人教版八年级数学下册18.2.3《正方形》同步练习题

初中数学试卷
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《正方形》同步练习题
一、选择题
1.以下判断中正确的选项是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直均分且相等的四边形是正方形
2.正方形四边中点的连线围成的四边形 ( 最正确的说法 ) 必然是 ( )
A. 矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
3.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、H 分别是 AB、BC、CD 的中点，CE、DF 交于 G，连接 A G、 HG．以下结论：①CE⊥DF；②AG=AD；
③∠ CHG=∠DAG；④HG= 1 AD．其中正确的有 ( )
2
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
4.如图，正方形 ABCD的对角线订交于 O点，BE 均分∠ABO交 AO 于
E 点，CF⊥BE 于
F 点，交 BO于 G点，连接 EG、OF．下列四个结论：
①CE=CB；②AE=OE；③ OF=1．其中正确的结论只有()
22CG
A．①② B ．②③C．①③ D ．①②③
5．如图，将一边长为12 的正方形纸片 AB CD 的极点 A 折叠至 DC 边上的点 E，使 DE＝ 5，折痕为 PQ，则 PQ的长为 ( )
(A)12 (B)13 (C)14(D)15
6．如图，正方形ABCD 的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为()cm 2．
(A)6(B)8 (C)16 (D)不能够确定
二、填空题
7.正方形的四个角都______ ；四条边都______ 且
________________ ；正方形的两条对角线______ ，并且互相______ ，每条对角线均分 ______ 对角．它有 ______ 条对称轴．8．若正方形的边长为 a ，则其对角线长为______ ，若正方形 ACEF
的边是正方形 ABCD 的对角线，则正方形 ACEF 与正方形 ABCD 的面积之比等于 ______ ．
9．延长正方形 ABCD的 BC 边至点 E，使 CE＝AC，连接 AE，交 CD
于 F，那么∠ AFC 的度数为 ______ ，若 BC＝4cm，则△ ACE 的面积等于 ______ ．
10 ．在正方形 ABCD 中， E 为 BC 上一点， EF⊥AC，EG⊥BD，垂足
分别为 F、G，若是AB 5 2cm ，那么EF＋EG的长为______．
11 ．已知：如图，正方形ABCD中，点 E、M、N 分别在 AB、BC、AD
边上，CE＝MN，∠ MCE＝35 °，∠ANM的度数 ______ ．
三、解答题
12 ．已知：如图，E 是正方形 ABCD对角线 AC 上一点，且 AE＝AB，
EF⊥AC，交 BC 于 F．求证： BF＝EC．
13 ．如图，边长为 3 的正方形 ABCD绕点 C 按顺时针方向旋转30 °
后，获取正方形 EFCG，EF 交 AD 于 H，求 DH的长．
14 ．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B
运动，连接 DP 交 AC 于点 Q．
(1)试证明：无论点 P 运动到 AB 上哪处时，都有△ ADQ≌△ ABQ；
(2)当点 P 在 AB 上运动到什么地址时，△ADQ的面积是正方形
ABCD面积的1
；6
(3)若点 P 从点 A 运动到点 B，再连续在 BC 上运动到点 C，在整
个运动过程中，当点 P 运动到什么地址时，△ ADQ 恰为等腰三角形．
15.两个边长不定的正方形 ABCD与正方形 AEFG如图 1 摆放，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转必然角度．
(1)若点 E 落在 BC 边上 ( 如图 2) ，试试究线段 CF 与 AC 的地址关系并证明；
(2)若点 E 落在 BC 的延长线上时 ( 如图 3) ，(1) 中结论可否依旧建
立？若不行立，请说明原由；若建立，加以证明．
答案：
7.2 ：0, 9 7.5cm,10.10,11．55°．提示：过D 点作 DF∥NM，交 BC 于 F．
12 ．提示：连接 AF．
13 ．提示：连接 CH，DH＝ 3 ．
14．(1) 证明：△ ADQ≌△ ABQ；
(2)以 A 为原点建立以下列图的直角坐标系，过点 Q 作 QE⊥y 轴于点 E，QF⊥x 轴于点 F．
1
AD×QE＝1
S 正方形ABCD＝
8
∴ QE＝4
2633
∵点 Q 在正方形对角线 AC 上
∴ Q 点的坐标为 ( 4 , 4 )
3 3
∴过点 D(0 ，4) ，Q ( 4 , 4
) 两点的函数关系式为： y ＝－ 2x ＋4，
3 3
当 y ＝0 时， x ＝2 ，即 P 运动到 AB 中点时，△ ADQ 的面积是
正方形 ABCD 面积的 1
；
6
(3) 若△ ADQ 是等腰三角形，则有 QD ＝QA 或 DA ＝DQ 或 AQ ＝
AD
①当点 P 运动到与点 B 重 合时，由四边形 ABCD 是正方形知
QD ＝QA 此时△ ADQ 是等腰三角形；
②当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 也重合，此时 DA ＝DQ ，
△ADQ 是等腰三角形；
③如图，设点 P 在 BC 边上运动到 CP ＝x 时，有
AD ＝AQ
∵ A D ∥BC ∴∠ ADQ ＝∠ CPQ ．
15.(1) 证明：在正方形 ABCD 中，AO=BO ，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=
45°，
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF ．
在△AOE 和△BOF 中，∠ OAE=∠OBF ，OA=OB ，∠ AOE=∠BOF ，
∴△AOE ≌△BOF ；
(2) 两个正方形重叠部分面积等于 1 a 2 ，因为 △AOE ≌△BOF ，
4
所以 S 四边形 OEBF =S △EOB +S △OBF =S △EOB +S △AOE =S △AOB = 1 S 正方形 ABCD = 1 a 2．
4
4
又∵∠ AQD ＝∠ CQP ，∠ ADQ ＝∠ AQD ，∴∠ CQP ＝∠ CPQ ．
∴C Q＝CP＝x ．∵ AC＝4 2，AQ＝ AD＝4．
∴x＝CQ＝ AC－AQ＝4 2－4 ．即当 CP＝4 2－4 时，△ADQ是等腰三角形．。