2019高三数学理北师大版一轮课件：第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式

5．(教材改编)若不等式
ax2＋bx＋2＞0
的解集为x－12＜x＜31
，则

a＋b＝
________.
－14
[由题意知
x1
＝
－
1 2
，
x2＝13
是
方
程
ax2 ＋ bx ＋ 2 ＝ 0
的两个根，则
－ba＝－21＋31， 2a＝－12×13， ∴a＋b＝－14.]
解得ab＝ ＝－ －122， (经检验知满足题意)．
②当 a>1 时，1a<1，解x－a1(x－1)<0 得a1<x<1；
③当 0<a<1 时，1a>1，解
x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为xx<1a或x>1
；

当 a＝0 时，解集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为x1<x<1a
∴f(a)<f(1)，即2ba<21. ∵a＋1b＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)， ∴2ba<log2(a＋b)<a＋1b. 故选 B.
法二：∵a>b>0，ab＝1，∴取 a＝2，b＝21， 此时 a＋b1＝4，2ba＝18，log2(a＋b)＝log2 52， ∴2ba<log2(a＋b)<a＋1b. 故选 B.]
的解集是x|

－21<x<－13，
∴ax2－bx－1＝0 的解是 x1＝－12和 x2＝－13，且 a<0，
－12－13＝ba， ∴－12×－13＝－1a，
解得ab＝ ＝5－. 6，
则不等式 x2－bx－a≥0 即为 x2－5x＋6≥0，解得 x≤2 或 x≥3.]
(5)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( ) (6)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解 集一定不是空集．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2．已知 a，b 是实数，则“a＞0 且 b＞0”是“a＋b＞0 且 ab＞0”的( )
第 章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关 系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式 模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框 图．
[跟踪训练] (1)不等式2xx－＋51≥－1 的解集为________．
(2)已知不等式
ax2－bx－1>0
的解集是x|

－12<x<－13，则不等式
x2－bx－a≥0
的解集是( )
A．{x|2<x<3}
B．{x|x≤2 或 x≥3}
C．x|

13<x<12
D．xx<13 或x>12
A．a2>b2
B．ab>1
C．2a>2b
D．lg(a－b)>0
C [取 a＝－1，b＝－2，排除 A，B，D.故选 C.]
4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0 得 x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2 －3x＋4>0 的解集为(－4,1)．]
2.解含参数的一元二次不等式的步骤： 1二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转 化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系. 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系， 从而确定解集形式.
一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 (a>0)
的根
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝ x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 (a>0) x|x<x1 或 x>x2} 的解集
{x|x≠x1}
ax2＋bx＋c<0 (a>0) {x|x1<x<x2}
∅
的解集
没有实数根 R ∅
4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)
A．a＋1b<2ba<log2(a＋b)
B．2ba<log2(a＋b)<a＋1b
C．a＋b1<log2(a＋b)<2ba
D．log2(a＋b)<a＋1b<2ba
(1)A (2)B [(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋43＞0， ∴b＞a，∴c≥b＞a.
(1)xx≤34或x＞5

(2)B
[(1)将原不等式移项通分得3xx－－54≥0，
等价于x3－x－5≠40x，－5≥0， 解得 x≤43或 x＞5.
∴原不等式的解集为xx≤34或x＞5

.

