三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得AB ＝AC ，再根据SAS 证明△ABP ≌△ACQ; (2)根据全等三角形的性质得到AP ＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ 是等边三角形.
【详解】证明：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°，
在△ABP 和△ACQ 中，AB AC
ABP ACQ BP CQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△ACQ(SAS)，
（2）∵△ABP ≌△ACQ ， ∴∠BAP=∠CAQ ，AP=AQ ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ 是等边三角形. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP ≌△ACQ 是解题的关键. 23．解分式方程：21
133x x x
-+=--． 【答案】2x =．
【解析】试题分析：方程最简公分母为(3)x -，方程两边同乘(3)x -将分式方程转化为
整式方程求解，要注意检验．
试题解析：方程两边同乘(3)x -，得：213x x --=-，整理解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解． 考点：解分式方程．
24．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行 销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元
/个)之间的对应关系如图所示．试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的
函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出
最大利润．
【答案】（1）y 是x 的一次函数，y=－30x+1（2）w=－30x 2＋780x －31（3）以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润4元
【解析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同． （2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量．
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【详解】解：（1）y 是x 的一次函数，设y=kx+b ， ∵图象过点（10，300），（12，240），
∴10k b 30012k b 240+=⎧⎨+=⎩，解得k 30b 600=-⎧⎨=⎩
．∴y=－30x ＋1．
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
∴点（14，180），（16，120）均在函数y=－30x+1图象上． ∴y 与x 之间的函数关系式为y=－30x+1．
（2）∵w=（x －6）（－30x ＋1）=－30x 2＋780x －31， ∴w 与x 之间的函数关系式为w=－30x 2＋780x －31． （3）由题意得：6（－30x+1）≤900，解得x≥3． w=－30x 2
＋780x －31图象对称轴为：()
780
x 13230=-
=⨯-．
∵a=－30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥3时，w 随x 增大而减小． ∴当x=3时，w 最大=4．
∴以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润4元．
25．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【答案】（1）a=0.3，b=4；（2）99人；（3）
1
4
【解析】分析：（1）由统计图易得a 与b 的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 详解：（1）a=1-0.15-0.35-0.20=0.3； ∵总人数为：3÷0.15=20（人）， ∴b=20×0.20=4（人）； 故答案为：0.3，4； 补全统计图得：
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况， ∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：
31
=124
． 点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．先化简，再求值：()()()2
(2)5x y x y x y x x y ++-+--，其中21x =
，
21y =．
【答案】9
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】()()()2
(2)5x y x y x y x x y ++-+--
222224455x xy y x y x xy =+++--+
9xy =
当1x =，1y =时，
原式)
9
1
1=
()921=⨯-
91=⨯ 9=
【点睛】
本题考查整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：
次序第一次第二次第三次第四次第五次
甲命中的环数(环) 6 7 8 6 8
乙命中的环数(环) 5 10 7 6 7
根据以上数据，下列说法正确的是( )
A．甲的平均成绩大于乙B．甲、乙成绩的中位数不同
C．甲、乙成绩的众数相同D．甲的成绩更稳定
【答案】D
【解析】根据已知条件中的数据计算出甲、乙的方差，中位数和众数后，再进行比较即可．【详解】把甲命中的环数按大小顺序排列为：6，6，7，8，8，故中位数为7；
把乙命中的环数按大小顺序排列为：5，6，7，7，10，故中位数为7；
∴甲、乙成绩的中位数相同，故选项B错误；
根据表格中数据可知，甲的众数是8环，乙的众数是7环，
∴甲、乙成绩的众数不同，故选项C错误；
甲命中的环数的平均数为：（环），
乙命中的环数的平均数为：（环），
∴甲的平均数等于乙的平均数，故选项A错误；
甲的方差=[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(6−7)2+(8−7)2]=0.8；
乙的方差=[(5−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(7−7)2]=2.8，
因为2.8＞0.8，
所以甲的稳定性大，故选项D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．同时还考查了众数的中位数的求法.
2．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1
【答案】C
【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当
时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．2，3，5 B．7，4，2
C．3，4，8 D．3，3，4
【答案】D
【解析】试题解析：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选D．
4．为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】B
【解析】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40，
∴=0.1．
故选B．
5．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据
平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF ，DE=CD ，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B.
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.
6．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a >且5a ≠
C ．1a ≥且5a ≠
D ．5a ≠
【答案】A
【解析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．
【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14
； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a 的取值范围为a≥1． 故选A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D
【解析】∵方程2x+a ﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a ﹣9=0， 解得a=1．故选D ．
8．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》
方程篇中有这样一道题：“今有善行
者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是( )
A ．x x 10060100-=
B ．x x 10010060-=
C ．x x 10060100+=
D ．x x 10010060
+= 【答案】B
【解析】解：设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：
10010060x x -=．故选B ．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．
9．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A ．五边形
B ．六边形
C ．七边形
D ．八边形
【答案】D
【解析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】设多边形的边数是n ，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
10．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( ) A ．1000(1+x)2=1000+500
B ．1000(1+x)2=500
C ．500(1+x)2=1000
D ．1000(1+2x)=1000+500
【答案】A
【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，5月份投放科研经费为1000（1+x ），6月份投放科研经费为1000（1+x ）（1+x ），即可得答案.
【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，
则6月份投放科研经费1000（1+x ）2=1000+500，
故选A.
【点睛】
考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，直线123
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在x 轴的正半轴上，OD OA =，过点D 作CD x ⊥轴交直线AB 于点C ，若反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过点C ，则k 的值为_________________．
【答案】1
【解析】先求出直线y=
13x+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD ，得到C 点坐标．
【详解】解：令x=0，得y=
13x+2=0+2=2， ∴B （0，2），
∴OB=2，
令y=0，得0=
13x+2，解得，x=-6，
∴A（-6，0），∴OA=OD=6，∵OB∥CD，
∴CD=2OB=4，∴C（6，4），
把c（6，4）代入y=k
x
（k≠0）中，得k=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待定系数法．本题的关键是求出C点坐标．
12．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
【答案】B
【解析】正五边形的内角是∠ABC=()
52180
5
-⨯
=108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正
六边形的内角是∠ABE=∠E=()
62180
6
-⨯
=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，
∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．
13．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，
若cos∠BDC=3
5
，则BC的长为_____．。