(2)∵不等式
ax2－bx－1>0
(5)乘方法则：a>b>0⇒an > bn(n≥2，n∈N)； (6)开方法则：a>b>0⇒n a > n b(n≥2，n∈N)； (7)倒数性质：设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.
3．“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c (a>0)的图像
(x－a)(x－b)＞0 或(x－a)(x－b)＜0 ＞0 {x|x＜a 或 x＞b}
解集
a＝b
a＞b
{x|x≠a} {x|x＜b 或 x＞a}
(x－a)·(x－b)＜0 {x|a＜x＜b}
∅
{x|b＜x＜a}
[知识拓展] 1.倒数性质，若 ab>0，则 a>b⇔a1<1b. 2．若 a＞b＞0，m＞0，则ba＜ba＋ ＋mm. 3．(1)gfxx＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．
或a<0， Δ<0.
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a＞b，a＝b，a＜b 三种关系中的一种．( ) (2)a>b⇔ac2>bc2.( ) (3)a>b>0，c>d>0⇒da>bc.( ) (4)若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.( )
(2)gfxx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
4．不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0， 或a>0，
c>0
Δ<0.
不等式
ax2＋bx＋c<0
对任意实数
x
恒成立⇔ a＝b＝0， c<0
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(对应学生用书第 92 页)
[基础知识填充]
1．两个实数比较大小的方法
a－b＞0⇔a (1)作差法a－b＝0⇔a
＞ ＝
b ba，b∈R；
a－b＜0⇔a ＜ b
ab＞1⇔a ＞ b (2)作商法ba＝1⇔a ＝ ba∈R，b＞0.
一元二次不等式的解法
解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2－(a＋1)x＋a<0.
[解] (1)原不等式化为 x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0， 当 a>1 时，原不等式的解集为(1，a)； 当 a＝1 时，原不等式的解集为∅； 当 a<1 时，原不等式的解集为(a,1)．
将(2)中不等式改为 ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集． [解] 若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. 若 a<0，原不等式等价于x－1a(x－1)>0， 解得 x<1a或 x>1. 若 a>0，原不等式等价于x－1a(x－1)<0.
①当 a＝1 时，1a＝1，x－1a(x－1)<0 无解；
ab＜1⇔a ＜ b
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔ b<a ； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c > b＋c； a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc； a>b，c<0⇒ac < bc； a>b>0，c>d>0⇒ac> bd；
“a3＞b3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知 m∈R，a＞b＞1，f(x)＝xm－2x1，则 f(a)与 f(b)的大小关系是(
)
【导学号：79140188】
A．f(a)＞f(b)
B．f(a)＜f(b)
C．f(a)≤f(b)
D．不确定
(1)A (2)C [(1)a＞|b|能推出 a＞b，进而得 a3＞b3；当 a3＞b3 时，有 a＞b， 但若 b＜a＜0，则 a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条 件，故选 A.
(2)法一：∵a>b>0，ab＝1，∴log2(a＋b)>log2(2 ab)＝1. 1
∵2ba＝2aa＝a－1·2－a，令 f(a)＝a－1·2－a， 又∵b＝1a，a>b>0，∴a>1a，解得 a>1. ∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0， ∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
(2)∵f(a)＝am－2a1，f(b)＝bm－2b1， ∴f(a)－f(b)＝am－2a1－bm－2b1＝m2a－a 1－b－b 1 ＝m2·ab－ a－11－bb－a－ 1 1＝m2·a－b1－ba－1， 当 m＝0 时，f(a)＝f(b)； 当 m≠0 时，m2＞0， 又 a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)． 综上，f(a)≤f(b)．]
[规律方法] 1.比较两个数(式)大小的两种方法
2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确， 要注意特殊值法的应用．
3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还 经常采用特殊值验证的方法．
[跟踪训练] (1)(2018·东北三省四市模拟(二))设 a，b 均为实数，则“a＞|b|”是
(对应学生用书第 93 页) 比较大小与不等式的性质
(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，
b，c 的大小关系是( )
A．c≥b＞a
B．a＞c≥b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b
(2)(2017·山东高考)若 a>b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C
a＞0， [b＞0
⇒aa＋b＞b＞0，0，
又当 ab＞0 时，a 与 b 同号，结合 a＋b＞0 知
a＞0 且 b＞0，故“a＞0 且 b＞0”是“a＋b＞0 且 ab＞0”的充要条件．]
3．若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( )
一元二次不等式恒成立问题
◎角度 1 形如 f(x)≥0(x∈R)求参数的范围 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值
范围是________. 【导学号：79140189】
(－2,2] [当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式即为－4<0，对一切 x∈R 恒成立， 当 a≠2 时，则有aΔ－＝24<a0－，22＋16a－2<0， 即a－<22<，a<2， ∴－2<a<2. 综上，可得实数 a 的取值范围是(－2,2]．]
；当 a＝1 时，

解集为∅；当 a>1 时，解集为x1a<x<1

.

[规律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不 等式解集为 R 或∅. 3求：求出对应的一元二次方程的根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.